Lista de probleme 6

Mei și Satsuki s-au întors de curând în casa de vacanță a familiei lor. Această casă este formată din N camere, unite între ele prin N-1 culoare, astfel încât să se poată ajunge din orice cameră în orice altă cameră. Intrarea în casă se face prin camera 1. Deoarece casa n-a fost locuită timp de mai multe luni, în fiecare cameră i s-au stabilit s[i] spiriduși de praf.

Cele două fete doresc să-și amenajeze un spațiu de joacă întins pe mai multe camere. Ele vor să stabilească două camere a și b (nu neapărat distincte), astfel încât drumul cel mai scurt de la intrarea în casă până în camera b trece prin camera a. Fetele vor merge apoi din camera a în camera b pe drumul cel mai scurt (fără a trece de două ori prin aceeași cameră), gonind spiridușii de praf aflați în fiecare cameră prin care trec, inclusiv pe cei din camerele a și b. După ce fetele ajung în camera b, ele consideră că toate camerele din care au gonit spiridușii de praf au fost alese pentru spațiul de joacă.

Fetele au stabilit pentru fiecare cameră i un coeficient p[i] care reprezintă cât de plăcută ar fi camera i pentru spațiul lor de joacă. În plus, ele au convenit că nu vor goni în total mai mult de C spiriduși ai prafului din camerele prin care trec.

Cunoscând valorile lui N și C, numărul de spiriduși ai prafului s[i], coeficienții p[i] pentru fiecare cameră i, cât și modul în care sunt unite camerele prin culoare, să se determine suma maximă a coeficienților p ai camerelor alese pentru un spațiu de joacă ce respectă condițiile impuse de Mei și Satsuki.

#1203 KSecv

Fie un vector V cu N elemente și un număr K. Vectorul V trebuie împărțit în exact K subsecvențe nevide, astfel încât fiecare element din vector să aparțină exact unei subsecvențe. Această împărțire trebuie făcută astfel încât maximul șmecheriei fiecărei subsecvențe să fie cât mai mic. (Această problemă concepe greșit sistemul de șmecherie și valoare). Șmecheria fiecărei subsecvențe se definește ca fiind parte întreagă din ((Vmax – Vmin + 1) / 2), unde Vmax este valoarea maximă din subsecvență, iar Vmin este valoarea minimă.

Vectorul V de N elemente va fi generat în felul următor: se dă un număr M și 2 vectori A și B de lungime M (indexați de la 0 la M - 1). Fiecare element i, 0 ≤ i < N, din vectorul V va fi calculat cu următoarea formulă: V[i] = (A[i % M] ^ B[i / M]), unde x % y reprezintă restul lui x la împărțirea cu y, x / y reprezintă câtul împărțirii lui x la y și x ^ y reprezintă rezultatul operației xor (sau exclusiv pe biți) dintre x și y.

ONI 2015, Clasele XI-XII

Se dă un arbore cu N noduri numerotate de la 1 la N cu rădăcina în nodul 1. Fiecare nod din arborele dat are o valoare întreagă atașată. Se dau M întrebări de forma (x, y), unde x este un strămoș al nodului y: dacă s-ar elimina toate nodurile de pe lanțul care unește x cu y (inclusiv nodurile x și y), care ar fi valoarea maximă din nodurile neeliminate?

Cunoscând numărul de noduri N, configurația arborelui, valorile atașate celor N noduri, și cele M întrebări, să se răspundă la fiecare întrebare dată.

ONI 2015, Clasele XI-XII

#1204 Trenuri

Gara de Nord este cea mai vestită gară din lume. Japonezii, invidioşi pe sistemul performant de întârziere al trenurilor din Gara de Nord, s-au hotărât să analizeze motivul realizării unei astfel de performanțe.

În Gara de Nord (considerată stația 0) există N trenuri. Pentru fiecare tren i știm că va pleca din Gara noastră protagonistă (stația 0) și o să meargă până la stația statie[i]. Staţiile x şi x+1 sunt legate în mod direct pentru orice x, astfel că trenul i va opri în toate stațiile din intervalul [0, statie[i]]. De asemenea, știm că trenul i are o capacitate egală cu numărul maxim de oameni pe care îl poate transporta. Această capacitate este notată cu capacitate[i].

Avem M pasageri dornici sa folosească magnificul traseu. Pentru fiecare pasager i știm intervalul de stații [a[i], b[i]] pe care vrea să îl parcurgă. Mai exact, acesta vrea să se urce într-un tren în stația a[i] și să coboare în stația b[i].

Din cauza capacității limitate a trenurilor, este posibil ca nu toți pasagerii sa poată obțină un loc și să ajungă în destinația dorită. Să se determine numărul maxim de pasageri care pot ajunge din stația de plecare în stația de sosire, precum și o configurație în care aceștia se pot urca în trenuri.

ONI 2015, Clasele XI-XII

#1199 Metrou

Această problemă este dedicată celor care așteaptă metroul cu cea mai mare ardoare: locuitorii din Drumul Taberei.

Se dă planul unei rețele de metrou cu N stații și M tuneluri bidirecționale între stații. Două stații de metrou se numesc vecine dacă există un tunel între ele în acest plan. Fiecare stație i are asociat un profit p[i] dat.

Henry a fost recent promovat dintr-un post de angajat al departamentului de curățenie pe postul de project manager al firmei. Deoarece nu există fonduri pentru construirea întregii rețele de metrou, Henry trebuie să aleagă o submulțime de stații care vor fi construite, astfel încât oricare două stații alese să nu fie vecine în planul inițial. Pentru a-și păstra poziția în companie, suma profiturilor stațiilor alese în această submulțime trebuie să fie maximă.

Dându-se N, M, profiturile aduse de fiecare din cele N stații și planul inițial al rețelei, să se determine suma maximă a profiturilor stațiilor pe care le poate alege Henry astfel încât oricare două stații alese să nu fie vecine în planul inițial.

#1201 Text1

Un şir format din cifre trebuie să fie tastat în una sau mai multe sesiuni.

Există două tastaturi: tastatura A care conţine taste cu toate combinaţiile de exact două cifre: tasta 00, tasta 01, 02, …, 98, 99 și tastatura B care conţine taste cu toate combinaţiile de exact trei cifre: tasta 000, tasta 001, …, 998, 999. Cifrele se vor introduce în una sau mai multe sesiuni, pentru o sesiune putându-se folosi o singură tastatură. Datorită unei ordonanțe de urgență, dacă o combinație de taste a fost introdusă cu una din tastaturi în sesiunea curentă și, continuând sesiunea, această combinație poate fi introdusă din nou, este necesar să continuăm sesiunea cel puțin până când o vom introduce din nou. În cazul în care introducem până atunci și alte taste, trebuie să continuăm sesiunea până când vom introduce ultima apariție a lor.

Astfel, dacă şirul 255222255257 este început folosind tastatura A, se va scrie obligatoriu într‑o sesiune 25 52 22 25 52. Suntem obligați să tastăm până la ultima apariție a tastei 25 în sesiunea curentă, și când folosim tasta 52 suntem obligați să continuăm până la ultima apariție a acesteia. A se observa că cifrele de pe pozițiile subliniate sunt tot 2 și 5, însă nu formează o tastă care se poate apăsa în sesiunea curentă. Deoarece se dorește un număr cât mai mare de sesiuni, se va începe o nouă sesiune în care se va scrie doar 57.

Cunoscându-se numărul total de cifre și secvența de cifre ce formează şirul, să se determine o modalitate de a despărţi textul astfel încât el să poată fi scris într-un număr maxim de sesiuni.