Lista de probleme 4

Dorind să inventeze ceva nou Mate a inventat numerele “ecou”. Un număr natural A se numeşte număr-ecou dacă există un număr natural B cu proprietatea că numărul A se poate obţine prin concatenarea de un număr de ori (cel puţin de două ori) a numărului B. De exemplu numărul 313313 este număr-ecou, iar 31313 nu este număr-ecou.

Mate şi-a propus să afle câte numere-ecou sunt printre numerele naturale care au exact N cifre. Deoarece acest număr poate fi foarte mare, se va afişa doar restul împărţirii rezultatului la 10^9+17.

Se dau N numere naturale \( {a}_{1},{a}_{2}…{a}_{n}\). O pereche (a[j],a[k]) cu 1≤j<k≤N se numește pereche specială dacă are proprietatea că din a[j] și a[k] prin “lipire” se formează un număr X în care cifrele conținute apar de număr par de ori. De exemplu numerele 123 şi 21223 dacă se lipesc produc numărul 12321223 în care 1 apare de 2 ori, 2 apare de 4 ori și 3 apare de 2 ori.

Să se determine numărul perechilor speciale.

Pentru reprezentarea numerelor s-a decis să nu se mai folosească cifra C. Astfel din șirul numerelor naturale se vor elimina toate numerele care conțin cifra C. Notăm noul șir cu S.

1) Să se determine al N-lea număr din șirul S.
2) Se dau Y și Z, două numere naturale din șirul S. Să se determine numărul de numere naturale eliminate dintre Y și Z.

Fie un zid perfect dreptunghiular de înaltime H și lățime W, format din cărămizi de înalțime 1 și lățime variabilă, lipite între ele.

Să se taie acest zid pe verticală astfel încât numărul de cărămizi ce trebuie tăiate să fie minim. În cazul în care există mai multe astfel de locuri unde poate fi tăiat zidul, se dorește ca diferența lățimilor celor două bucăți obținute să fie cât mai mică.