Lista de probleme 29

Afişaţi, în ordine crescătoare, toate numerele dintr-un anumit interval care au toate cifrele egale.

Se consideră ecuația de gradul al doilea \(ax^2+bx+c=0\) cu coeficienți întregi și un număr natural n. Să se determine \(S_n=x_1^n+x_2^n\), unde \(x_1\) și \(x_2\) sunt rădăcinile ecuației, folosind relațiile lui Viete.

Se dă următorul șir de numere naturale:

1, 3, 9, 25, 65, 161, 385, 897, 2049, 4609, 10241, 22529, 49153, 106497…

Pentru un număr natural n, citit de la tastatură, afișati numărul de divizori pentru fiecare dintre primii n termeni din șir.

Iarina a auzit la ora de matematica de numere triangulare. Un numar se numeste triangular daca se scrie ca suma primelor k numere naturale. Doamna profesoara le-a propus sa rezolve pentru acasa urmatoarea problema: Determinati toate numerele triangulare care sunt patrate perfecte. Iarina va roaga sa o ajutati sa rezolve aceasta problema: Se da o valoare n sa se afiseze primele n numere naturale triangulare care sunt patrate perfecte.

Se consideră următorul șir de numere naturale: 1 3 5 8 10 14 16..., în care termenul de pe poziția i (i > 1) este egal cu cel precedent plus numărul de divizori ai lui i. Afișați al n-lea termen.

La testul de selecție la Centrul de Excelentă în Informatică din acest an, prima problemă ne cere să studiem un șir S de numere naturale nenule ai cărui primi termeni sunt:
1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3...
să deducem regula prin care a fost construit și apoi să descoperim cel de-al K-lea termen al șirului S.

Știe cineva cum se rezolvă această problemă?

Scrieţi un program care să determine cel de-al K-lea termen al șirului S.

Fișierul sir147.in memorează cel mult 10000 de numere naturale cu cel mult nouă cifre. Numerele sunt ordonate strict crescător și separate prin câte un spațiu. Se consideră șirul 1, 4, 7, …. definit astfel: \(f_1 = 1\), \(f_2 = 4 \) si \(f_n=f_{n-1}*2-f_{n-2} \), pentru n > 2. Se cere să se scrie în fișierul sir147.out numerele din fișier care sunt termeni ai șirului. Numerele sunt afișate în ordine strict crescătoare, separate prin câte un spațiu.

Gigel, pasionat de sport și matematică, construiește, din pătrățele identice așezate alăturat, un șotron triunghiular desenând 1 un pătrățel pe rândul 1, apoi 2 pătrățele pe rândul 2, 3 pătrățele pe rândul 3,…., N pătrățele pe rândul N. Șotronul are pe fiecare latură N pătrațele desenate.
Apoi, Gigel numeroteză pătrățelele cu numere naturale consecutive distincte, pornind de la 1. Scrieţi un program care citește numerele naturale N și M, apoi rezolvă următoarele două cerinţe:
1. determină cel mai mare număr Z scris de Gigel într-un pătrățel din șotron;
2. determină rândul R și coloana C ale pătrățelului din șotron în care este scris numărul M.

Se generează un şir de cifre ai cărui primi termeni sunt, în această ordine:
1, 1, 2, 4, 7, 3, 4, 4, 1, 9, 4, 4, 7, 5, 6, 8,...

Deduceţi regula după care sunt generaţi termenii şirului şi scrieţi un program care să citească numerele naturale n, k şi p şi care să determine:

a) numărul de apariţii ale cifrei k printre primii n termeni ai şirului din enunţ;
b) cel de-al p-lea termen al şirului din enunţ.

În grădina din palatul lui Făt-Frumos a răsărit tulpina fragedă a unui copăcel. Impresionat de gingăşia lui, Făt-Frumos dădu fuga la izvorul fermecat şi aduse nişte apă vie cu care udă copăcelul.

A doua zi, surpriză mare! Copăcelului i-au crescut trei ramuri minunate: una de argint, una de aur şi alta de rubin. Făt-Frumos, fericit, dădu din nou fuga la izvorul fermecat şi aduse apă vie pentru copăcel.

A treia zi, surpriză şi mai mare! Ramura de argint s-a transformat în trei ramuri noi: una de argint, una de aur şi una de rubin. Ramura de aur s-a transformat în două ramuri noi: una de argint şi alta de rubin. Ramura de rubin s-a transformat în două ramuri noi: una de aur şi una de rubin.

Şi în a patra zi, Făt-Frumos observă că fiecare ramură de argint s-a transformat în trei ramuri noi: una de argint, una de aur şi una de rubin; fiecare ramură de aur s-a transformat în două ramuri noi: una de argint şi alta de rubin; fiecare ramură de rubin s-a transformat în două ramuri noi: una de aur şi una de rubin.

Copăcelul era mai bogat şi mai frumos. Strălucea ca un soare, lumina lui ajungând până la palatul Zmeului-Zmeilor.

Zmeul-Zmeilor se îndreptă ca fulgerul spre palatul lui Făt-Frumos. Vroia copacul. Dar cum să facă? Dacă s-ar lupta cu Făt-Frumos, ar pierde lupta. Mereu s-a întâmplat aşa. Se gândi, se gândi… şi exact când a ajuns în faţa lui Făt-Frumos i-a venit o idee spunându-i acestuia:
- Făt-Frumos, dacă îmi vei spune câte ramuri de argint, câte ramuri de aur şi câte ramuri de rubin va avea copacul peste n zile începând din ziua asta, atunci copacul va rămâne al tău. De nu, al meu va fi!

Ştiind că ramurile copacului se transformă şi în zilele următoare la fel ca în ziua a patra, ajutaţi-l pe Făt-Frumos să găsească răspunsul la întrebare astfel încât copacul să rămână al lui.