Lista de probleme 3

Două echipe, F și R, formate din n jucători fiecare, au participat în cadrul noii ediții ktlon la k probe. După fiecare probă s-au înregistrat în registrul ktlon 2*n valori: primele n reprezintă numărul de puncte câștigate în cadrul probei de jucătorii echipei F și următoarele n reprezintă numărul de puncte câștigate în cadrul probei de jucătorii echipei R. Cunoscând n – numărul de jucători din fiecare echipă, k – numărul de probe și pentru fiecare probă punctajele obținute de cei 2 * n jucători ai celor două echipe, determinați:
1. numărul de probe câștigate de echipa R;
2. numărul de stele obținut de echipa câștigătoare.

Avem la dispoziție n bare metalice cu aceeași grosime, dar lungimi diferite. Putem alege oricare bară și să o tăiem, obținând alte două bare de lungimi mai mici. Ne dorim ca, folosind doar această operație (deci fără să le putem suda), să obținem un număr de bare de anumite lungimi date. Mai exact, dându-se un set de patru numere a, b, c, d, trebuie să decidem dacă putem obține a bare de lungime 1, b bare de lungime 2, c bare de lungime 4 și d bare de lungime 8. Odată aplicată o tăiere de lungime L asupra unei bare, restul poate fi în continuare folosit pentru a tăia alte bare de oricare dintre lungimile dorite. Cunoscând n – numărul de bare metalice și lungimile celor n bare metalice avute la dispoziție, pentru fiecare din seturile de patru numere a b c d date, determinați dacă, pornind de la cele n lungimi date se pot obține barele de lungimile dorite.

Pentru că îi plac cifrele, Skippie, iepurașul norocos, a stabilit cum se obține cifra de control a unui număr: se efectuează suma cifrelor sale, apoi suma cifrelor acestei sume, până când suma obținută este un număr format dintr-o singură cifră. Această ultimă cifră, spune Skippie, poartă numele de cifră de control. Skippie a ascuns în păadure n ouă roșii. Pe fiecare ou a pictat câte un număr natural nenul. Iar acum se întreabă care este suma dintre cel mai mare și cel mai mic număr natural care se pot forma din toate cifrele distincte folosite în scrierea numărului pictat.
1. Pentru fiecare dintre cele n numere pictate de Skippie aflați suma dintre cel mai mare și cel mai mic număr natural care se pot forma din toate cifrele distincte folosite în scrierea numărului pictat.
2. Pentru fiecare dintre cele n numere pictate de Skippie aflați de câte ori apare cifra de control a numărului pictat în scrierea tuturor numerelor naturale mai mici sau egale decât numărul pictat.