Lista de probleme 20

Moca dorește să posteze pe Pbinfo a probleme de dificultate b. Durata postării celor a probleme de dificultate b este restul împărțirii lui \(a ^ b\) la 1999999973.

Se dau n numere naturale nenule. Pentru fiecare număr dat a să se calculeze suma divizorilor lui a2.

Exact așa cum spuneam Alex e un băiat năzdrăvan! De data aceasta boacăna pe care a făcut-o l-a determinat pe profesorul de informatică să îi spună că nu va mai fi iertat și pentru această boacănă așa că îi dă de ales ori îl va asculta doar pe el și restul copiilor vor scăpa ori va dă test tuturor din clasă. Alex este conștient că nu trebuie să fie pedepsiți toți pentru greșeala lui așa ca decide ca doar el trebuie să răspundă! Profesorul complet degajat îi da problema:

Se dau două șiruri de câte n valori notate A și B. Pentru fiecare pereche \( A_i B_i \) se calculează resturile împărțirii la 6669666 a lui \( {A_i}^{B_i} \). Ajutați-l pe Alex să determine suma acestor resturi.

După șase ani de lucru, Charles a terminat de curățat instalațiile pentru producerea negrului de fum din Copșa Mică. Pentru a se ține departe de mesele de Blackjack, el s-a angajat la CERN, unde va lucra la noul accelerator de particule numit Even Larger Hadron Collider (ELHC). ELHC are forma unui tunel circular cu o circumferință de P kilometri, P fiind un număr prim. De-a lungul tunelului sunt plasați P senzori numerotați de la 0 la P - 1, distanța dintre doi senzori consecutivi fiind de exact 1 kilometru.

Un experiment efectuat în ELHC constă în studierea unei particule de tip G, 1 ≤ G < P. Dacă această particulă este ridicată la nivelul de energie k și este lansată din dreptul senzorului 0 în direcția senzorului 1, ea va parcurge exact Gk kilometri prin tunel și apoi se va dezintegra, declanșând în acel moment senzorul s în dreptul căruia are loc dezintegrarea particulei. Se consideră că experimentul are date complete dacă, lansând P - 1 particule de tip G ridicate la toate nivelurile de energie k de la 1 la P - 1, este posibil să declanșăm toți senzorii s numerotați cu valori între 1 și P - 1, adică toți senzorii din tunel mai puțin senzorul 0.

Dându-se T perechi de numere G și P, determinați dacă experimentul pentru studierea particulei de tip G într-un tunel de circumferință P produce date complete.

Pentru o mulţime cu n elemente naturale să se afle câte submulţimi nevide au suma elementelor pară.

O culegere conține n probleme, dintre care m sunt probleme ușoare. În câte moduri pot fi alese k probleme, astfel încât între cele k probleme alese să existe cel puțin s probleme ușoare?

Candyman are acadele de trei feluri: cu căpşuni, cu vişine şi cu zmeură, oricâte acadele din fiecare fel. Cei n copii de la grupa pregătitoare şi-au ales fiecare câte o acadea astfel încât cel mult doi copii şi-au ales cu vişine. Dacă notăm cu m numărul de moduri în care puteau să-şi aleagă fiecare câte o acadea, să se afle restul împărţirii lui m la 2020.

Se dă n un număr natural. Într-un şir de lungime n, format cu cifrele 0 şi 1, numim insulă o secvenţă maximă de cifre egale. Să se afle câte insule se află în toate şirurile de lungime n, formate cu cifrele 0 şi 1.

Spionul 008 vrea să găsească o locație secretă în junglă, având asupra lui un dispozitiv de localizare. Iniţial spionul se află la intrarea în junglă pe nivelul 1 şi cu fiecare pas, el avansează de la nivelul i la nivelul i+1, ajungând la locaţia secretă, aflată pe ultimul nivel, în poziţia u faţă de marginea stângă a nivelului curent. Pentru a ajunge în locaţia secretă, el poate să se deplaseze cu o poziţie spre Sud-Est (codificat cu caracterul E) sau spre Sud-Vest (codificat cu caracterul V), trecând de pe nivelul i pe nivelul i+1 cu viteză constantă. Numărul de poziţii de pe un nivel creşte cu unu faţă de nivelul anterior, conform imaginii alăturate. Numim traseu o succesiune formată din caracterele E sau V, corespunzătoare deplasării spionului de pe nivelul 1 la locaţia secretă. Pentru exemplul din figura alăturată succesiunea de caractere VEEVE reprezintă un traseu ce corespunde locaţiei secrete din poziţia 4 a nivelului 6.

Cunoscând succesiunea de caractere corespunzătoare unui traseu, determinaţi:
a) poziţia locației secrete de pe ultimul nivel;
b) numărul de trasee distincte pe care le poate urma spionul plecând din poziţia inițială pentru a ajunge în locaţia secretă corespunzătoare traseului dat. Două trasee se consideră distincte dacă diferă prin cel puţin o poziţie.

În Hogwarts există o tablă de șah cu N linii și M coloane. Harry Potter a găsit plasate, de către Hagrid, T ture care apără fiecare linia și coloana pe care este așezată. El trebuie să plaseze în siguranță K pioni pe tablă, adică fără ca vreunul dintre ei să fie atacat de vreo tură. Tabla de șah din Hogwarts este specială deoarece în cadrul unei celule pot fi plasați chiar și mai mulți pioni simultan! Cunoscând toate aceste reguli, ajutați-l pe Harry Potter să determine în câte modalități poate plasa în siguranță toți cei K pioni pe tabla de șah.