Lista de probleme 2

Ionuţ pleacă în drumeţie într-o porţiune de teren de formă pătratică cu latura de N metri. O hartă a zonei are trasat un caroiaj care împarte zona în N*N pătrate unitate, cu latura de 1 metru. Astfel harta zonei are aspectul unui tablou pătratic cu N linii şi N coloane. Liniile şi coloanele sunt numerotate de la 1 la N. Elementele tabloului bidimensional corespund pătratelor unitate. Zona poate fi parcursă străbătând oricare dintre laturile pătratelor unitate cel mult o singură dată.

Ionuţ pleacă din punctul aflat în colţul din dreapta jos al pătratului unitate din linia X, coloana Y şi se deplasează făcând un pas (parcurgând o latură a unui pătrat unitate) în una din direcţiile Nord, Est, Sud, Vest. Pentru a reţine mai uşor traseul foloseşte următoarea codificare pentru cele 4 direcţii: 1 pentru deplasarea spre Nord, 2 pentru deplasarea spre Est, 3 pentru deplasarea spre Sud, respectiv 4 pentru deplasarea spre Vest.

Ajuns într-alt punct (colţ de pătrat unitate), Ionuţ continuă să se deplaseze fără a trece de mai multe ori pe aceeaşi latură a unui pătrat unitate.

Ionuţ se opreşte în momentul în care ajunge într-un punct prin care a mai trecut. Traseul străbătut între cele două treceri prin acelaşi punct delimitează o zonă de teren formată din pătrate unitate.

Dându-se linia X şi coloana Y corespunzătoare poziţiei de plecare a lui Ionuţ, dimensiunea zonei N, lungimea traseului L şi traseul determinaţi:
a) Numărul de paşi parcurşi între prima şi a doua trecere prin punctul de oprire.
b) Numărul de pătrate unitate interioare zonei delimitată de traseul străbătut între cele două treceri prin acelaşi punct.

Gigel a studiat recent şirurile cu n elemente, numere naturale. Pentru un astfel de şir S, Gigel doreşte să afle răspunsul la întrebările:

a) Care este numărul minim de subşiruri strict crescătoare în care se poate partiţiona S?
b) Care este numărul de secvenţe, modulo 20011, cu suma elementelor divizibilă cu k care se pot obţine din S?

Dându-se un şir S cu n elemente numere naturale şi un număr natural k se cere să se răspundă la cele două întrebări.