Lista de probleme 39

Se consideră o matrice pătratică A=(ai,j)de ordin n, elementele sale fiind cifre în baza 10. Pentru fiecare element ai,j al matricei definim drumul de la elementul a1,1 la elementul ai,j ca fiind format din elementele: a1,1, a2,1, …, ai,1, ai,2, ai,3, …, ai,j. Pentru fiecare element ai,j al matricei, se cere să se calculeze suma produselor oricăror două elemente situate pe drumul de la elementul a1,1 la elementul ai,j.

Considerăm o matrice pătratică cu N linii și N coloane. În această matrice sunt definite 4 zone:

• zona 1, formată din elementele situate strict deasupra diagonalei principale și strict deasupra diagonalei secundare;
• zona 2, formată din elementele situate strict deasupra diagonalei principale și strict sub diagonala secundară;
• zona 3, formată din elementele situate strict sub diagonala principală și strict sub diagonala secundară;
• zona 4, formată din elementele situate strict sub diagonala principală și strict deasupra diagonalei secundare;

Se dă o matrice pătratică și un număr natural Z, reprezentând o zonă din matrice. Să se determine suma elementelor din zona Z.

În clasa a XI-a A sunt M elevi, numerotați de la 1 la M și fiecare are un număr preferat P. Plictisiți de ora de informatică, au inventat următorul joc:

• pe o foaie de matematică desenează o tablă de joc de dimensiune N, formată din N linii și N coloane, numerotate de la 1 la N; fiecare linie și fiecare coloană are câte N pătrățele
• fiecare elev alege un pătrățel și desenează un X centrat în pătrățelul ales, fiecare din cele 4 laturi având cel mult P pătrățele desenate, fără a ieși de pe tabla de joc (să nu mâzgălească banca!!).
• icsurile desenate de elevi se pot suprapune.

În figura de mai jos este reprezentat un X desenat de elevul care alege pătrățelul de coordonate i j și preferă numărul 3.

Cunoscând dimensiunea N a tablei de joc, numărul M de elevi, coordonatele alese de fiecare elev și numărul preferat al fiecărui elev, determinați câte pătrățele de pe tablă rămân nedesenate.

Se dă o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente numere naturale. Calculaţi diferenţa în valoare absolută dintre sumele elementelor de pe cele două diagonale.

Se dă o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente numere naturale. Calculaţi cel mai mare divizor comun al sumei elementelor de deasupra diagonalei principale și al sumei elementelor de sub diagonala principală.

Se dă o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente numere naturale. Să se construiască o matrice care să fie simetrica față de diagonala principală a matricei date.

Se dă o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente numere naturale. Să se determine suma elementelor de pe cele două diagonale vecine cu diagonala principală.

Se dă o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente numere naturale. Să se construiască o matrice care să fie simetrica față de diagonala secundară a matricei date.

Se dă o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente numere naturale. Să se afișeze elementele prin parcurgerea șerpuită a matricei, începând din elementul de pe prima linie și prima coloană, ca în exemplu.

Se dă o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente numere naturale. Să se afişeze, în ordine crescătoare, sumele elementelor din cele patru zone delimitate de diagonale.