Lista de probleme 6

#151 drum

Oraşele Nordemos şi Suderim sunt separate de un munte foarte înalt. Inginerul Negrimon a fost desemnat să construiască un drum prin munte care să unească cele două oraşe. Harta care i s-a pus la dispoziţie descrie muntele ca o matrice cu N linii şi M coloane numerotate de la 1 la N, respectiv de la 1 la M . Un drum reprezintă o succesiune de elemente din matrice cu proprietatea că oricare două elemente consecutive sunt alăturate, pe linie sau pe coloană. Un drum uneşte oraşul Nordemos (linia 1) şi oraşul Suderim (linia N). Valorile din matrice reprezintă densităţile rocilor din munte în acele zone. Pentru fiecare drum posibil se poate calcula valoarea dmax, egală cu densitatea maximă a rocilor pe care le traversează. Negrimon trebuie să construiască un drum pentru care valoarea dmax este cea mai mică.

Ajută-l pe Negrimon să afle cea mai mică dintre densităţile dmax corespunzătoare drumurilor care unesc Nordemos şi Suderim în condiţiile de mai sus.

#152 sir

GM are un şir de N numere naturale a1 , a2 ,…, aN , cu proprietatea ai ai+1 2*ai pentru orice i, 1 ≤i < N. El doreşte să scrie în faţa fiecărei valori din şir un semn + sau - astfel încât valoarea S a expresiei obţinute să aibă proprietatea 0 ≤ S ≤ a1 .

Scrieţi un program care să-l ajute pe GM să determine un mod de a scrie cele N semne.

Urmasii lui Moisil, Iasi, 2013

#153 drept

La ora de geometrie, Aurel a primit de la profesorul X o temă foarte dificilă: fiind date N segmente orizontale (paralele cu axa Ox), cu extremităţile de coordonate numere naturale, să se numere câte dreptunghiuri speciale pot fi formate în plan, luând în considerare aceste segmente.

Un dreptunghi este special dacă respectă simultan următoarele trei condiţii:
1. Cele patru vârfuri ale dreptunghiului au coordonate numere naturale
2. Laturile dreptunghiului sunt paralele cu axa Ox, respectiv Oy
3. Fiecare dintre cele patru vârfuri ale dreptunghiului aparţine cel puţin unui segment

Scrieţi un program care să-l ajute pe Aurel să determine numărul de posibilităţi de a plasa un dreptunghi în plan astfel încât să fie dreptunghi special. Deoarece rezultatul poate fi foarte mare, se va determina numărul modulo 946021 (restul împărţirii numărului calculat la 946021).

Grigore Moisil 2013

#154 xor

Fiind date n numere naturale a1 , a2 ... an , se calculează ai ^ aj , pentru oricare i şi j (1 ≤ i < j ≤ n) şi se obţine un şir de valori naturale. Cu caracterul ^ s-a notat operatorul sau exclusiv pe biți (xor) şi se aplică conform regulii din tabelul de mai jos.

Fiind date cele n valori şi un număr natural nenul m, 1 ≤ m ≤ n*(n-1)/2, să se determine al m-lea număr din şirul obținut mai sus, considerând valorile în ordine crescătoare.

Grigore Moisil 2013

#149 scara

Claudia vrea să construiască o scară cu N trepte astfel încât prima treaptă să fie la înălţimea 0 şi ultima treaptă să fie la înălţimea H. Fiind pusă pe glume, ea îi cere arhitectului să proiecteze o scară neobişnuită, în care treptele sunt dispuse astfel încât, la un moment dat, să poţi urca, coborî sau rămâne la acelaşi nivel. Pentru a fi uşor de urcat sau coborât, valoarea absolută a diferenţei dintre înălţimile la care se află oricare două trepte consecutive trebuie să fie mai mică sau egală cu o valoare dată, K. Nicio treaptă nu se poate afla la o înălţime negativă sau la o înălţime mai mare decât H.

Scrieţi un program care să determine numărul de scări diferite cu N trepte, ce pot fi construite respectând cerinţele Claudiei. Deoarece numărul de scări poate fi foarte mare, determinaţi restul împărţirii acestui număr la 666013.

Urmasii lui Moisil, Iasi, 2013

Urmasii lui Moisil, Iasi, 2013