Lista de probleme 6

#705 2d

Gigel îşi imaginează lumea în varianta 2d, adică reprezentată în sistem de coordonate cartezian XOY. Fiecare persoană din grupul celor N prieteni ai săi este reprezentată în plan printr-un punct identificat prin abscisa şi ordonata sa. În lumea sa 2d, plouă ca în Anglia, iar picăturile de ploaie pică paralel cu axa OY, de la o înălţime infinită. Ca să îi ferească pe prietenii săi de ploaie, îşi propune să le construiască apărători pe care le va reprezenta pe hartă prin segmente de dreaptă.

Ştiind că nu poate să deseneze pe hartă decât segmente de lungimi egale, determinaţi care este lungimea minimă a unui segment astfel încât trasând cel mult K segmente, toți cei N prieteni ai săi să fie protejați de ploaie.

#707 sumk

sumk este un joc de perspicacitate, cu N stagii numerotate de la 1 la N. Un joc se termină cu succes dacă jucătorul a parcurs în ordine, de la 1 la N, toate cele N stagii ale jocului şi în fiecare stagiu a obţinut exact K puncte. Fiecare stagiu are N niveluri, numerotate de asemenea de la 1 la N. Jucătorul are posibilitatea să câştige 0, 1, …, K puncte pe oricare nivel al stagiului curent.

Dacă jucătorul se găseşte în stagiul i pe nivelul j și numărul total de puncte obţinute până în acel moment în acest stagiu este mai mic decât K, el va trece în mod obligatoriu pe nivelul j+1 al stagiului i. Dacă jucătorul primește cel puţin un punct pe nivelul j și astfel punctajul său în stagiul i devine exact K, atunci jucătorul trece în mod automat pe nivelul j al stagiului i+1 sau termină jocul cu succes dacă i=N.

Cunoscând numărul N de stagii ale jocului şi numărul K de puncte care trebuie să fie obţinute în fiecare stagiu, să se determine numărul de posibilităţi modulo 578537 pentru ca jocul să se termine cu succes.

Lot Juniori, Baia Mare, 2013

Triunghiul lui Pascal este un aranjament geometric de numere ce poartă numele celebrului matematician francez Blaise Pascal (19 iunie 1623 – 19 august 1662), deoarece el a fost prima persoană care a descoperit importanţa tuturor modelelor din componenţa acestuia.

Triunghiul începe cu numărul 1. Acest rând este considerat rândul 0 al triunghiului. Restul numerelor din acest triunghi se formează ca suma celor două numere de deasupra (considerând că toate numerele din afara triunghiului sunt întotdeauna zero). Prin urmare, rândul 1 va fi format din 1 = 0 + 1, 1 = 1 + 0, iar rândul 2 va fi format din 1 = 0 + 1, 2 = 1 + 1, 1 = 1 + 0.

Fie n și p două numere naturale nenule cu proprietățile:

  • p este număr prim;
  • n+1 este o putere naturală a lui p;

Notăm cu M(p) numărul de multipli de p din primele n+1 rânduri ale triunghiului lui Pascal.

Să se scrie un program care citeşte numerele naturale n şi p și determină numărul M(p).

Lot Juniori, Baia Mare, 2013

Prin fibosir(N) înţelegem un şir construit prin adăugarea la sfârşit (concatenare) a primilor N termeni nenuli ai şirul Fibonacci definit astfel:

  • F1=1
  • F2=1
  • FN = FN-1 + FN-2

Pentru N valoare naturală dată, să se elimine din fibosir-ul construit M secvenţe disjuncte de lungime K fiecare, astfel încât numărul format din cifrele rămase în fiboşir să fie maxim.

Se dă un șir de numere întregi a[0],a[1],..a[N-1]. Fiecare valoare a[i] reprezintă mărimea maximă a unui salt ce poate fi efectuat din pozitia i. Din poziţia i, se poate ajunge printr-un salt la oricare din poziţiile i+1, i+2,…, i+a[i], dacă a[i] este pozitiv, iar dacă a[i] este negativ se poate ajunge la oricare din poziţiile i-1,i-2,…, i+a[i].

Trebuie să se ajungă, prin salturi, de la poziția 0 la o poziție mai mare decât N-1 (în afara vectorului, la dreapta).

Scrieți un program care să determine numărul minim de salturi necesare pentru a ajunge de la poziția 0 la o poziție mai mare decât N-1.

#704 smsm

Notăm X ca fiind mulţimea numerelor naturale care se pot scrie sub forma 2a*3b. Se consideră doar acele numere pentru care 0 ≤ a ≤ D şi 0 ≤ b ≤ T, unde D şi T sunt date. Pentru un număr v din X, considerăm asociatul lui v ca fiind valoarea (C*P)%Q unde C este ultima cifră a lui v iar P şi Q se dau (de exemplu, pentru P = 1 şi Q = 10 asociatul lui 21*32 este 8).

Se cere determinarea valorii maxime a sumei asociatelor elementelor unei submulţimi a lui X astfel încât oricare ar fi două elemente u şi v din submulţimea respectivă, u nu divide pe v şi nici v nu divide pe u.