Lista de probleme 11

Filtrare

Considerăm o piramida xor unde fiecare valoare este egală cu xorul valorilor din stânga jos și dreapta jos. Dându-se cel mai de jos nivel, care este valoarea din vârf?

Se dau numerele naturale n și k. Calculați \( C_n^k \).

Să se determine numărul de șiruri de lungime 2 * n care conțin paranteze închise corect.

Pentru o mulţime cu n elemente naturale să se afle câte submulţimi nevide au suma elementelor pară.

#3496 shop

Respectând normele de distanțare socială, cei \( \frac{k\cdot (k+1)}{2} \) cetățeni din comuna lui Dorel s-au programat la magazinul din localitate pentru a face cumpărăturile de Paște, în k zile: în prima zi k cetățeni, în a doua zi k-1 dintre cei rămași, ș.a.m.d., în ultima zi ultimul cetățean.

Fiind date t valori ale lui k, numere naturale, aflați pentru fiecare în câte moduri poate fi făcută planificarea pe zile pentru cumpărăturile de Paște.

#3853 Clasa0

Astăzi în clasa 0 profesoara a numit Q copii și le-a dat 3 numere, a, b și c, copiii trebuiau să spună care este rezultatul calculului \({a}^{{C}_{b}^{c}}\), adică \({a}^{ \frac{b! }{{c! *(b-c)! }}}\), modulo \(10^9+7\). Copiii nu au știut să răspundă la întrebări așa că voi trebuie acuma să le spuneți rezultatul.

#2000 Sir9

Corneluș a învățat să numere. El pornește întotdeauna de la 1, numără din 1 în 1, nu greșește niciodată numărul următor, însă ezită uneori și atunci spune numărul curent de mai multe ori. Sora lui, Corina, îl urmărește și face tot felul de calcule asupra modurilor în care numără fratele ei. Astfel, ea urmărește până la cât numără (U), câte numere spune în total (N) și, pentru a aprecia cât de ezitant este, numărul maxim de repetări (R) ale unei valori.
1) Cunoscând numărul total de numere N și ultimul număr spus U, trebuie să calculați câte șiruri diferite au exact N numere și se termină cu numărul U.
2) Cunoscând numărul total de numere N și numărul maxim de repetări R ale unei valori, trebuie să calculați câte șiruri diferite au exact N numere și fiecare valoare se repetă de cel mult R ori.
Deoarece numărul de șiruri poate fi foarte mare, calculați restul împărțirii acestui număr la 20173333.

Fie un șir a de N numere întregi. Trebuie construit un nou șir b (tot cu N elemente) astfel:

  • dacă \( {a}_{i}>0 \), atunci \( {b}_{i}={a}_{i} \)
  • dacă \( {a}_{i}=0 \), atunci \( {b}_{i} \) poate avea orice valoare strict pozitivă
  • dacă \( {a}_{i}<0 \), atunci \( {b}_{i} \) poate avea orice valoare strict pozitivă cu excepția lui \( -{a}_{i} \)

Se garantează că \( {a}_{1} \) și \( {a}_{N} \)au valori strict pozitive și între oricare două valori strict pozitive se va afla cel mult una strict negativă.

Știindu-se șirul a, să se calculeze numărul de moduri de a forma șirul b astfel încât acesta să fie crescător (nu neapărat strict). Deoarece acest număr poate fi foarte mare, se va afișa doar restul împărțirii la 1.000.000 007.

După ce Le. Quack a avut mare succes cu noul lui joc de cărți a decis să se apuce de scamatorii, pentru ca este pasionat de cărți îi cere patronului N cărți. Acesta așează toate cărțile pe față și se pregătește să facă o scamatorie. Acesta vrea să întoarcă toate cărțile pe spate, o operație constă în alegerea a mai multor cărți pe față adiacente și întoarcerea lor. Ca să facă totul mai interesant el alege Q persoane din public si acestea îi spun două numere, X Y, cu semnficația ca Le. Quack să facă toate trucurile posibile cu X cărți inițial pe față toate și exact Y operații de întoarcere astfel încât să ajungă cu toate cele X cărți alese pe spate. După fiecare dintre cele Q persoane el repune toate cărțile pe față. Le. Quack trebuie să numere toate posibilitățile de a face fiecare truc de magie doar că nu este bun la informatică așa că vă cere ajutorul!

Un număr este special dacă are o cifră cu frecvența strict mai mare decât partea întreagă a jumătății lungimii numărului și nu conține cifra 0. Câte numere speciale există respectiv care este suma tuturor numerelor speciale de lungime N.