Lista de probleme

#688 pixy

Pixy locuieşte într-o ţară colorată. Harta ţării poate fi reprezentată sub forma unui dreptunghi împărţit în celule, organizate în M linii şi N coloane. Liniile sunt numerotate de la 1 la M, începând de la linia de sus, iar coloanele sunt numerotate de la 1 la N începând de la coloana din stânga. Fiecare celulă are o anumită culoare. Culorile sunt codificate cu literele A, B, C, D, E, F (există doar 6 culori).

Casa lui Pixy se găseşte în celula de coordinate (1,1), iar prietena lui, Pixela, locuieşte în celula de coordonate (M,N). Pixy doreşte să ajungă la aleasa inimii sale, însă nu poate păşi decât pe celule de aceeaşi culoare. Ştim că Pixy se poate deplasa doar orizontal, sau vertical cu câte o căsuţă la fiecare pas.

Pentru a putea ajunge la Pixela, Pixy va proceda astfel: alege o culoare şi va recolora celula în care se găseşte casa sa cu culoarea aleasă. Astfel va obţine o zonă de celule adiacente având toate aceeaşi culoare. Două celule se consideră adiacente dacă se învecinează orizontal sau vertical. De exemplu, pentru harta din figura 1, dacă alege culoarea având codul D va obţine zona marcată din figura 2, toate celulele din această zonă având culoarea D.

În continuare Pixy va proceda asemănător: alege o nouă culoare, şi recolorează toată zona obţinută la pasul anterior cu noua culoare, astfel zona pe care poate păşi se lărgeşte. De exemplu, dacă în situaţia din figura 2, Pixy alege acum culoarea cu codul C va obţine situaţia din figura 3.

Procedeul continuă până când celula corespunzătoare casei Pixelei face şi ea parte din zona obţinută de Pixy în urma recolorărilor.

Alegerea culorilor de la fiecare pas trebuie făcută cu mare grijă, astfel încât numărul de recolorări să fie minim.

Acum lui Pixy îi mai rămâne sarcina de a găsi un drum cât mai scurt pe care îl va parcurge până la Pixela, păşind doar pe celulele din zona obţinută în urma recolorărilor succesive, adică celulele de pe parcursul drumului vor avea toate aceeaşi culoare.

Se cere să determinaţi:

a) numărul minim de recolorări
b) lungimea drumului minim de la Pixy la Pixela, parcurs pe zona obţinută în urma recolorărilor de la cerinţa a).

Lot Juniori, Sibiu 2011

#700 Labir

Şoricelul Jerry este (pentru a câta oară ?) în labirint. Labirintul poate fi codificat ca o matrice cu n linii şi m coloane formată din n*m celule pătratice identice. Liniile se numerotează de la 1 la n, iar coloanele de la 1 la m. Labirintul este format din celule libere şi din celule ocupate de pereţii labirintului.

La momentul iniţial, Jerry se găseşte într-o anumită celulă liberă şi misiunea lui este să ajungă la destinaţie într-o altă celulă liberă precizată. Șoricelul se poate deplasa din celula curentă în oricare dintre cele patru celule cu care aceasta are în comun o latură şi nu poate ieşi în afara labirintului. Este posibil ca el să nu poată să ajungă de la poziţia iniţială la cea finală trecând doar prin celule libere. În această situație el este nevoit să sfărâme peretele în anumite celule. Jerry şi-a pregătit dinamită în acest scop, pentru că nu i se pare optim să roadă peretele cu dinţii.

Cunoscând dimensiunile n şi m ale labirintului, coordonatele celulei de plecare şi ale celulei destinaţie, precum şi coordonatele celulelor ocupate de pereţi, să se determine numărul minim de celule ocupate, pe care Jerry trebuie să le dinamiteze pentru a putea să ajungă la destinaţie.

Lot Juniori, Deva, 2013

#718 Sah2

Mihai a primit de ziua sa un joc de şah special. Tabla jocului are forma pătrată, de dimensiune N dar unele poziţii sunt marcate ca obstacole şi ele nu pot fi ocupate cu piese. În plus, jocul său are o singură piesă, numită “nebun”. Două poziţii pe tablă sunt desemnate ca poziţie iniţială şi poziţie finală. Mihai vrea să determine o modalitate de a deplasa nebunul, cu un număr minim de mutări, astfel încât acesta să ajungă din poziţia iniţială în poziţia finală. Mihai va respecta regulile de mutare a nebunului la jocul de şah, adică din poziţia curentă nebunul se poate muta doar pe diagonală, în oricare dintre cele 4 direcţii, oricâte poziţii deodată dar fără a sări peste obstacole. În plus, Mihai are voie la o excepţie de la această regulă: îi este permis să execute cel mult două mutări după regula de avansare a calului pe tabla de şah.

Dată fiind configuraţia tablei de şah precum şi poziţiile iniţială şi finală ale piesei, se cere determinarea numărului minim de mutări pentru a deplasa piesa între cele două poziţii.

Lot Juniori, Resita, 2012

#727 Joc1

Atunci când este plictisit, Costel inventează jocuri logice şi încearcă să le rezolve. Într-o zi Costel ia o tablă dreptunghiulară împărţită în M*N pătrăţele identice, asemănătoare unei table de şah, şi aşează pe aceasta cuburi identice astfel încât, pe fiecare pătrat al tablei să se afle cel puţin un cub şi cel mult 10 cuburi suprapuse. Costel determină numărul minim de cuburi aşezate pe o poziţie a tablei, notat cu MIN.

El defineşte noţiunea de mutare astfel: alege patru pătrăţele învecinate, care formează un pătrat compus din 2*2 pătrăţele şi ridică toate cuburile de pe aceste poziţii astfel ca, pe fiecare dintre cele patru pătrăţele, să existe un număr de cuburi egal cu MIN. Efortul necesar efectuării mutării este egal cu MAX-MIN, unde MAX reprezintă numărul maxim de cuburi aflat pe unul dintre cele patru pătrăţele alese.

Scopul jocului este acela de a obţine acelaşi număr de cuburi, egal cu valoarea MIN, pe fiecare pătrăţel de pe tablă, efectuând un şir de mutări ce necesită un efort total minim. Efortul total depus pentru rezolvarea jocului este egal suma eforturilor mutărilor efectuate.

Determinaţi valoarea efortului total minim depus pentru rezolvarea jocului.

Lot Juniori, Arad, 2011

#745 K1

Pentru a diminua efectele crizei economice prin creşterea numărului de telespectatori (şi implicit a veniturilor provenite din publicitate), redacţia „Şocuri şi concursuri” a unei televiziuni selecte a decis să organizeze un turneu de lupte k1. La acesta vor lua parte N sportivi. Fiecare dintre aceştia are un rating, calculat pe baza rezultatelor sale anterioare. Suma de bani pe care o primeşte pentru fiecare luptă la care va lua parte este egală cu acest rating. În urma fiecărei lupte rating-ul învingătorului creşte cu valoarea rating-ului învinsului.

Cum televiziunea îşi doreşte un profit cât mai mare, conducătorii acesteia doresc să programeze meciurile astfel încât să plătească luptătorilor o sumă totală cât mai mică. Ştiind că nu există lupte încheiate la egalitate şi că turneul se termină doar după ce a fost stabilit un învingător, stabiliţi care este suma totală minimă pe care o pot plăti organizatorii. Suma totală plătită de televiziune este obţinută prin adunarea sumelor plătite tuturor luptătorilor pe parcursul turneului.

Lot Juniori, Cluj Napoca, 2009

#1028 Ferma

Un fermier deține o fermă de formă dreptunghiulară cu lungimea m metri și lățimea n metri. Respectând principiul rotației culturilor, fermierul și a realizat un plan pentru semănarea culturilor în noul an. Astfel ,el a desenat un dreptunghi pe care l-a împărțit în m * n celule, fiecare corespunzând unui metru pătrat, și a colorat în culori diferite zonele care corespund unor culturi diferite. O cultură poate fi semănată pe mai multe parcele. Două celule care au o latură comună aparțin aceleiași parcele dacă au aceeași culoare (sunt însămânțate cu aceeași cultură). Fermierul are posibilitatea să irige o sigură parcelă și dorește să aleagă parcela cu cea mai mare suprafață. Nefiind mulțumit de suprafața rezultată, s-a întrebat dacă ar putea schimba cultura de pe o singură celulă, astfel încât să obțină o parcelă de suprafață mai mare.

Dându-se dimensiunile fermei și pentru fiecare celulă culoarea corespunzătoare culturii semănate, determinați:

  • Cerința 1: Suprafața maximă a unei parcele în planul inițial.
  • Cerința 2: Numărul liniei, respectiv al coloanei celulei pe care va semăna o altă cultură și culoarea corespunzătoare noii culturi în vederea obţinerii celei mai mari parcele posibile.

OJI 2014, Clasa a X-a

#1099 Insule

Arhipelagul RGB este format din insule care aparţin ţărilor R, G şi B. Putem reprezenta harta arhipelagului ca o matrice cu n linii şi m coloane cu elemente din mulţimea {0, 1, 2, 3}. Un element egal cu 0 reprezintă o zonă acoperită de apă; un element egal cu 1 reprezintă o zonă de pământ aparţinând unei insule din ţara R, iar un element egal cu 2 reprezintă o zonă de pământ aparţinând unei insule din ţara G, iar un element egal cu 3 reprezintă o zonă de pământ aparţinând unei insule din ţara B.

Se consideră că două elemente ale matricei sunt vecine dacă ele au aceeaşi valoare şi fie sunt consecutive pe linie, fie sunt consecutive pe coloană. Două elemente aparţin aceleiaşi insule dacă ele sunt vecine sau dacă se poate ajunge de la un element la celălalt pe un drum de-a lungul căruia oricare două elemente consecutive sunt vecine.

Pentru a încuraja relaţiile de colaborare dintre ţările R şi G, se doreşte construirea unui pod care să unească o insulă aparţinând ţării R de o insulă aparţinând ţării G. Podul trebuie să respecte următoarele condiţii:

  • să înceapă pe o zonă cu apă consecutivă pe linie sau coloană cu o zonă aparţinând ţării R;
  • să se termine pe o zonă cu apă consecutivă pe linie sau coloană cu o zonă aparţinând ţării G;
  • să traverseze numai zone acoperite cu apă;
  • oricare două elemente consecutive ale podului trebuie să fie vecine;
  • lungimea podului să fie minimă (lungimea podului este egală cu numărul de elemente traversate de pod).

Dată fiind harta arhipelagului să se determine câte insule aparţin fiecărei ţări, precum şi lungimea minimă a unui pod care să satisfacă condiţiile din enunț.

OJI 2009, Clasa a X-a

#1108 Traseu

Într-un oraș există un hotel de formă cubică, cu N etaje, numerotate de la 1 la N. Suprafața fiecărui etaj K (1 ≤ K ≤ N) este pătratică și este împărțită în N x N camere identice alăturate, dispuse pe N linii și N coloane, fiecare cameră având drept etichetă un triplet de numere naturale (K L C) (K=etajul, L=linia, C=coloana, 1 ≤ L, C ≤ N), ca în imaginea alăturată.

Dintre cele N x N x N camere ale hotelului, una este specială deoarece în ea locuiește de mult timp un șoricel. Fiind isteț, el știe eticheta camerei în care se află precum și eticheta camerei în care bucătarul hotelului depozitează alimente.

Studiind hotelul, șoricelul a constatat că pe fiecare etaj, din orice cameră poate intra în toate camerele care au un perete comun cu aceasta (existând un mic orificiu pentru aerisire).

De asemenea, șoricelul a constatat că din fiecare cameră (situată la etajele 2, 3, …, sau N-1) poate intra în camera situată imediat deasupra ei și în camera situată imediat sub ea.

Fiind un șoricel binecrescut, el nu intră în nicio cameră ocupată de clienți ca să nu-i deranjeze. Hotelul având mulți clienți, șoricelul trebuie să-și găsească cel mai scurt traseu de la camera lui la camera cu alimente, traseu care să treacă printr-un număr minim de camere, toate neocupate.

Se cere să se determine:
a) numărul de camere prin care trece cel mai scurt traseu al șoricelului de la camera lui la camera cu alimente (inclusiv camera lui şi camera cu alimente);
b) etichetele camerelor prin care trece traseul determinat la punctul a).

ONI 2014, Clasa a IX-a

#1109 Joc5

Costel are o mare pasiune pentru rezolvarea cubului Rubik, atât de mare încât a început să facă cercetări și calcule diverse pornind de la acest joc. Ultima lui idee, inspirată de cubul Rubik, folosește un cub de latură 2 unități, compus din 8 cuburi cu latura de o unitate (cub unitate), având fețele exterioare colorate. Fiecare cub unitate are 3 fețe exterioare şi fiecare dintre acestea este colorată cu una din cele 10 culori disponibile, codificate prin cifrele de la 0 la 9.

Figura 1 Figura 2

Identificarea cuburilor unitate se face conform specificaţiilor din Figura 1. Cubul care nu este vizibil în Figura 1 are coordonatele (1, 1, 2). Cubul lui Costel permite efectuarea următoarelor tipuri de mutări, asemănătoare cu cele din cubul Rubik:

M1: Paralelipipedul 1 conține cuburile unitate de coordonate: (1, 1, 1); (1, 2, 1); (2, 1, 1); (2, 2, 1). Acesta este un disc așezat orizontal și poate fi rotit cu 90 de grade către dreapta, în sensul acelor de ceasornic.
M2: Paralelipipedul 2 conține cuburile unitate de coordonate: (1, 1, 2); (1, 2, 2); (2, 1, 2); (2, 2, 2). Acesta este un disc așezat orizontal și poate fi rotit cu 90 de grade către dreapta, în sens invers acelor de ceasornic.
M3: Paralelipipedul 3 conține cuburile unitate de coordonate: (1, 1, 1); (2, 1, 1); (1, 1, 2); (2, 1, 2). Acesta este un disc așezat vertical și poate fi rotit cu 90 de grade către planul îndepărtat, în sens invers acelor de ceasornic.
M4: Paralelipipedul 4 conține cuburile unitate de coordonate: (1, 2, 1); (2, 2, 1); (1, 2, 2); (2, 2, 2). Acesta este un disc așezat vertical și poate fi rotit cu 90 de grade către planul îndepărtat, în sensul acelor de ceasornic.

Prin configurație se înțelege memorarea culorii fiecărei fețe exterioare a celor 8 cuburi unitate, deci culorile celor 24 de feţe exterioare. Aplicând o succesiune validă de mutări se obține o altă configurație.

Pentru ușurința memorării unei configurații, Costel utilizează desfășurarea în plan a celor 6 fețe ale cubului său după modelul din Figura 2, care ilustrează modul în care sunt dispuse fețele în desfăşurare. Fiecare faţă a cubului conţine patru feţe exterioare ale cuburilor unitate având, în ordine, coordonatele specificate în figură.

Fiind date o configuraţie iniţială şi o configuraţie finală ale jocului, determinați numărul minim de mutări prin care se poate ajunge de la configurația inițială la configurația finală şi succesiunea corespunzătoare de mutări prin care se poate obţine configuraţia finală.

ONI 2014, Clasa a X-a

#1761 Brutar

Renumitul nostru brutar a avut azi noapte un vis tare ciudat: acesta trăia într-un univers paralel în care nu omul îl mănâncă pe blat ci blatul îl mănâncă pe om… (eh, poate nu chiar atât de paralel). Astfel, brutarul nostru a fost atacat de blatul pe care tocmai îl pregătise (pentru prăjituri, evident) și a încercat să scape. Acesta a ieșit din brutărie și a ajuns în fața unui câmp de formă dreptunghiulară, cu dimensiunile cunoscute, ce poate fi împărțit în celule elementare cu latura de o unitate (exact ca o matrice!). Acesta poate intra pe câmp prin orice celulă a primei linii și trebuie să ajungă în orice celulă a ultimei linii (blatul se va întări până va ajunge acolo). Unele celule îi sunt inaccesibile din cauza diverselor obstacole (pietre, pomi, gropi,etc.)

Brutarul nostru se poate deplasa în 6 moduri:

  • Din căsuța curentă în cele adiacente ( Nord, Vest, Sud, Est )
  • Două mișcări speciale ce pot varia.

Mutările speciale vor fi citite din fișier și o mutare se va codifica astfel: xA yB, unde x și y sunt numere naturale nenule iar A și B sunt două caractere ce codifică direcția (A poate fi 'N' sau 'S' de la Nord respectiv Sud iar B poate fi ‘E’ sau ‘V’ de la Est respectiv Vest)

O mutare specială se poate face dacă celula destinație nu este ocupată de un obstacol și dacă nu implică ieșirea brutarului din matrice.

Brutarul vă roagă să îi specificați un traseu cu număr minim de celule parcurse, ce pornește de pe prima linie și se termină pe ultima linie, pentru a nu fi blătuit (mâncat de blat).

Concursul EMPOWERSOFT, 2016