Lista de probleme 2075

Gigel a primit o sarcină interesantă: se dă un șir de N numere numere naturale și un număr natural K. Ajutați-l pe Gigel să rezolve următoarele două cerințe.
1) Fie X primul număr din șir. Determinați poziția celui mai mic număr Y care aparține șirului, astfel încât suma celor două numere X și Y să fie divizibilă cu K. Dacă valoarea Y, cu proprietatea precizată, apare de mai multe ori în șir, se ia în considerare poziția cea mai din dreapta. Există cel puțin un astfel de număr Y, care aparține șirului.
2) Determinați numărul minim de elemente care trebuie eliminate din șir astfel încât elementele rămase să poată fi grupate în perechi disjuncte (fiecare element rămas aparține unei singure perechi), cu proprietatea că suma celor două valori din fiecare pereche este divizibilă cu K.

Veverițele ALVN și prietenii săi Simon și Theodore au fost afectați de noua criză de ghinde, așa că au plecat de acasă în căutarea hranei. Din fericire, după o perioadă de căutări, au descoperit o grădină cu $N$ rânduri de stejari cu câte $M$ stejari pe fiecare rând. Fiecare stejar are alocată câte o parcelă de formă pătrată și de dimensiuni identice. Se cunosc N, M, coeficienții fiecărui stejar din grădină, k, și valorile x[1], x[2], ... x[k], cu semnificația din enunț.
1. Determinați S, numărul maxim de ghinde pe care le poate consuma grupul lui ALVN, când ei sunt singuri în grădină.
2. Determinați T, numărul total de ghinde consumate de două grupuri de veverițe aflate în grădină.

Notwen a auzit de descoperirile prietenului său de pe Pământ şi a decis să studieze şi el legile gravitaţiei pe planeta sa. Pentru aceasta a conceput un experiment, care utilizează două drepte (o dreaptă verticală şi o dreaptă oblică, înclinată la un unghi oarecare faţă de orizontală) şi un super-măr (care, pentru a simplifica analiza, este considerat punctiform). Cunoscând distanţa x la care se află super-mărul față de dreapta verticală la începutul experimentului:
1. Determinați numărul de ciocniri ale super-mărului cu dreapta verticală.
2. Determinați numărul de ciocniri ale super-mărului cu dreapta înclinată.

Se consideră șirul S = S[1], S[2], ..., S[N] format din N mulțimi de numere naturale cuprinse între 1 și M. De asemenea, se consideră două șiruri de câte M numere întregi A = A[1], A[2], ..., A[M] și B = B[1], B[2], ..., B[M]. Numim secvență de mulțimi (i, j) (1 ≤ i ≤ j ≤ N) succesiunea de mulțimi S[i], S[i+1], ..., S[j]. Pentru o secvență de mulțimi (i, j) (1 ≤ i ≤ j ≤ N), se determină factorul de succes pe baza șirului A, respectiv factorul de insucces, pe baza șirului B în modul următor:
1) se efectuează reuniunea mulțimilor din secvența de mulțimi (i, j);
2) factorul de succes al secvenței de mulțimi (i, j) este suma valorilor din șirul A situate pe pozițiile date de elementele reuniunii;
3) factorul de insucces al secvenței de mulțimi (i, j) este suma valorilor din șirul B situate pe pozițiile date de elementele reuniunii.
Determinați factorul de succes al unei secvențe câștigătoare.

Lui Fibo îi plac numerele care nu se potrivesc perfect. Recent, acesta a descoperit niște numere mai speciale: el numește un număr x ca fiind antidivizorul unui număr natural nenul k, dacă x este cel mai mic număr natural nenul care nu-l divide pe k. Fie F(k) = x, unde x este antidivizorul lui k. Să se calculeze F(1) + F(2) + ... + F(N) pentru T valori ale lui N.