Lista de probleme 35

Filtrare

Să se determine numărul de submulțimi nevide ale mulțimii {1, 2,..., n} cu proprietatea că oricare două elemente dintr-o submulțime au diferența în modul strict mai mare decât 1.

#4032 Zar1

În câte moduri se poate obține suma n aruncând cu zarul (În câte moduri poți să îl scrii pe n ca sumă de valori mai mici sau egale cu 6).

#4029 Depozit

Într-un depozit au fost așezate cutii identice, una după alta, eventual suprapuse, astfel încât numărul maxim de cutii suprapuse într-o stivă este N, iar între două stive cu același număr de cutii să existe cel puțin una cu mai multe cutii decât oricare dintre cele două. Considerăm că o stivă poate fi formată dintr-o singură cutie.

Se consideră o clădire de formă dreptunghiulară formată din n*m camere, dispuse pe n linii și m coloane. Intrarea în clădire este în camera de coordonate (1,1), iar ieșirea în camera de coordonate (n,m). Din orice cameră (i,j) se poate ajunge numai în camerele (i+1,j) sau (i,j+1). Determinați în câte moduri se poate ajunge din camera (1,1) în camera (n,m).

Deoarece numărul de posibilități poate fi foarte mare, se cere doar restul acestui număr la împărțirea cu 9901.

Harta jocului PacmMan este sub forma unui dreptunghi împărțit în camere organizate pe linii și coloane. Din fiecare cameră se poate merge în camera situate pe coloana următoare și pe aceeași linie, sau in camera de pe coloana următoare și linia următoare, dar fără a ieși din hartă. Astfel din camera (i,j) se poate merge în camerele (i,j+1) și (i+1,j+1). PacMan se află în camera situată pe prima linie și pe prima coloana (1,1) și trebuie să ajungă în camera de pe ultima linie și ultima coloană (n,m). Calculați și afișați numărul de trasee pe care poate PacMan să parcurgă harta.

Alice s-a pierdut din nou în labirint. Labirintul este de forma unui triunghi dreptunghic împărțit în camere organizate pe linii și coloane. Pe prima linie este o singură cameră, pe a doua sunt două camere, etc. Pe ultima linie sunt n camere. Din fiecare cameră se poate merge în camerele situate pe linia următoare și pe aceeași coloană, sau pe coloane cu 1 mai mari sau mai mici decât coloana curentă, dar fără să se părăsească labirintul. Astfel din camera (i,j) se poate merge în camerele (i+1,j-1), (i+1,j) și (i+1,j+1), dacă acestea există. Alice se află în camera de pe prima linia și de pe prima coloana (1,1).

Ca să iasă din labirint, Alice trebuie să ajungă într-o cameră de pe ultima linie. Calculați și afișați numărul de trasee pe care poate Alice să iasă din labirint.

Se consideră o clădire de formă dreptunghiulară formată din n*m camere, dispuse pe n linii și m coloane. Unele camere sunt închise, accesul în ele fiind imposibil. Intrarea în clădire este în camera de coordonate (1,1), iar ieșirea în camera de coordonate (n,m). Din orice cameră (i,j) se poate ajunge numai în camerele (i+1,j) sau (i,j+1), dacă aceasta nu este închisă.

Determinați în câte moduri se poate ajunge din camera (1,1) în camera (n,m). Deoarece numărul de posibilități poate fi foarte mare, se cere doar restul acestui număr la împărțirea cu 9901.

#1991 Trepte2

O persoana are de urcat n trepte. Ştiind că de pe treapta i poate trece pe treapta i + 1, i + 2, ..., i + (k - 1) sau i + k, aflaţi în câte moduri poate urca cele n trepte. (inițial este pe treapta 1)

O persoana are de urcat n trepte. Ştiind că de pe treapta i poate trece pe treapta i + 1, i + 2, ..., i + (k - 1) sau i + k, aflaţi în câte moduri poate urca cele n trepte. (inițial este pe treapta 1)

Se dau numerele naturale n și p. Să se determine:
a) numărul cuvintelor de lungime n formate doar din litere mari și mici și cu proprietatea că aceste cuvinte nu pot avea două litere alăturate identice, indiferent că sunt mari sau mici.
b) numărul cuvintelor de lungime n formate doar din litere mari și mici și cu proprietatea că nu pot apărea două litere mari pe poziții alăturate.
c) numărul cuvintelor de lungime n formate doar din litere mici și cu proprietatea că au cel mult p vocale.