Lista de probleme

Matca cea tânără a decis să părăsească stupul şi să îşi facă propria familie de albine, lucru nu tocmai uşor. Ea, împreună cu albinele sale trebuie să meargă din floare în floare până la marginea plantaţiei. Plantaţia are formă dreptunghiulară cu N linii (numerotate de la 1 la N) şi M coloane (numerotate de la 1 la M). În fiecare punct este o floare. Florile sunt codificate cu 0 sau 1, cele codificate cu 0 putând fi ocupate doar de matcă, cele cu valoarea 1 doar de câte o albină. Roiul de albine pleacă de la marginea stângă a plantaţiei (coloana 1) şi trebuie să ajungă în marginea din dreapta (coloana M). La un pas, toate albinele (inclusiv matca) trebuie să se afle pe poziţii consecutive pe aceeaşi coloană. La pasul următor ele se pot deplasa doar pe coloana următoare, dar tot pe poziţii vecine (eventual îşi pot schimba ordinea). Efortul depus pentru deplasarea de pe o coloană pe alta este egal cu diferenţa dintre prima linie ocupată de un membru al roiului de albine (matca sau albină) la pasul anterior şi prima linie ocupată de un membru al roiului albine (matca sau albină) după mutare.

Determinaţi numărul maxim de membri ai roiului de albine (matcă + albine) care pot părăsi stupul pentru a traversa toată plantaţia în scopul formării unei noi familii. Determinaţi, de asemenea efortul total minim cu care matca poate traversa plantaţia cu numărul maxim de albine determinat.

Lot Juniori, Focsani, 2010

Având la dispoziție n cifre, să se construiască k numere, astfel încât suma lor să fie minimă.

Lot Juniori, Sibiu 2011

#711 desc

Fie n un număr natural nenul, n > 1. Definim n(p) ca fiind descompunerea lui n în sumă de puteri naturale distincte ale numărului prim p.

Să se scrie un program care citeşte un număr natural n şi determină toate n(p) descompunerile numărului n.

Lot Juniori, Botosani, 2012

#723 Fibo

Maria este pasionată de matematică. Ea este interesată în special elementele şirului Fibonacci şi vrea să studieze proprietăţile elementelor acestui şir. De curând a scris elementele Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … şi a observat că un element, numărul 5, poate fi scris ca sumă de alte două numere Fibonacci ridicate la pătrat, 5=12+22, iar alt număr Fibonacci, numărul 144, poate fi scris ca diferenţă a altor două numere Fibonacci ridicate la pătrat, 144=132-52.

Maria a fost încântată de rezultatele pe care le-a obţinut şi ar dori să mai găsească şi alte elemente ale şirului care se pot scrie ca sumă sau ca diferenţă de alte două numere Fibonacci ridicate la pătrat.

Ajutaţi-o pe Maria, să decidă despre un element Fibonacci oarecare dacă se poate scrie ca sumă sau diferenţă de două numere Fibonacci distincte ridicate la pătrat. Datorită valorilor mari ale numerelor Fibonacci se cere restul împărţirii lor la 46337.

Lot Juniori, Focsani, 2010

  • Fișiere
  • Silviu Candale
  • Zoltan Szabo
  • Clasa 11
  • concurs

#725 Rege

Cunoscând dimensiunea m*n a tablei de şah, respectiv poziţia iniţială (l1,c1) şi poziţia finală (l2,c2) a traseului regelui, să se calculeze numărul drumurilor minime distincte în care regele poate parcurge drumul.

Lot Juniori, Focsani, 2010

Se dau două numere naturale N şi K. Determinaţi numărul de şiruri de lungime N formate doar din semnele + şi şi în care nu apar K semne pe poziţii consecutive.

Lot Juniori, Arad, 2011

#738 Left

Se dau L şi C două numere naturale şi o matrice cu L linii şi C coloane având elementele numere întregi. Trebuie alese elemente care să respecte următoarele proprietăţi:

  • de pe fiecare linie se alege o secvenţă de elemente aflate pe coloane cu indici consecutivi, începând cu elementul de pe prima coloană;
  • pentru orice două linii consecutive, lungimile secvenţelor alese trebuie să difere prin 1 sau să fie egale;
  • nu trebuie să existe 3 linii consecutive pentru care lungimile secvenţelor alese să fie egale, sau să fie în ordine strict crescătoare sau strict descrescătoare;

Se cere să se facă o alegere a secvenţelor de pe fiecare linie a matricei respectând restricţiile precizate, astfel încât însumând elementele acestora să se obţină suma maximă posibilă.

Lot Juniori, Alba Iulia, 2010

Fie n cuburi de aceeaşi mărime, cu feţe colorate. Culorile sunt codificate prin câte o literă de la A la M. Pentru fiecare cub se cunosc culorile feţelor în ordinea: bază, capac, faţă frontală, faţă laterală dreapta, faţa din spate, faţă laterală stânga. Să se determine numărul maxim de cuburi care, răsturnate şi rotite convenabil, pot fi puse unul peste altul astfel încât să formeze un turn cu toate feţele uniform colorate (fiecare faţă a turnului sa fie de aceeaşi culoare, de la primul, până la ultimul cub al turnului).

Lot Juniori, Bistrita, 2009

#744 Rec

După strălucita victorie de la Austerlitz împotriva coaliţiei ruso-austriece, împăratul Napoleon Bonaparte doreşte să recompenseze N generali care s-au remarcat în luptă. Pentru aceasta, el dispune de o sumă în franci de valoare S. La festivităţile dedicate victoriei, cei N generali vor fi aliniaţi în ordinea descrescătoare a meritelor lor pe câmpul de luptă şi împăratul îi va chema pentru înmânarea recompensei în această ordine.

Bonaparte doreşte să împartă întreaga sumă astfel încât generalul cel mai merituos să primească suma cea mai mare şi oricare alt general să primească o sumă cel mult egală cu a generalului care a fost premiat anterior. De asemenea, generalul cu cel mai mic premiu nu trebuie să primească mai puţin de F franci.

Determinaţi numărul de variante distincte de acordare a recompenselor de către împăratul Napoleon.

Lot Juniori, Bistrita, 2009

#1063 Arme

Vasile joacă (din nou!) jocul său preferat cu împuşcături. Personajul său are la brâu N arme, aşezate în N huse speciale, numerotate de la 1 la N. Arma din husa i are puterea pbi (1≤i≤N).

În camera armelor a găsit M arme, aşezate pe perete, în M locaţii, numerotate de la 1 la M. Pentru fiecare armă j (1≤j≤M) este cunoscută puterea sa pcj.

Vasile poate înlocui arme pe care le are la brâu cu arme aflate pe perete în camera armelor. La o înlocuire el ia arma de pe perete din locaţia j (1≤j≤M) şi o pune la brâu în husa i (1≤i≤N), iar arma din husa i o pune pe perete în locaţia j.

Scrieţi un program care să determine suma maximă a puterilor armelor pe care le va avea la brâu Vasile după efectuarea înlocuirilor.

OJI 2012, Clasa a VII-a