Lista de probleme 6

Se consideră două numere naturale impare p şi q şi A={1,2,3,4,5,. . .,p*q} mulţimea tuturor numerelor naturale cuprinse între 1 şi p*q.

Să se scrie un program care determină p mulţimi, notate A1, A2,…, Ap cu proprietăţile:

  • Numărul de elemente ale fiecărei mulţimi Ai, 1 ≤ i ≤ p, este egal cu q;
  • Ai ∩ Aj = ∅ , 1≤i<j≤p;
  • A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ap = A;
  • Sumele elementelor fiecărei mulţimi Ai, 1≤i≤p, sunt egale.

Lot Juniori, Deva, 2013

#696 Mario

Jocurile cu Mario sunt jocuri on-line pentru copii de toate vârstele. Acum, Mario-personajul din joc, are nevoie de ajutorul vostru pentru a ajunge din turnul castelului unde se află, la sol, unde îl așteaptă cu nerăbdare prințesa Peach.

Coborârea din turn se face cu ajutorul unor platforme orizontale, de diferite lungimi, fiecare dintre ele aflându-se la o anumită înălțime față de sol. Deplasarea din turn spre sol se va face astfel:

  • Mario își dă drumul în cădere liberă din turn și cade sub efectul greutății sale;
  • dacă în cădere, el ajunge pe o platformă, se va deplasa pe suprafața acesteia spre unul din capetele din stânga sau din dreapta ale acesteia, urmând ca de acolo să procedeze la fel, lăsându-se din nou în cădere liberă spre sol.

Dacă Mario cade pe o distanță mai mare decât H, atunci își pierde toată energia și nu mai poate continua jocul.

Cunoscând poziția în care se află Mario și modul de așezare al platformelor (date în coordonate carteziene), determinați numărul drumurilor distincte pe care le poate parcurge Mario pentru a ajunge la prințesă.

Lot Juniori, Deva, 2013

Se consideră N intervale [Ai,Bi], 1 ≤ i ≤ N disjuncte.

Tuturor intervalelor li se aplică o operație de extindere la ambele capete cu o valoare naturală x, astfel încât după extindere cu valoarea x, intervalul [Ai,Bi] va deveni intervalul [Ai-x,Bi+x], 1 ≤ i ≤ N.

După extindere, spunem că intervalele [Ai,Bi] și [Aj,Bj] aparțin aceluiași grup de intervale dacă ele se intersectează sau dacă există un interval [Ak,Bk] astfel încât [Ai,Bi] se intersectează cu [Ak,Bk] iar intervalele [Ak,Bk], [Aj,Bj] aparțin aceluiași grup de intervale.

Să se determine valoarea minimă x cu care vor trebui să fie extinse toate intervalele astfel încât să se formeze un grup cu cel puțin P intervale.

Lot Juniori, Deva, 2013

Irinei îi plac numerele naturale. Ea știe că orice număr natural cu cifre nenule se poate reprezenta ca un șir de cifre din mulțimea A={1, 2,..., 9}. Irina își alege o cifră k şi îşi propune să afle câte numere naturale au suma cifrelor egală cu un număr dat S și în același timp se reprezintă folosind doar cifre din mulţimea {1, 2,..., k}.

Dându-se S şi k, se cere să se determine ultima cifră a numărului de numere naturale care se reprezintă doar cu cifre din mulțimea {1,...,k} și au suma cifrelor egală cu S.

Se dă un șir de N numere distincte a[1],a[2],..a[N]. Orice secvență
a[i],a[i+1],...,a[j-1],a[j], 1 ≤ i + 1 < j ≤ n, pentru care toate valorile a[k],
i < k < j, sunt mai mici decât extremitățile a[i] și a[j], o vom numi în continuare “groapă”.

Scrieţi un program care va determina numărul “gropilor” din șirul dat.

#700 Labir

Şoricelul Jerry este (pentru a câta oară ?) în labirint. Labirintul poate fi codificat ca o matrice cu n linii şi m coloane formată din n*m celule pătratice identice. Liniile se numerotează de la 1 la n, iar coloanele de la 1 la m. Labirintul este format din celule libere şi din celule ocupate de pereţii labirintului.

La momentul iniţial, Jerry se găseşte într-o anumită celulă liberă şi misiunea lui este să ajungă la destinaţie într-o altă celulă liberă precizată. Șoricelul se poate deplasa din celula curentă în oricare dintre cele patru celule cu care aceasta are în comun o latură şi nu poate ieşi în afara labirintului. Este posibil ca el să nu poată să ajungă de la poziţia iniţială la cea finală trecând doar prin celule libere. În această situație el este nevoit să sfărâme peretele în anumite celule. Jerry şi-a pregătit dinamită în acest scop, pentru că nu i se pare optim să roadă peretele cu dinţii.

Cunoscând dimensiunile n şi m ale labirintului, coordonatele celulei de plecare şi ale celulei destinaţie, precum şi coordonatele celulelor ocupate de pereţi, să se determine numărul minim de celule ocupate, pe care Jerry trebuie să le dinamiteze pentru a putea să ajungă la destinaţie.

Lot Juniori, Deva, 2013