Lista de probleme 145

Spunem că un număr natural este aproape prim dacă el poate fi scris ca produs de două numere prime. De exemplu 6 și 25 sunt aproape prime pentru că 6 = 2 * 3, iar 25 = 5 * 5. Considerăm șirul crescător al numerelor naturale aproape prime: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, … Acestora li se asociază câte un număr de ordine, numerotarea începând cu 1. Deci 4 este primul număr aproape prim, 6 este al doilea număr, 9 este al treilea etc. Dat un număr natural N, să se determine al N-lea număr aproape prim.

Se dau n numere naturale cu cel mult două cifre fiecare. Determinaţi cel mai mare număr prim de două cifre care nu apare printre numerele date.

Se dă un șir format din n numere naturale. Determinați numărul de perechi de elemente din șir care au suma număr prim.

Se dă șirul a1, a2, …, an de numere naturale nenule distincte. Vrem să alegem trei submulțimi X, Y și Z cu proprietățile:

• submulțimile sunt nevide
• orice element din șir aparține cel mult unei submulțimi
• cele trei submulțimi au suma elementelor identică

Să se determine numărul tripletelor de submulțimi care îndeplinesc proprietățile.

Suntem în anul 2050. Resursele de apă de pe planeta noastră sunt limitate din cauza schimbărilor climatice. Pentru ca toți locuitorii unui oraș să supraviețuiască în cazul unei catastrofe, orașul trebuie să aibă o rezervă de cel puțin 1 km3 de apă. Pentru a face față mai ușor unor catastrofe, orașele pot forma alianțe în care se pot împrumuta reciproc cu apă. Astfel, într-o alianță formată din h orașe, fiecare oraș trebuie să aibă o rezervă de cel puțin h km3 de apă (pentru a putea supraviețui toți locuitorii săi și a putea să împrumute cu câte 1 km3 de apă fiecare dintre celelalte h - 1 orașe aliate).

Fiind dat numărul m de orașe și un șir de m numere naturale strict pozitive, notate cu c[1] c[2] ... c[m], unde fiecare număr c[i] reprezintă capacitatea maximă de stocare a orașului i, să se determine numărul maxim de orașe h care pot forma o alianță, adică există cel puțin h orașe care pot reține fiecare o cantitate de apă cel puțin egală cu h km3.

Gigel a găsit un șir de n cifre minunate. A adormit cu ele în brațe și a visat m numere naturale. Nedumerit, a cerut părerea vrăjitoarei Ghiocica. Acesta i-a spus:

- Gigele, ești norocos. Suma numerelor distincte visate care sunt scrise cu cifre consecutive în șirul de cifre minunate este suma pe care o vei câștiga la Loto.

Nerăbdător, Gigel vă roagă să scrieți un program care să citească cele n cifre și cele m numere și să determine suma pe care o va câștiga la Loto.

Se dă un șir \(A\) format din \(n\) elemente din mulțimea \(\{0, 1\}\). Numim secvență a șirului \(A\) orice succesiune de elemente situate pe poziții consecutive în șir. Să se determine numărul de secvențe ale șirului \(A\) ce conțin de două ori mai mulți de \(1\) decât de \(0\).

Numim secvență încadrată a unui șir de numere naturale un subșir al acestuia, format din termeni aflați pe poziții consecutive în șirul dat, subșir care începe și se termină cu aceeași valoare. Lungimea secvenței este egală cu numărul de termeni ai acesteia.

Să se determine secvențele încadrate dintr-un șir, care au lungimea maximă.

Dorel este pasionat de feng shui. Astfel, pentru a-şi crea un cadru adecvat meditaţiei, s-a hotărât să scrie pe pereţii casei numere care au un număr prim de divizori. El a găsit n numere, însă nu ştie să le aleagă pe cele potrivite.

Anul 2017 tocmai s-a încheiat, suntem trişti deoarece era număr prim, însă avem şi o veste bună, anul 2018 este produs de două numere prime, 2 şi 1009. Dorel, un adevărat colecţionar de numere prime, şi-a pus întrebarea: “Câte numere dintr-un interval [a,b] se pot scrie ca produs de două numere prime? “.