#2538 xOy

Soluție oficială (Vintilă Valentin)

Vom nota cu \( (X_P, Y_P) \) coordonatele punctului P.

Din formula distanțelor într-un sistem cartezian, obținem următoarele 3 relații:

a. \( D_{PA}^{2}= (X_P-X_A)^2+(Y_P-Y_A)^2\)
b. \( D_{PB}^{2}= (X_P-X_B)^2+(Y_P-Y_B)^2\)
c. \( D_{PC}^{2}= (X_P-X_C)^2+(Y_P-Y_C)^2\)

Adunând relațiile a și b, obținem:

\( D_{PA}^2+D_{PB}^2=X_P^2+X_A^2-2X_PX_A+Y_P^2+Y_A^2-2Y_PY_A+\) (↵)
\( +X_P^2+X_B^2-2X_PX_B+Y_P^2+Y_B^2-2Y_PY_B \)

⇒ \( D_{PA}^2+D_{PB}^2=2X_P^2+X_A^2+X_B^2+2Y_P^2+Y_A^2+Y_B^2- \) (↵)
\( -2X_PX_A-2Y_PY_A-2X_PX_B-2Y_PY_B \)

Vom nota această relație cu (1). Analog, adunând relațiile b și c, obținem:

\( D_{PB}^2+D_{PC}^2=2X_P^2+X_B^2+X_C^2+2Y_P^2+Y_B^2+Y_C^2- \) (↵)
\( -2X_PX_B-2Y_PY_B-2X_PX_C-2Y_PY_C \)

Vom nota această relație cu (2).

Vom scădea apoi din (1) relația (2) și vom obține:

\( D_{PA}^2+D_{PB}^2-D_{PB}^2-D_{PC}^2=2X_P^2+X_A^2+X_B^2+2Y_P^2+Y_A^2+Y_B^2- \) (↵)
\( -2X_PX_A-2Y_PY_A-2X_PX_B-2Y_PY_B-\) (↵)
\( -2X_P^2-X_B^2-X_C^2-2Y_P^2-Y_B^2-Y_C^2+ \) (↵)
\( +2X_PX_B+2Y_PY_B+2X_PX_C+2Y_PY_C \)

⇒ \( D_{PA}^2-D_{PC}^2=X_A^2-X_C^2+Y_A^2-Y_C^2-2X_PX_A-2Y_PY_A+2X_PX_C+2Y_PY_C \)

⇒ \( D_{PA}^2-D_{PC}^2-X_A^2+X_C^2-Y_A^2+Y_C^2=-2X_PX_A-2Y_PY_A+2X_PX_C+2Y_PY_C \)

⇒ \( \frac{D_{PA}^2-D_{PC}^2-X_A^2+X_C^2-Y_A^2+Y_C^2}{2}=-X_PX_A-Y_PY_A+X_PX_C+Y_PY_C \)

Vom nota cu i termenul din stânga egalului, și deci:

\( i=\frac{D_{PA}^2-D_{PC}^2-X_A^2+X_C^2-Y_A^2+Y_C^2}{2} \)

Analog, putem nota cu j rezultatul constant regăsit în scăderea din (1) a relației (3) (construită prin adunarea relațiilor a și c):

\( j=\frac{D_{PB}^2-D_{PC}^2-X_B^2+X_C^2-Y_B^2+Y_C^2}{2} \)

Astfel, se crează următorul sistem:

\( i=X_P(X_C-X_A)+Y_P(Y_C-Y_A) \)
\( j=X_P(X_C-X_B)+Y_P(Y_C-Y_B) \)
⇔
\( i=X_P\Delta X_{AC}+Y_P\Delta Y_{AC} \)
\( j=X_P\Delta X_{BC}+Y_P\Delta Y_{BC} \)
⇔
\( i\Delta Y_{BC}=\Delta Y_{BC}(X_P\Delta X_{AC}+Y_P\Delta Y_{AC}) \)
\( j\Delta Y_{AC}=\Delta Y_{AC}(X_P\Delta X_{BC}+Y_P\Delta Y_{BC}) \)
⇔
\( i\Delta Y_{BC}=X_P\Delta X_{AC}\Delta Y_{BC}+Y_P\Delta Y_{AC}\Delta Y_{BC} \)
\( j\Delta Y_{AC}=X_P\Delta X_{BC}\Delta Y_{AC}+Y_P\Delta Y_{BC}\Delta Y_{AC} \)

Scăzând cele două relații, obținem faptul că:

\( i\Delta Y_{BC}-j\Delta Y_{AC}=X_P\Delta X_{AC}\Delta Y_{BC}-X_P\Delta X_{BC}\Delta Y_{AC} \)

⇒ \( i\Delta Y_{BC}-j\Delta Y_{AC}=X_P(\Delta X_{AC}\Delta Y_{BC}-\Delta X_{BC}\Delta Y_{AC}) \)

⇒ \( \frac{i\Delta Y_{BC}-j\Delta Y_{AC}}{\Delta X_{AC}\Delta Y_{BC}-\Delta X_{BC}\Delta Y_{AC}}=X_P \)

Analog, pentru \( Y_P \):

\( \frac{i\Delta X_{BC}-j\Delta X_{AC}}{\Delta Y_{AC}\Delta X_{BC}-\Delta Y_{BC}\Delta X_{AC}}=Y_P \)

În acest punct, am rezolvat exercițiul.

Notă

În soluția oficială, pentru a evita posibilitatea ca i sau j să fie numere raționale, relațiile pentru \( X_P \) și \( Y_P \) sunt amplificate cu 2.