Lista de probleme 107

Ursuleţul Grizzlyuță are de parcurs zone de diferite altitudini, care sunt numere întregi. Atunci când trece dintr-o zonă în alta oboseala ursuleţului creşte cu o valoare egală cu altitudinea zonei în care trece. Să se determine zonele în care acesta acumulează oboseală maximă.

După ce Ionuț a învățat despre algoritmul lui Kadane își pune următoarea întrebare: se dă N și K apoi un vector cu N elemente, din acest vector care este suma maximă a unei secvențe (elemente adiacente) de lungime cel puțin K. A zis să vă întrebe pe voi cum se face.

După ce Ionuț a învățat despre algoritmul lui Kadane își pune următoarea întrebare: se dă N și K apoi un vector cu N elemente, din acest vector care este suma maximă a unei secvențe (elemente adiacente) de lungime cel puțin K. A zis să vă întrebe pe voi cum se face.

În Țara lui Papură Vodă s-au organizat de curând primele alegeri democratice. A rezultat astfel un parlament din care fac parte deputați cu diverse doctrine politice, de stânga sau de dreapta. Acestea sunt descrise prin numere naturale nenule (orientarea politică este cu atât mai de stânga cu cât numărul este mai mic). Parlamentarii s-au asociat în partide politice în funcție de doctrina fiecăruia. Oricare doi deputați ale căror doctrine corespund unor numere consecutive fac parte din același partid. Prin urmare, partidele vor fi alcătuite din deputați ale căror doctrine sunt numere consecutive. (De exemplu, dacă parlamentul are 5 deputați, cu doctrinele 1, 2, 3, 5 şi 6, atunci înseamnă că aceștia sunt grupați în două partide: unul format din 1, 2 și 3 și altul din 5 și 6.)
Un guvern trebuie să beneficieze de susținerea a mai mult de jumătate dintre parlamentari. De exemplu, dacă parlamentul este format din 7 deputați, atunci un guvern are nevoie de susținerea a cel puțin 4 deputați.
Pentru a putea guverna, partidele se pot grupa in coaliţii. Regula după care se asociază este urmatoarea: două partide A şi B, A având o doctrină mai de stânga, pot face parte din aceeași coaliţie doar dacă din coaliţia respectivă fac parte toate partidele a căror doctrină este mai de dreapta decât cea a lui A şi mai de stânga decât cea a lui B. De exemplu, dacă parlamentul este alcătuit din deputaţi cu orientările politice 1, 2, 4, 5, 7 şi 8, atunci partidul format din 1 şi 2 nu se poate asocia cu partidul format din 7 şi 8 decât dacă din coaliţia respectivă face parte şi partidul format din 4 şi 5.
Fiind dat parlamentul din Ţara lui Papură Vodă printr-un şir ordonat strict crescător de numere naturale nenule, se cere să se stabilească numărul de partide parlamentare şi numărul variantelor de coaliţie majoritară.

Se consideră un şir cu N numere naturale a[1], a[2], …, a[N]. Asupra unui element a[i] din şir se pot efectua operaţii de incrementare (adunare cu 1: a[i] = a[i] + 1) sau decrementare (scădere cu 1: a[i] = a[i] - 1). Fiecare element din şir poate fi incrementat sau decrementat de oricâte ori. Dat fiind șirul celor N numere naturale, să se determine:
a. numărul total minim de operaţii necesare pentru a transforma toate numerele din şir în numere prime;
b. numărul minim de operații (incrementări şi decrementări) ce trebuie să fie efectuate asupra elementelor şirului astfel încât să existe o secvență de lungime K formată numai din numere prime.

Ada și Ben sunt pasionați de jocurile pe calculator și tocmai au descoperit cea mai recentă versiune a jocului 2048.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale N (numărul inițial de piese) și M (numărul maxim de mutări), un șir de N numere reprezentând, în ordine, numerele înscrise pe cele N piese și cel mult M caractere din mulțimea {S, D} ce reprezintă mutările fixate de către Ada și Ben, și care determină:

a) numărul X de mutări efectuate până la încheierea jocului;
b) numărul maxim Y înscris pe una dintre piese la încheierea jocului;
c) numărul maxim Z de fuzionări efectuate la o mutare.

Se consideră un șir A format din N elemente naturale nenule. Numim secvență de lungime K a șirului A orice succesiune de elemente consecutive din șir de forma Ai, Ai+1 ,…, Ai+K-1.

O secvență o numim secvență cool dacă elementele care o compun sunt distincte și pot fi rearanjate astfel încât să alcătuiască o secvență continuă de numere consecutive.
De exemplu, considerând șirul A=(3,1,6,8,4,5,6,7,4,3,4), atunci secvența (8,4,5,6,7) este o secvență cool deoarece conține elemente distincte ce pot fi rearanjate astfel încât să alcătuiască șirul de numere consecutive 4,5,6,7,8, pe când secvențele (4,3,4), (6,7,4,3) nu sunt considerate secvențe cool.

Fiind dat un şir de N numere naturale nenule se cer următoarele:
1. Pentru o valoare dată K să se verifice dacă secvența A1, A2 ,…, AK este secvență cool. Dacă secvența este cool, atunci se va afișa cea mai mare valoare ce aparține secvenței. Dacă secvența nu este cool, atunci se va afișa numărul elementelor distincte din secvența A1, A2 ,…, AK , adică numărul elementelor care apar o singură dată.
2. Lungimea maximă a unei secvențe cool și numărul secvențelor cool de lungime maximă.

Se consideră un şir x1, x2,…, xn format din n numere naturale distincte. O secvenţă de număr maxim de elemente vecine în şir, de forma xi, xi+1,…, xk-1, xk, xk+1,…, xj (1≤i<k<j≤n) cu proprietatea că xi < xi+1 < ...< xk-1 < xk > xk+1 > ... > xj, se numeşte munte cu vârful xk. Două secvenţe munte au maxim un element comun în şir. O secvenţă munte are cel puţin 3 elemente. Un exemplu de şir format cu valorile 3 4 6 8 nu conţine nicio secvenţă munte, iar unul format cu valorile 3 4 8 1 2 5 0 conţine 2 secvenţe munte: 3 4 8 1 şi 1 2 5 0.

După determinarea tuturor secvenţelor munte şi a vârfurilor acestora, se elimină din şir vârfurile secvenţelor munte şi procedura continuă repetat cu determinarea noilor secvenţe munte şi a vârfurilor lor din şirul nou obţinut. Procedura se opreşte în momentul în care în şir nu mai există nicio secvenţă munte.

Scrieţi un program care citeşte numerele n, x1, x2, …, xn şi apoi determină:

a) numărul de secvenţe munte din şirul iniţial;
b) numărul total de secvenţe munte obţinute pornind de la şirul iniţial până la cel care nu mai conţine nicio secvenţă munte;
c) numărul de elemente din şirul final care nu mai conţine secvenţe munte.

Irinuca a descoperit un nou joc pe calculator. Pe ecran sunt plasate pe o linie n bile colorate. Culorile bilelor sunt codificate cu numere naturale. Un subșir de bile alăturate având toate aceeași culoare se numește secvență. O secvență va conține numărul maxim de bile alăturate având aceeași culoare. Lungimea unei secvențe este egală cu numărul de bile din care este compusă.

Irinuca are la dispoziție un arc special. Trăgând cu arcul asupra unei bile, dacă aceasta face parte dintr-o secvență de lungime cel puțin egală cu 3, întreaga secvență va fi eliminată, iar bilele din dreapta secvenței se vor deplasa spre stânga pentru a umple “golul” lăsat de bilele eliminate. Dacă imediat în stânga și în dreapta secvenței eliminate se găseau două secvențe având aceeași culoare și dacă secvența obținută din unirea acestora după eliminare are o lungime cel puțin egală cu 3, atunci va fi și ea eliminată la rândul ei. Procesul continuă până când secvențele din stânga și dreapta unei secvențe tocmai eliminate au culori diferite sau până când lungimea secvenței obținute prin alăturare este mai mică decât 3 sau până când în stânga ori în dreapta unei secvențe eliminate nu se mai găsesc bile sau până sunt eliminate toate bilele de pe ecran.

Scopul jocului este de a elimina cât mai multe bile de pe ecran. Cum Irinuca încă nu se pricepe prea bine la acest joc și-a stabilit o strategie. Va trage cu arcul întotdeauna asupra unei bile ce face parte din secvența de lungime maximă de pe ecran. Dacă sunt mai multe astfel de secvențe, ea va alege cea mai din stânga secvență de lungime maximă. Dacă toate secvențele de pe ecran au lungimi mai mici decât 3, Irinuca nu va mai putea elimina nici una din ele și jocul se încheie.

Cunoscând numărul de bile și culorile fiecărei bile de pe ecran se cere să se determine:

1. numărul de secvențe de bile care se aflau inițial pe ecran;
2. numărul de bile care rămân neeliminate de pe ecran și culorile bilelor rămase în ordine pe ecran la finalul jocului.

Roberto are suflet de artist. El visează să ajungă într-o bună zi un pictor celebru, dar pentru moment își câştigă existența ca zugrav.

Roberto a primit sarcina de a zugrăvi un zid având lungimea n metri şi înălţimea un metru. Pentru aceasta are la dispoziţie m zile. În fiecare zi i, el acoperă cu un singur strat de vopsea o porţiune compactă de înălțime un metru și de lungime l[i] metri, începând de la distanţa d[i] metri faţă de capătul din stânga al zidului.

Roberto ştie din experienţă că fiecare porţiune de zid trebuie acoperită cu cel puţin K straturi de vopsea pentru ca stratul final de vopsea să aibă consistenţa dorită. Din nefericire, firea lui de artist nu i-a permis să-şi poată planifica munca în mod optim, astfel că la capătul celor m zile de efort, Roberto a constatat că zidul are porţiuni pe care le-a acoperit de mai mult de k ori şi alte porţiuni pe care le-a acoperit de mai puţin de k ori.

Pentru a recupera în proprii săi ochi dar mai ales în ochii şefului de echipă, el trebuie să afle mai întâi suprafaţa totală a tuturor porţiunilor de zid care mai trebuie zugrăvite.

Cunoscând lungimea zidului n, numărul de zile m şi porţiunile compacte pe care le zugrăveşte în fiecare zi, determinaţi suprafaţa totală a zidului care mai trebuie zugrăvită.