Lista de probleme 93

Fiind date n numere naturale a1 , a2 ... an , se calculează ai ^ aj , pentru oricare i şi j (1 ≤ i < j ≤ n) şi se obţine un şir de valori naturale. Cu caracterul ^ s-a notat operatorul sau exclusiv pe biți (xor) şi se aplică conform regulii din tabelul de mai jos.

Fiind date cele n valori şi un număr natural nenul m, 1 ≤ m ≤ n*(n-1)/2, să se determine al m-lea număr din şirul obținut mai sus, considerând valorile în ordine crescătoare.

În Bistriţa sunt N copii, fiecare dintre ei având un număr preferat Xi . Copii se aşează pe un rând, cu poziţiile numerotate de la 1 la N. După ce copii s-au aşezat, profesoara de educaţie fizică le cere să execute M mişcări de tipul (a, b), cu semnificaţia că îşi vor schimba ordinea copiii care se află între poziţiile a şi b, inclusiv.

Să se răspundă la Q întrebări de tipul p, cu semnificaţia: care este numărul preferat al copilului, care se află pe poziţia p, după executarea mişcărilor cerute de profesoara de educaţie fizică.

Fie \(z \in R, z \neq 0\) astfel încât \(z + \frac{1}{z} = k, k \in N\).

Dându-se k și un număr natural n, se cere:

a) să calculați \(z^2 + \frac{1}{z^2}\) ;
b) să se determine \(z^n + \frac{1}{z^n}\) .

Maria pleacă în excursie la munte. Traseul de la baza muntelui și până la vârf trece printr-o serie de parcele organizate într-o matrice pătratică de dimensiune nxn. Baza muntelui se consideră primul element al matricei, iar vârful, ultimul element. Se cunoaște faptul că traseele de la bază până la vârf au numai suișuri. Maria dispune de un altimetru prin intermediul căruia poate determina altitudinea la care se găsește parcela pe care se află. Ea nu-și propune să urce până la vârf, ci doar până la o anumită altitudine. Cunoscând valoarea n, harta de dimensiune nxn cu altitudinile precizate și x o valoare ce reprezintă altitudinea la care trebuie să ajungă Maria, se cere să se determine coordonatele parcelei cu altitudinea x.

Tanărul Pagnad proaspăt ajuns la facultate, vrea să prindă și el ceva. Fiind nemulțumit de celebra aplicație Tinder acesta dorește să-și creeze propria lui aplicație. Aplicația se folosește de datele strânse de pe diferite rețele de socializare ale utilizatorului și le codează într-o matrice. Stați calmi, nu trebuie sa creați voi matricea, dar pentru a-și studia compatibilitatea cu o persoana Pagnad se folosește de următoarele noțiuni.

Acesta definește o structură de dimensiune k o submatrice pătratică de latura k. Compatibilitatea se stabilește în funcție de câte perechi de două structuri, nu neapărat de aceleași dimensiuni, dar de sumă egală se găsesc în două matrici (prima structură trebuie să aparțină primei matrici, a doua celei de-a doua matrici).

Definim o structură prin coordonatele colțului stânga sus (x,y) și dimensiunea laturii acesteia k. Două perechi x1, y1, k1 și x2, y2, k2 sunt diferite daca: x1≠x2 sau k1≠k2 sau daca x1=x2 si k1=k2 si y1≠y2 sau x1=x2, y1=y2 si k1≠k2 (acestea fac referință pentru submatrice din aceeași matrice).

Se cere să se afle compatibilitatea între cele două matrice.

IceManLucky joacă League of Legends când dintr-o dată calculatorul i se blochează şi pe ecran îi apare bine cunoscutul blue screen. Pe ecran el vede acum 2N numere reale : a₁ , a₂ , …, a_2n. Având un calculator mai special, IceManLucky ştie că există o singură soluţie ca să remedieze problema. El efectuează N operaţii consecutiv, o operaţie constând în :

- alege 2 indecşi i şi j (i ≠ j), pe care nu i-a mai ales anterior
- rotunjeşte ai la cel mai apropriat număr întreg care nu este mai mare ca ai
- rotunjeşte aj la cel mai apropriat număr întreg care nu este mai mic ca aj

Scopul lui IceManLucky este ca diferenţa absolută dintre suma numerelor apărute iniţial pe ecran şi suma numerelor după efectuarea celor N operaţii descrise mai sus să fie minimă.

Fie n un număr natural nenul.

Se construiește mulțimea M a tuturor numerelor formate din exact n cifre, numere formate doar cu cifrele 1 și 2.

Scrieți un program care citește numărul natural n și apoi determină cel mai mic număr natural x din mulțimea M cu proprietatea că x este divizibil cu 2n.

Ana şi Bogdan au inventat încă un joc. Jocul are jetoane, albe şi negre, care iniţial se aşază într-un teanc, într-o ordine oarecare. Numim configuraţie succesiunea culorilor tuturor jetoanelor din teanc (în ordine, începând din vârful teancului). Un jeton alb va fi codificat prin litera A, iar un jeton negru prin litera N.

La o mutare un jucător poate lua din vârful teancului oricâte jetoane consecutive (dar cel puţin un jeton), cu condiţia ca toate jetoanele luate să aibă aceeaşi culoare. Jucătorii mută alternativ, prima la mutare fiind Ana. Jocul va fi câştigat de jucătorul care ia ultimul jeton.

Spunem că un jucător are strategie sigură de câştig dacă el, urmând această strategie, câştigă jocul, indiferent care sunt mutările celuilalt jucător.

Scrieţi un program care citeşte T configuraţii şi determină pentru fiecare dintre cele T configuraţii dacă Ana are strategie sigură de câştig.

SLang este o versiune a aplicației Scratch care pune la dispoziție șapte instrucțiuni de tip I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7 prezentate în enunț.

Un program corect este o succesiune de instrucţiuni care respectă următoarele reguli:

1. Începe cu o instrucțiune de tip I1 şi se termină cu o instrucțiune de tip I7.
2. Între instrucţiunea de tip I1 şi instrucţiunea de tip I7 vor exista una, două sau mai multe instrucţiuni de tipurile I2, I3, I4, I5 sau I6, fără a utiliza două instrucţiuni de acelaşi tip; fiecare dintre aceste instrucţiuni poate să conţină alte instrucţiuni, conform cu regulile specificate.
3. Corpul unei instrucțiuni de tip I4 poate conține una sau două instrucțiuni de mișcare (adică de tip I2 sau I3) și nu poate conține instrucțiuni de alt tip.
4. Fiecare dintre cele două ramuri ale unei instrucțiuni de tip I5 (ramura daca şi ramura daca nu) poate conține una sau două instrucțiuni de tip I2 sau I3 și nu poate conține instrucțiuni de alt tip.
5. Corpul unei instrucțiuni de tip I6 poate conține una, două sau mai multe instrucţiuni de tipurile I2, I3, I4, I5 sau I6, fără a utiliza două instrucţiuni de acelaşi tip; similar, fiecare dintre aceste instrucţiuni poate să conţină alte instrucţiuni, conform cu regulile specificate.

Nivelul de imbricare al unui program corect va fi egal cu numărul de instrucţiuni de tip I6 existente în program.

Dat fiind numărul natural K, reprezentând nivelul de imbricare, scrieţi un program care să rezolve următoarele cerinţe:

1. determină numărul de programe corecte distincte cu nivelul de imbricare K;
2. determină numărul minim de instrucțiuni și respectiv numărul maxim de instrucțiuni ce pot exista într-un program corect cu nivel de imbricare K.

Orice număr natural mai mare decât 2 poate fi scris ca sumă de numere naturale nenule aflate în ordine strict crescătoare, astfel încât orice termen al sumei, cu excepția primului termen, este un multiplu al termenului precedent din sumă. De exemplu, 27=3+6+18, unde 6 este multiplul lui 3, iar 18 este multiplul lui 6. Cum se dorește o descompunere formată dintr-un număr cât mai mare de termeni, vom obține și descompuneri cu 4 termeni: 27=1+2+8+16, 27=1+2+4+20, 27=1+2+6+18. Dintre cele trei descompuneri cu 4 termeni, descompunerea 27=1+2+4+20 este minimă din punct de vedere lexicografic (1 și 2 sunt la fel în cele trei descompuneri, dar 4 < 6 și 4 < 8). Numărul 30 poate fi descompus 30=2+4+8+16. El are o descompunere tot de lungime 4, dar este mai mare din punct de vedere lexicografic decât oricare dintre descompunerile cu patru termeni ale lui 27 (2 > 1).

Pentru mai multe seturi de date formate din câte două numere naturale A și B, A ≤ B, se cere să se determine, pentru fiecare set una dintre următoarele cerințe:
1. numărul maxim de termeni în care pot fi descompuse numerele din intervalul [A,B] după regula descrisă în enunț;
2. numărul de numere din intervalul [A,B] care pot fi descompuse cu un număr maxim de termeni;
3. numărul din intervalul [A,B] care admite o descompunere cu un număr maxim de termeni, minimă din punct de vedere lexicografic.