Lista de probleme 3

#1816 Unicorn

Este ziua unicornului Corn şi prietenii lui vor să-i pregătească o surpriză, un mare turn de clătite! Totul trebuie să fie perfect, și toată lumea știe că cel mai frumos turn are formă de corn (clătitele sunt așezate în ordine strict descrescătoare după rază). Ei pregătesc clătite de diferite mărimi și le așază una peste alta. Fiecare clătită are o anumită valoare nutritivă. După ce termină de gătit, aceștia vor să creeze un turn de clătite in formă de corn pentru prietenul lor Corn. Astfel, unicornii pot alege să mânance oricâte clătite vor, clătitele rămase păstrându-și ordinea inițială. Clătitele care rămân în farfurie (pastrând ordinea inițială) trebuie să aibă formă de corn (strict descrescător după rază). Deoarece Corn adoră clătitele, ei vor ca turnul Corn format din clătitele rămase după ce aceștia mănâncă să aibă cea mai mare valoare nutritivă (suma valorilor nutritive ale clătitelor rămase).

#1757 Sec

În timp ce-și bea sortimentul preferat de vin sec, vrăjitorului Arpsod i-a venit în minte o problemă de informatică ce are un enunț cel puțin la fel de sec și anume:
Dându-se un arbore binar cu N noduri și rădăcina în nodul 1, să se răspundă la Q întrebări de forma: “sunt cei doi fii ai nodului X identici?”

Doi fii sunt identici dacă au același număr de subarbori și aceștia sunt identici (mai exact, pentru orice i=1, 2, ..., N subarborele i al primului este identic cu subarborele i al celui de-al doilea).

Cunoscându-se arborele, să se răspundă la cele Q întrebări de forma indicată în enunţ.

Programatoarea Petra a început un curs de criptografie. Fiind un spirit creativ, Petra a creat deja o metodă elaborată de criptare a unei parole sub forma unei perechi (tabel de litere aparţinând mulţimii {‘a’...’z’}, dicţionar de cuvinte). Din păcate pentru Petra, metoda ei de criptare a parolei, poate fi decriptată de oricine astfel:

  • se iau tabelul de litere şi dicţionarul de cuvinte permise
  • se listează, sortează şi numără toate cuvintele care se găsesc în tabel. Un cuvânt \(c_1c_2:::c_k\) care există în dicţionar există şi în tabel dacă, fiecare literă ci apare în tabel şi pentru i>1, \(c_i\) este vecină în tabel cu litera \(c_{i-1}\).
  • din lista sortata de T perechi (\(cuvânt_i\), \(a_i\)), unde \(cuvânt_i\) este un cuvânt iar \(a_i\) este numărul de apariţii în tabel, reconstituie litera \(p_i\) a parolei astfel: \(p_i =\) ‘a’ + ( \(a_i\) mod 26). Încercând să îmbunătăţească algoritmul, Petra a decis să înlocuiască unele litere din tabel cu semnul întrebării '?'. Un semn '?' poate fi înlocuit cu orice literă când se parcurge tabelul. Convinge-o pe Petra că, în ciuda îmbunătăţirii, îi poţi găsi parola pornind de la orice pereche de (dicţionar, tabel de litere) dată.

Concursul EMPOWERSOFT, 2016