Lista de probleme 3

Tudoraș are o pasiune pentru muzică. El deține câte K albume din discografia fiecăreia dintre cele C formații pe care le ascultă. În fiecare zi, Tudoraș extrage la întamplare exact Q albume din colecția sa, pe care le ascultă în cursul zilei.

La finalul zilei, Tudoraș analizează albumele ascultate. Concret, el numără de la câte formații diferite provin cele Q albume alese și își notează această valoare.

Care va fi media aritmetică a valorilor notate, dacă procesul se repetă pentru un număr infinit de zile? Cu alte cuvinte, care este valoarea medie (expected value) a numărului de formații ascultate într-o zi?

Regele Leonidas trebuie să-și aleagă o armată de 300 de spartani. Surprins de mulțimea mare de voluntari care vor să-l urmeze în viitoarea luptă de la Termopile, regele are nevoie să facă o selecție a războinicilor. Astfel, el a decis să le dea următoarea problemă:

Se dă un arbore cu N noduri (etichetate cu numere consecutive începând de la 1) cu rădăcina în nodul 1, în care fiecare muchie are asociat un cost. Se definește un lanț în jos în arbore ca fiind orice lanț simplu ce unește un nod A cu alt nod B din subarborele lui A. Cu alte cuvinte, un lanț în jos este un lanț de la A la B în care A este strămoș al lui B. Definim costul unui lanț în jos ca fiind suma costurilor muchiilor din care este format lanțul.

Numim acoperire a unui arbore o partiționare a muchiilor în lanțuri disjuncte, a căror reuniune este arborele inițial. Regele Leonidas dorește să acopere întreg arborele cu lanțuri în jos, însa are un număr limitat de lanțuri, notat în continuare cu S.

Se cere să se determine cel mai mic număr K pentru care să existe o partiționare completă a arborelui cu maxim S lanțuri astfel încât costul fiecărui lanț să fie cel mult K. Dacă nu există un astfel de număr K, să se afișeze -1.

Pentru că și tu vrei să lupți alături de Leonidas pentru libertatea Spartei, trebuie să rezolvi această problemă ca să-ți asiguri un loc în primii 300 de spartani. Leonidas este un rege înțelept. Ca să se asigure că nu vor exista Spartani care vor încerca să ghicească rezultatul, el vă cere să răspundeți la T astfel de probleme.

Marele inginer NN, a fost numit inspector general al barajelor. În prima zi de lucru el primește un sector dintr-un baraj de lângă un lac de acumulare care conține stricăciuni și are misiunea de a realiza un plan de reparații. În plus, costurile reparațiilor trebuie să fie minime. Sectorul din baraj poate fi reprezentat ca o matrice binară de NxN. El a observat că liniile l1, l2 …, lk și coloanele c1,c2, …, cl sunt singurele care au stricăciuni. Pentru a le repara el trebuie să înlocuiască unele elemente din matrice astfel încât liniile și coloanele stricate să devină palindrom.

Ajutați-l pe NN să găsească numărul minim de înlocuiri și să dovedească că e maestru în baraje de toate felurile.