Lista de probleme 6

#1643 Tromino

Bulbuka a primit de curând cadou un infinit de tromino-uri în formă de L. După ce s-a jucat un timp cu ele, a ajuns la următoarea concluzie: poate să acopere cu tromino-uri o tablă de dimensiuni 2Kx2K aproape complet (mai puţin un pătrăţel de dimensiune 1x1). Deşteapta de Bulbuka are un algoritm pentru asta: porneşte de la o configuraţie 2K-1x2K-1, o copiază de încă 3 ori, apoi roteşte 2 dintre copii şi la sfârşit, adaugă un tromino la mijloc (v-a făcut un desen mai jos, ca să înţelegeţi mai bine, pentru K = 1, 2 şi 3). Pornind de la o configuraţie de acest tip, ea a observat că poate roti la 90o câte un tromino, în sensul acelor de ceasornic sau invers, doar dacă după rotire încape înapoi pe tablă. Folosind astfel de rotaţii, pătrăţelul lipsă poate ajunge pe orice poziţie de pe tablă.

Bulbuka vă pune acum Q întrebări de tipul: care este numărul minim de rotaţii necesare pentru ca pătrăţelul lipsă să ajungă de la coordonatele (SR,SC) la coordonatele (FR,FC)?

Urmasii lui Moisil, 2016

#1645 Fibocel

Toată lumea ştie că Fibocel este pasionat de numere şi că vrea să iasă în evidenţă cu orice preţ. Într-o zi, el s-a decis să numească un număr fibocel (după numele lui) dacă numărul de biţi egali cu 1 din reprezentarea binară a numărului este un număr Fibonacci.

Cum asta nu e de ajuns pentru el, Fibocel s-a decis să propună şi o problemă la concursul lui preferat de la Iaşi.

Să se raspundă la Q întrebări de forma: Câte numere fibocel există în intervalul închis [A, B]?

Urmasii lui Moisil, 2016

#1648 Diez

Negrimon a găsit într-o culegere această problemă #legendară: peste un şir de caractere de lungime N, alcătuit din litere mici ale alfabetului englez, se efectuează M operaţii de următoarele tipuri:

  1. Se inserează în şir caracterul x, pe poziţia p, după deplasarea cu o poziţie la dreapta a caracterelor situate pe poziţiile mai mari sau egale cu p. Dacă valoarea p este egală cu lungimea şirului, x este alipit la finalul şirului.
  2. Se răspunde cu 1 dacă secvenţa de litere care începe la poziţia q1 şi are lungimea lg coincide literă cu literă, cu secvenţa care începe la poziţia q2 şi are aceeaşi lungime lg şi se răspunde cu 0 în caz contrar. Este posibil ca cele două secvenţe să se suprapună complet sau parţial în şirul din care ele fac parte.

Fiind dat un şir de N litere mici şi o listă de M operaţii, să se afişeze răspunsurile la operaţiile de tip 2, respectând ordinea din succesiunea de operaţii date.

Urmasii lui Moisil, 2016

#1644 Bilute1

X şi Y se joacă cu N biluţe, fiecare biluţă având scrisă pe ea o cifră nenulă. Inventivi din fire, aceştia au împărţit cele N biluţe în două grămezi, astfel încât valoarea medie a grămezii lui X să fie egală cu valoarea medie a grămezii lui Y. Valoarea medie a unei grămezi este egală cu suma tuturor numerelor din grămadă împărţită la numărul de elemente ale acesteia.

Dându-se cele N valori scrise pe biluţe, aflaţi în câte moduri pot fi împărţite biluţele în două grămezi ale căror valori medii să fie egale. Cum acest număr poate fi prea mare, afişaţi doar restul împărţirii acestui număr la 666013.

Aurel a învăţat la matematică despre şiruri de numere. Fiind curios din fire, el ar vrea acum să ştie câte şiruri crescătoare de numere naturale nenule cu suma elementelor mai mică sau egală cu S există.

Ajutaţi-l pe Aurel să afle câte astfel de şiruri există.