Lista de probleme 3

Etichete

Zedd a descoperit frumusețea aplicațiilor din domeniul criptografiei. Astfel, el și-a activat abilitățile de hacker și s-a lovit de următoarea problemă: fiind dat un șir format doar din litere mici ale alfabetului englez, Zedd trebuie să găsească secvențe pe care le poate forma fără ca vreo literă să apară de prea multe ori.
Cunoscând textul lui Zedd, să se determine:

  • Numărul de secvențe distincte în care fiecare literă poate să apară de maximum k ori. Două secvențe sunt considerate distincte dacă diferă fie prin poziția de început, fie prin cea de final.
  • Cea mai lungă secvență care conține doar litere distincte. Dacă sunt mai multe secvențe de lungime maximă formate din litere distincte se alege prima din punct de vedere lexicografic (alfabetic).

#3035 lumini

Privită din spațiu, harta insulei din povestea noastră are forma unui caroiaj pătratic cu L linii și L coloane. Liniile și coloanele sunt numerotate de la 1 la L. În fiecare dintre cele L*L celule se află câte un far. Inițial cel de la poziția 1,1 este aprins și toate respectă regula: orice far are farurile vecine (pe linie și coloană, deci maximum 4) în starea opusă față de starea sa. În urma unei furtuni, s-au întâmplat lucruri ciudate: fulgerele au lovit unul după altul și au afectat starea unor faruri. Sunt trei tipuri de fulgere. Prin schimbarea stării unui far înțelegem că acesta se aprinde dacă este stins și se stinge dacă este aprins.
Se dau date despre fulgere, în ordinea în care acestea acționează. Se cere ca la finalul furtunii să se indice care este starea anumitor faruri, aflate la coordonate precizate de pe insulă.

#3034 drept1

Numim poligon drept un poligon cu laturile consecutive perpendiculare și lungimile laturilor numere naturale nenule. Un poligon drept cu n laturi este descris de un șir de n numere întregi nenule în care lungimile laturilor sunt date de valoarea absolută a numerelor din șir, iar semnul precizează poziția laturilor, un număr pozitiv însemnând latură spre dreapta sau în sus față de extremitatea laturii precedente, iar un număr negativ însemnând latură în jos sau spre stânga față de extremitatea laturii precedente; de exemplu șirul 1, 1, -1, -1 reprezintă un pătrat de latură 1 (prima latură spre dreapta, a doua în sus, a treia spre stânga, a patra în jos). Vom considera laturile ca fiind orizontale sau verticale, prima latură enumerată fiind orizontală spre dreapta, dacă numărul este pozitiv, sau spre stânga, dacă numărul este negativ.
Se dau unul sau mai multe șiruri de numere întregi nenule.
1. Să se stabilească, pentru fiecare dintre ele, dacă reprezintă un poligon drept.
2. Știind că șirurile date reprezintă poligoane drepte, să se determine aria fiecăruia.

ONIGIM 2019 clasa a VIII-a