Lista de probleme 78

Costel are o mare pasiune pentru rezolvarea cubului Rubik, atât de mare încât a început să facă cercetări și calcule diverse pornind de la acest joc. Ultima lui idee, inspirată de cubul Rubik, folosește un cub de latură 2 unități, compus din 8 cuburi cu latura de o unitate (cub unitate), având fețele exterioare colorate. Fiecare cub unitate are 3 fețe exterioare şi fiecare dintre acestea este colorată cu una din cele 10 culori disponibile, codificate prin cifrele de la 0 la 9.

Figura 1	Figura 2

Identificarea cuburilor unitate se face conform specificaţiilor din Figura 1. Cubul care nu este vizibil în Figura 1 are coordonatele (1, 1, 2). Cubul lui Costel permite efectuarea următoarelor tipuri de mutări, asemănătoare cu cele din cubul Rubik:

M1: Paralelipipedul 1 conține cuburile unitate de coordonate: (1, 1, 1); (1, 2, 1); (2, 1, 1); (2, 2, 1). Acesta este un disc așezat orizontal și poate fi rotit cu 90 de grade către dreapta, în sensul acelor de ceasornic.
M2: Paralelipipedul 2 conține cuburile unitate de coordonate: (1, 1, 2); (1, 2, 2); (2, 1, 2); (2, 2, 2). Acesta este un disc așezat orizontal și poate fi rotit cu 90 de grade către dreapta, în sens invers acelor de ceasornic.
M3: Paralelipipedul 3 conține cuburile unitate de coordonate: (1, 1, 1); (2, 1, 1); (1, 1, 2); (2, 1, 2). Acesta este un disc așezat vertical și poate fi rotit cu 90 de grade către planul îndepărtat, în sens invers acelor de ceasornic.
M4: Paralelipipedul 4 conține cuburile unitate de coordonate: (1, 2, 1); (2, 2, 1); (1, 2, 2); (2, 2, 2). Acesta este un disc așezat vertical și poate fi rotit cu 90 de grade către planul îndepărtat, în sensul acelor de ceasornic.

Prin configurație se înțelege memorarea culorii fiecărei fețe exterioare a celor 8 cuburi unitate, deci culorile celor 24 de feţe exterioare. Aplicând o succesiune validă de mutări se obține o altă configurație.

Pentru ușurința memorării unei configurații, Costel utilizează desfășurarea în plan a celor 6 fețe ale cubului său după modelul din Figura 2, care ilustrează modul în care sunt dispuse fețele în desfăşurare. Fiecare faţă a cubului conţine patru feţe exterioare ale cuburilor unitate având, în ordine, coordonatele specificate în figură.

Fiind date o configuraţie iniţială şi o configuraţie finală ale jocului, determinați numărul minim de mutări prin care se poate ajunge de la configurația inițială la configurația finală şi succesiunea corespunzătoare de mutări prin care se poate obţine configuraţia finală.

Parcul oraşului a fost neglijat mult timp, astfel că acum toate aleile sunt distruse. Prin urmare, anul acesta Primăria şi-a propus să facă reamenajări. Parcul are forma unui pătrat cu latura de n metri și este înconjurat de un gard care are exact două porți. Proiectanții de la Primărie au realizat o hartă a parcului și au trasat pe hartă un caroiaj care împarte parcul în nxn zone pătrate cu latura de 1 metru. Astfel harta parcului are aspectul unei matrice pătratice cu n linii și n coloane. Liniile și respectiv coloanele sunt numerotate de la 1 la n. Elementele matricei corespund zonelor pătrate de latură 1 metru. O astfel de zonă poate să conțină un copac sau este liberă. Edilii orașului doresc să paveze cu un număr minim de dale pătrate cu latura de 1 metru zonele libere (fără copaci) ale parcului, astfel încât să se obțină o alee continuă de la o poartă la alta. Scrieți un program care să determine numărul minim de dale necesare pentru construirea unei alei continue de la o poartă la cealaltă.

Arhipelagul RGB este format din insule care aparţin ţărilor R, G şi B. Putem reprezenta harta arhipelagului ca o matrice cu n linii şi m coloane cu elemente din mulţimea {0, 1, 2, 3}. Un element egal cu 0 reprezintă o zonă acoperită de apă; un element egal cu 1 reprezintă o zonă de pământ aparţinând unei insule din ţara R, iar un element egal cu 2 reprezintă o zonă de pământ aparţinând unei insule din ţara G, iar un element egal cu 3 reprezintă o zonă de pământ aparţinând unei insule din ţara B.

Se consideră că două elemente ale matricei sunt vecine dacă ele au aceeaşi valoare şi fie sunt consecutive pe linie, fie sunt consecutive pe coloană. Două elemente aparţin aceleiaşi insule dacă ele sunt vecine sau dacă se poate ajunge de la un element la celălalt pe un drum de-a lungul căruia oricare două elemente consecutive sunt vecine.

Pentru a încuraja relaţiile de colaborare dintre ţările R şi G, se doreşte construirea unui pod care să unească o insulă aparţinând ţării R de o insulă aparţinând ţării G. Podul trebuie să respecte următoarele condiţii:

• să înceapă pe o zonă cu apă consecutivă pe linie sau coloană cu o zonă aparţinând ţării R;
• să se termine pe o zonă cu apă consecutivă pe linie sau coloană cu o zonă aparţinând ţării G;
• să traverseze numai zone acoperite cu apă;
• oricare două elemente consecutive ale podului trebuie să fie vecine;
• lungimea podului să fie minimă (lungimea podului este egală cu numărul de elemente traversate de pod).

Dată fiind harta arhipelagului să se determine câte insule aparţin fiecărei ţări, precum şi lungimea minimă a unui pod care să satisfacă condiţiile din enunț.

Institutul Naţional de Robotică Avansată realizează o serie de teste ultimei generaţii de roboţi inteligenţi proiectaţi de specialiştii acestuia. Sistemul de testare se bazează pe o reţea de senzori formată din n segmente egale dispuse orizontal şi n segmente egale dispuse vertical. Distanţa între două segmente alăturate orizontale, respectiv verticale este de 1 metru. Fiecare segment orizontal este în contact cu fiecare segment vertical. Denumim nod un punct în care un segment orizontal şi unul vertical vin în contact. Segmentele sunt numerotate: cele orizontale de sus în jos începând de la 1 iar cele verticale de la stânga la dreapta începând de la 1.

Un nod va fi identificat prin două numere: primul reprezintă numărul segmentului orizontal iar al doilea numărul segmentului vertical care vin în contact în respectivul nod.

Într-unul dintre nodurile reţelei se află o ţintă. În alte două noduri se află câte o sursă ce emite o rază laser. O astfel de sursă emite raza într-o singură direcţie. Raza laser are o grosime neglijabilă. Cele două surse sunt astfel orientate încât raza emisă de fiecare “loveşte” ţinta. Cele două noduri în care sunt plasate sursele sunt astfel alese încât cele două raze nu se intersectează decât în nodul unde se află ţinta.

În alte două noduri ale reţelei se află câte un robot. Fiecare robot se poate deplasa dintr-un nod în cele vecine (cele aflate sus, jos, în stânga şi în dreapta), dar fără să iasă din cadrul reţelei. Roboţii se deplasează cu 1 m/secundă.

Se efectuează experimente în care roboţii sunt programaţi să se deplaseze prin reţea cu scopul de a proteja ţinta faţă de cele două raze laser. Un robot poate proteja ţinta fie ocupând nodul unde se află sursa, fie ocupând un nod prin care trece raza laser în drumul de la sursă către ţintă (razele laser nu “ocolesc” roboţii). Dimensiunea roboţilor este atât de mică încât, în acest al doilea caz, ei protejează ţinta faţă de raza laser doar când nodurile unde sunt sursa, ţinta şi robotul sunt coliniare iar robotul este între sursă şi ţintă. În momentul în care un robot ajunge într-un nod unde protejează ţinta faţă de una dintre raze, el se poate opri sau poate să îşi continue deplasarea. Dacă îşi continuă deplasarea astfel încât noua poziţie ocupată de acel robot şi poziţiile ţintei şi sursei nu mai sunt coliniare, atunci acel robot nu mai protejează ţinta. Din modul în care sunt alese poziţiile nodurilor pentru ţintă şi sursele laser rezultă că nu există nicio poziţie în care un robot să protejeze simultan ţinta faţă de ambele raze.

Fiecare robot este dotat cu o reţea neuronală şi poate învăţa din experimentele anterioare pe unde să se deplaseze. Pentru a mări capacitatea de adaptare a roboţilor, în k noduri ale reţelei sunt aşezate obstacole care fac ca roboţii să nu poată trece prin nodurile respective. Deoarece obstacolele folosite sunt transparente, razele laser pot trece prin acestea fără a le fi afectată intensitatea sau direcţia. Două sau mai multe obstacole dispuse pe acelaşi segment, în noduri alăturate, formează un zid. Lungimea unui zid este egală cu numărul de obstacole din care este alcătuit.

Cerințe:

1) Determinaţi lungimea maximă a unui zid.
2) Determinaţi numărul minim de secunde în care cei doi roboţi pot proteja ţinta faţă de cele două raze laser.

Ionuţ pleacă în drumeţie într-o porţiune de teren de formă pătratică cu latura de N metri. O hartă a zonei are trasat un caroiaj care împarte zona în N*N pătrate unitate, cu latura de 1 metru. Astfel harta zonei are aspectul unui tablou pătratic cu N linii şi N coloane. Liniile şi coloanele sunt numerotate de la 1 la N. Elementele tabloului bidimensional corespund pătratelor unitate. Zona poate fi parcursă străbătând oricare dintre laturile pătratelor unitate cel mult o singură dată.

Ionuţ pleacă din punctul aflat în colţul din dreapta jos al pătratului unitate din linia X, coloana Y şi se deplasează făcând un pas (parcurgând o latură a unui pătrat unitate) în una din direcţiile Nord, Est, Sud, Vest. Pentru a reţine mai uşor traseul foloseşte următoarea codificare pentru cele 4 direcţii: 1 pentru deplasarea spre Nord, 2 pentru deplasarea spre Est, 3 pentru deplasarea spre Sud, respectiv 4 pentru deplasarea spre Vest.

Ajuns într-alt punct (colţ de pătrat unitate), Ionuţ continuă să se deplaseze fără a trece de mai multe ori pe aceeaşi latură a unui pătrat unitate.

Ionuţ se opreşte în momentul în care ajunge într-un punct prin care a mai trecut. Traseul străbătut între cele două treceri prin acelaşi punct delimitează o zonă de teren formată din pătrate unitate.

Dându-se linia X şi coloana Y corespunzătoare poziţiei de plecare a lui Ionuţ, dimensiunea zonei N, lungimea traseului L şi traseul determinaţi:
a) Numărul de paşi parcurşi între prima şi a doua trecere prin punctul de oprire.
b) Numărul de pătrate unitate interioare zonei delimitată de traseul străbătut între cele două treceri prin acelaşi punct.

Un fermier deține o fermă de formă dreptunghiulară cu lungimea m metri și lățimea n metri. Respectând principiul rotației culturilor, fermierul și a realizat un plan pentru semănarea culturilor în noul an. Astfel ,el a desenat un dreptunghi pe care l-a împărțit în m * n celule, fiecare corespunzând unui metru pătrat, și a colorat în culori diferite zonele care corespund unor culturi diferite. O cultură poate fi semănată pe mai multe parcele. Două celule care au o latură comună aparțin aceleiași parcele dacă au aceeași culoare (sunt însămânțate cu aceeași cultură). Fermierul are posibilitatea să irige o sigură parcelă și dorește să aleagă parcela cu cea mai mare suprafață. Nefiind mulțumit de suprafața rezultată, s-a întrebat dacă ar putea schimba cultura de pe o singură celulă, astfel încât să obțină o parcelă de suprafață mai mare.

Dându-se dimensiunile fermei și pentru fiecare celulă culoarea corespunzătoare culturii semănate, determinați:

• Cerința 1: Suprafața maximă a unei parcele în planul inițial.
• Cerința 2: Numărul liniei, respectiv al coloanei celulei pe care va semăna o altă cultură și culoarea corespunzătoare noii culturi în vederea obţinerii celei mai mari parcele posibile.

O rezervație de urși panda, privită de sus, are formă dreptunghiulară și este compusă din n rânduri identice, iar pe fiecare rând sunt m țarcuri identice cu baza pătrată. Țarcurile sunt îngrădite și sunt prevăzute cu uși către toate cele 4 țarcuri vecine. Ușile sunt prevăzute cu câte un cod de acces, ca atare acestea se închid și se deschid automat. Prin acest sistem, unele ţarcuri sunt accesibile ursuleților, iar altele le sunt interzise acestora. În T țarcuri se găsește mâncare pentru ursuleți.

Ursuleții din rezervație poartă câte un microcip care le deschide automat ușile țarcurilor unde pot intra și închide automat uşile țarcurilor interzise. Un țarc este accesibil ursulețului dacă ultimele S cifre ale reprezentărilor binare ale codului țarcului și ale codului k de pe microcip sunt complementare. (Exemplu: pentru S=8, 11101011 și 00010100 sunt complementare).

Într-un țarc este un ursuleț căruia i s-a făcut foame. Ursulețul se deplasează doar paralel cu laturile dreptunghiului. Trecerea dintr-un țarc în altul vecin cu el se face într-o secundă.

Cunoscând n și m dimensiunile rezervației, codurile de acces de la fiecare dintre cele n*m țarcuri, coordonatele celor T țarcuri cu mâncare, coordonatele țarcului L și C unde se află inițial ursulețul, codul k al microcipului său și numărul S, determinați:

a) Numărul X de țarcuri care îndeplinesc proprietatea că ultimele S cifre din reprezentarea binară a codului lor sunt complementare cu ultimele S cifre din reprezentarea binară a codului k purtat de ursuleț, cu excepția țarcului în care se află acesta inițial.
b) Numărul minim de secunde Smin în care poate ajunge la un țarc cu mâncare precum și numărul de țarcuri cu mâncare nt la care poate ajunge în acest timp minim.

În Orașul Liniștit un număr de k tineri prieteni doresc să participe la un miting de protest. Deoarece cartierul în care locuiesc aceștia este mare, ei se vor deplasa spre punctul de întâlnire cu mașinile personale. Fiecare tânăr va aduce cu el o pancartă, pe care a desenat o singură literă din mulțimea A ... Z. Nu există două pancarte cu litere identice. Cele k litere formează un cuvânt, să-l notăm cuv, cunoscut.

Cartierul în care locuiesc tinerii poate fi codificat printr-o matrice cu n*m zone pătratice, dintre care unele sunt interzise. Se știe că o mașină consumă o unitate de combustibil la trecerea dintr-o zonă în zona vecină și nu consumă combustibil dacă staționează. Două zone sunt vecine dacă au în comun o latură. Pentru a face economie de combustibil, tinerii decid că dacă două mașini se întâlnesc într-o zonă și toate literele aflate în cele două mașini reprezintă o secvență din cuvântul cuv, atunci ei vor continua drumul cu o singură mașină, luând desigur toate pancartele cu ei. În caz contrar, mașinile își continuă drumul separat.

De exemplu, dacă cuvântul cuv este JOS, atunci mașina care transportă litera J poate prelua tânărul care aduce pancarta cu litera O, sau invers: mașina având litera O poate prelua tânărul care aduce litera J. Apoi se poate continua drumul spre mașina care transportă litera S. În altă variantă se pot reuni mai întâi literele S și O într-o singură mașină, dacă mașinile care le transportau se întâlnesc în aceeași zonă. Totuși, între mașina care transportă doar litera J și cea care transportă doar litera S nu se poate realiza un transfer, adică o reunire a literelor.

Cunoscând dimensiunile cartierului n și m, cuvântul cuv, configurația cartierului și pozițiile inițiale ale tinerilor, se cere:

1. Aria minimă a unei submatrice a matricei care codifică cartierul, în care se situează toate pozițiile inițiale ale tinerilor.
2. Numărul minim de unități de combustibil consumați de către toate mașinile, știind că în final toți tinerii se vor reuni într-o singură mașină.

Pentru a diminua efectele crizei economice prin creşterea numărului de telespectatori (şi implicit a veniturilor provenite din publicitate), redacţia „Şocuri şi concursuri” a unei televiziuni selecte a decis să organizeze un turneu de lupte k1. La acesta vor lua parte N sportivi. Fiecare dintre aceştia are un rating, calculat pe baza rezultatelor sale anterioare. Suma de bani pe care o primeşte pentru fiecare luptă la care va lua parte este egală cu acest rating. În urma fiecărei lupte rating-ul învingătorului creşte cu valoarea rating-ului învinsului.

Cum televiziunea îşi doreşte un profit cât mai mare, conducătorii acesteia doresc să programeze meciurile astfel încât să plătească luptătorilor o sumă totală cât mai mică. Ştiind că nu există lupte încheiate la egalitate şi că turneul se termină doar după ce a fost stabilit un învingător, stabiliţi care este suma totală minimă pe care o pot plăti organizatorii. Suma totală plătită de televiziune este obţinută prin adunarea sumelor plătite tuturor luptătorilor pe parcursul turneului.

Pixy locuieşte într-o ţară colorată. Harta ţării poate fi reprezentată sub forma unui dreptunghi împărţit în celule, organizate în M linii şi N coloane. Liniile sunt numerotate de la 1 la M, începând de la linia de sus, iar coloanele sunt numerotate de la 1 la N începând de la coloana din stânga. Fiecare celulă are o anumită culoare. Culorile sunt codificate cu literele A, B, C, D, E, F (există doar 6 culori).

Casa lui Pixy se găseşte în celula de coordinate (1,1), iar prietena lui, Pixela, locuieşte în celula de coordonate (M,N). Pixy doreşte să ajungă la aleasa inimii sale, însă nu poate păşi decât pe celule de aceeaşi culoare. Ştim că Pixy se poate deplasa doar orizontal, sau vertical cu câte o căsuţă la fiecare pas.

Pentru a putea ajunge la Pixela, Pixy va proceda astfel: alege o culoare şi va recolora celula în care se găseşte casa sa cu culoarea aleasă. Astfel va obţine o zonă de celule adiacente având toate aceeaşi culoare. Două celule se consideră adiacente dacă se învecinează orizontal sau vertical. De exemplu, pentru harta din figura 1, dacă alege culoarea având codul D va obţine zona marcată din figura 2, toate celulele din această zonă având culoarea D.

În continuare Pixy va proceda asemănător: alege o nouă culoare, şi recolorează toată zona obţinută la pasul anterior cu noua culoare, astfel zona pe care poate păşi se lărgeşte. De exemplu, dacă în situaţia din figura 2, Pixy alege acum culoarea cu codul C va obţine situaţia din figura 3.

Procedeul continuă până când celula corespunzătoare casei Pixelei face şi ea parte din zona obţinută de Pixy în urma recolorărilor.

Alegerea culorilor de la fiecare pas trebuie făcută cu mare grijă, astfel încât numărul de recolorări să fie minim.

Acum lui Pixy îi mai rămâne sarcina de a găsi un drum cât mai scurt pe care îl va parcurge până la Pixela, păşind doar pe celulele din zona obţinută în urma recolorărilor succesive, adică celulele de pe parcursul drumului vor avea toate aceeaşi culoare.

Se cere să determinaţi:

a) numărul minim de recolorări
b) lungimea drumului minim de la Pixy la Pixela, parcurs pe zona obţinută în urma recolorărilor de la cerinţa a).