Lista de probleme 6

Se consideră două numere naturale nenule N şi K. Numim K-şir un şir de numere naturale cu K termeni.

Determinaţi numărul format din ultimele 4 cifre ale numărului de K-şiruri distincte cu proprietatea că fiecare dintre ele are cel mai mic multiplu comun al termenilor egal cu N.

Lot Juniori, Cluj Napoca, 2009

#748 Bile

Firma de transport la care lucrează Napocan trebuie să transporte un joc de biliard. Sarcina lui Napocan este să se ocupe de transportul celor 2n+1 bile ale jocului. Aceste bile sunt numerotate cu numere naturale distincte de la 1 la 2n+1. Pentru transportul lor se folosesc n+1 cutii numerotate de la cu numere naturale distincte de la 1 la n+1. În fiecare cutie încap exact două bile. Lui Napocan i se cere să distribuie bilele în cutii astfel încât:

în cutiile numerotate de la 1 la n să se afle câte două bile iar în cutia cu numărul n+1 să se afle o singură bilă

  • pentru fiecare cutie numerotată de la 1 la n, modulul diferenţei dintre numerele celor două bile aflate în ea să fie egal cu numărul cutiei respective.

Determinaţi o modalitate de dispunere a celor 2n+1 bile în cele n+1 cutii care să corespundă cerinţelor impuse.

Lot Juniori, Cluj Napoca, 2009

În oraşul Z sunt un număr de n obiective turistice, numerotate de la 1 la n. Pentru a ajuta turiştii să viziteze oraşul, primăria a cumpărat un autobuz special ce are k locuri şi care va parcurge cele n puncte de atracţie turistică începând cu obiectivul numerotat cu 1, apoi obiectivul numerotat cu 2, …, până la obiectivul numerotat cu n şi apoi revine la obiectivul 1, traseul având formă circulară. În fiecare staţie aşteaptă un anumit număr de călători; pentru fiecare călător se ştie numărul de staţii pe care doreşte să le parcurgă. Călătorii au acces în autobuz numai dacă sunt locuri libere, în ordinea în care așteaptă în stație, iar cei care nu pot urca părăsesc staţia; la următoarea oprire în staţia respectivă vor aştepta alţi călători. Pentru fiecare staţie parcursă costul unui bilet este 1 leu. Autobuzul va face pentru ultima urcare a călătorilor şi un ultim tur în care doar coboară călători şi nu urcă nimeni. Se cere numărul de curse complete realizate şi suma încasată pentru cursele realizate.

Determinarea valorilor ce reprezintă suma încasată şi numărul de curse complete realizate.

#749 Cerc2

N puncte numerotate de la 1 la N sunt aşezate pe cerc, în sensul acelor de ceasornic, în ordine strict crescătoare.

Există M segmente de dreaptă diferite care unesc M perechi de puncte dintre cele N date. Cele două puncte care formează orice pereche sunt distincte.

Distanţele dintre două puncte succesive sunt alese astfel încât să nu existe 3 sau mai multe segmente care trec printr-un acelaşi punct interior cercului.

Cunoscându-se numărul de puncte, numărul de perechi şi perechile de puncte care vor fi unite, se cere să se determine numărul P de puncte de intersecţie formate de acestea în interiorul cercului (punctele de intersecţie aflate chiar pe cerc nefiind luate în considerare).

#750 smin

Ana are un joc nou. Pe o tablă pătrată este trasat un grid format din celule pătratice de dimensiune 1. În oricare dintre colţurile oricărei celule, Ana poate înfige câte un beţişor perpendicular pe tablă. După ce a plasat n beţişoare, Ana ia dintr-o cutie (cu un număr suficient de mare de corzi elastice circulare) câte o coardă cu care înconjoară trei sau mai multe beţişoare. Fiecare coardă este bine întinsă şi formează pe tablă un contur poligonal.
În figura alăturată este folosită o coardă ce formează un contur poligonal cu 4 laturi cu care sunt înconjurate 5 dintre cele 8 beţişoare de pe tablă.

Jocul se încheie când au fost plasate atâtea coarde încât toate beţişoarele de pe tablă să se afle pe marginea sau în interiorul a cel puţin unul dintre contururile poligonale formate. Scopul jocului este ca amplasarea corzilor să fie făcută convenabil astfel încât totalul ariilor contururilor poligonale formate să fie minim.

Cunoscând coordonatele celor n beţişoare (x[1], y[1]), (x[2], y[2]), …, (x[n], y[n]) măsurate faţă de unul dintre colţurile gridului, Ana doreşte să găsească suma minimă a ariilor poligonale obţinute prin amplasarea convenabilă a coardelor, astfel încât fiecare beţişor să se găsească în interiorul sau pe conturul a cel puţin un astfel de poligon.

#745 K1

Pentru a diminua efectele crizei economice prin creşterea numărului de telespectatori (şi implicit a veniturilor provenite din publicitate), redacţia „Şocuri şi concursuri” a unei televiziuni selecte a decis să organizeze un turneu de lupte k1. La acesta vor lua parte N sportivi. Fiecare dintre aceştia are un rating, calculat pe baza rezultatelor sale anterioare. Suma de bani pe care o primeşte pentru fiecare luptă la care va lua parte este egală cu acest rating. În urma fiecărei lupte rating-ul învingătorului creşte cu valoarea rating-ului învinsului.

Cum televiziunea îşi doreşte un profit cât mai mare, conducătorii acesteia doresc să programeze meciurile astfel încât să plătească luptătorilor o sumă totală cât mai mică. Ştiind că nu există lupte încheiate la egalitate şi că turneul se termină doar după ce a fost stabilit un învingător, stabiliţi care este suma totală minimă pe care o pot plăti organizatorii. Suma totală plătită de televiziune este obţinută prin adunarea sumelor plătite tuturor luptătorilor pe parcursul turneului.

Lot Juniori, Cluj Napoca, 2009