Lista de probleme 10

Se dă un șir V cu N valori naturale nenule, memorate pe poziții consecutive începând cu poziția 1. Notăm cu S următoarea secvență de cod aplicată asupra sa:

(C/C++)
maxim = 0;
rep = 0;
for(i = 1; i <= N; i++)
	if(V[i] > maxim)
		maxim = V[i];
	else
		if(V[i] == maxim)
			rep++;

Considerăm operația de eliminare din V a elementului de pe o anumită poziție dată P. În urma operației de eliminare elementele de pe pozițiile P + 1, P + 2, ..., N ajung pe o poziție cu 1 mai mică iar N scade cu 1.

Dându-se mai multe operații de eliminare(independente una de alta, adică fiecare se aplică asupra șirului inițial, nu după operația anterioară), să se determine valoarea variabilei rep dacă am aplica secvența S asupra șirului obținut după fiecare operație de eliminare.

Fie un șir a de N numere întregi. Trebuie construit un nou șir b (tot cu N elemente) astfel:

• dacă \( {a}_{i}>0 \), atunci \( {b}_{i}={a}_{i} \)
• dacă \( {a}_{i}=0 \), atunci \( {b}_{i} \) poate avea orice valoare strict pozitivă
• dacă \( {a}_{i}<0 \), atunci \( {b}_{i} \) poate avea orice valoare strict pozitivă cu excepția lui \( -{a}_{i} \)

Se garantează că \( {a}_{1} \) și \( {a}_{N} \)au valori strict pozitive și între oricare două valori strict pozitive se va afla cel mult una strict negativă.

Știindu-se șirul a, să se calculeze numărul de moduri de a forma șirul b astfel încât acesta să fie crescător (nu neapărat strict). Deoarece acest număr poate fi foarte mare, se va afișa doar restul împărțirii la 1.000.000 007.

Se dă N și Q, apoi Q interogări de tipul K X pentru fiecare interogare să se afișeze separate prin spațiu ( ficare interogare pe un rând diferit ):

1. Câți vectori de exact N elemente din intervalul \([0, {2}^{K})\) ( mai mari sau egale cu \(0\) și strict mai mici ca \({2}^{K}\) ) există astfel încât valoarea \(a_1\) & \(a_2\) & ... & \(a_N\) să fie X-frumoasă. Un număr este X-frumos dacă în reprezentare binară are exat X biți setați ( cu valoare = 1 ). Cu & am notat operația pe biți AND.

2. Câți vectori de exact N elemente din intervalul \([0, {2}^{K})\) ( mai mari sau egale cu \(0\) și strict mai mici ca \({2}^{K}\) ) există astfel încât valoarea \(a_1\) | \(a_2\) | ... | \(a_N\) să fie X-frumoasă. Un număr este X-frumos dacă în reprezentare binară are exat X biți setați ( cu valoare = 1 ). Cu | am notat operația pe biți OR.

3.Câți vectori de exact N elemente din intervalul \([0, {2}^{K})\) ( mai mari sau egale cu \(0\) și strict mai mici ca \({2}^{K}\) ) există astfel încât valoarea \(a_1\) ^ \(a_2\) ^ ... ^ \(a_N\) să fie X-frumoasă. Un număr este X-frumos dacă în reprezentare binară are exat X biți setați ( cu valoare = 1 ). Cu ^ am notat operația pe biți XOR.

Se dă un șir de N numere întregi indexat de la 1. Să se afle suma maximă a unui subșir format din T elemente astfel încât oricare 2 elemente consecutive ale acestuia să se afle la distanță cel mult K în șirul dat (distanța dintre elementele de pe pozițiile i și j, i < j, este j - i).

Între timp, într-un univers paralel…

Ștefan Ghe este creatorul site-ului renumit de probleme de algoritmică InfoZona. Din păcate, verișorul său diabolic, Feștan Ț, punându-și în practică skill-urile de hacker nebunatic, a spart site-ul InfoZona și îl va da înapoi domnului Ștefan doar dacă reușeste să rezolve următoarea problemă:

Se dă un șir A, indexat de la 1, de N numere naturale nenule, reprezentând un raft de sandale. Vom defini funcția \( F(l,r) = ( \sum_{i=l}^{r} A[i] )^3 \) ca fiind costul pentru a cumpara sandalele din secvența [l, r] laolaltă, toate în același coș de cumpărături. Feștan Ț are K coșuri de cumpărături la dispoziție și dorește să afle care este prețul minim pe care poate cumpăra toate cele N sandale, folosind coșurile de cumpărături de care dispune.

Ajutați-l pe domnul Ștefan Ghe să-și recupereze site-ul rezolvând această problemă și vă va face cinste cu o bere și cinci cămile!

Se dă un șir de N numere întregi indexat de la 1. Să se afle subșirul de sumă maximă format din T elemente astfel încât oricare 2 elemente consecutive ale acestuia să se afle la distanță cel puțin K în șirul dat(distanța dintre elementele de pe pozițiile i și j, i < j, este j - i).

Se dă un şir format din n numere naturale nenule. Aflaţi câte subşiruri ale şirului dat au proprietatea că, folosind toate cifrele numerelor din subşir, cu ajutorul acestora se poate forma un palindrom.

Să se calculeze câte numere de n cifre au gradul de frumusțe k.

Se dă o matrice de mărime N pe N care conține litere ale alfabetului englez. Definim un drum dreapta-jos ca fiind un șir de celule ale matricei care începe cu celula (1, 1), se termină cu celula (N, N), iar pentru fiecare celulă (x, y) din drum (exceptând ultima), succesoarea sa este fie (x+1, y), fie (x, y+1). Spunem că șirul de caractere generat de un drum în matrice este șirul obținut prin concatenarea valorilor celulelor drumului în ordine.

Să se găsească 2 drumuri dreapta-jos care nu se intersectează (decât în celulele (1, 1) și (N, N)) pentru care coeficientul de similaritate este maxim. Coeficientul de similaritate a 2 drumuri reprezintă numărul de poziții i pentru care a[i] = b[i], 0 ≤ i < lungime(a), lungime(b), unde a și b sunt șirurile generate de cele 2 drumuri.

RAU-Gigel se pregătește pentru admiterea la facultate. Curios din fire, el împrumută niște cursuri de la un prieten student, de unde află despre limbajele formale, gramatici, automate finite, expresii regulate și multe alte lucruri interesante. Găsește acolo și o problemă:

Se consideră un alfabet X format din N simboluri (diferite două câte două). Pe mulțimea X este definită o relație de ordine totală (să o numim lexicografică) astfel: orice două elemente a și b alegem din X (a diferit de b), avem fie a<b, fie b<a. Câte cuvinte se pot forma cu simboluri din alfabetul X astfel încât simbolurile prezente în cuvânt să fie în ordine strict crescătoare (de la stânga spre dreapta) și să nu existe în cuvânt două simboluri consecutive lexicografic?