Lista de probleme 208

Se dă n un număr natural. Într-un şir de lungime n, format cu cifrele 0 şi 1, numim insulă o secvenţă maximă de cifre egale. Să se afle câte insule se află în toate şirurile de lungime n, formate cu cifrele 0 şi 1.

Josephus și prietenii lui s-au gândit la un joc. Ei se așează într-un cerc și își scriu pe rând pe frunte câte un număr, reprezentând indicativul fiecăruia (1, 2, …, n). Toți au la îndemână un marker roșu. Jocul începe de la jucătorul cu numărul 1, care îl va marca cu un X pe cel aflat imediat în stânga sa și care nu a fost deja marcat, apoi următorul nemarcat îi va trece un X pe frunte celui din stânga sa și tot așa, până când va rămâne o singură persoană nemarcată, aceasta fiind considerată câștigătoare.

Se dă n un număr natural nenul. Să se afle câte soluții are ecuația x1+x2+...+xn=0 în mulțimea {-1,0,1}.

Se definește operația AT un procedeu prin care se schimbă caracterul 'A' în 'T' și caracterul 'T' în 'A'. Operația poate fi modelată ca o funcție astfel: AT(A) = T și AT(T) = A. Operația se generalizează pentru orice secvență de caractere formată din literele A și T. De exemplu, dacă se aplică operația AT pentru secvența AAATTA, se va obține TTTAAT. Notăm AT(AAATTA) = TTTAAT.

Considerăm șirul infinit S, definit după următoarea regulă:

S1 = ATTA

S2 = ATTATAATTAATATTA

S3 = ATTATAATTAATATTATAATATTAATTATAATTAATATTAATTATAATATTATAATTAATATTA

În general: Sn = Sn-1 AT(Sn-1 ) AT(Sn-1 ) Sn-1 .

Se dau n numere naturale: k1 , k2 , k3 ... kn. Pentru fiecare număr ki se determină caracterul de pe poziția ki dintr-un element al șirului S care are cel puțin ki caractere. Cu aceste caractere se construiește un nou șir V.

Să se determine un număr L cu toți biții setați, reprezentând lungimea maximă a unei secvențe maximale de caractere 'T' din șirul V. Dacă în șirul V nu există nicio astfel de secvență se va afișa mesajul NU EXISTA.

Cei m cowboys și cei n aliens s-au întâlnit în vestul sălbatic și, păstrând tradiția locului, s-au așezat în șir indian. Cum cowboys erau gazde primitoare și în special foarte precaute, s-au gândit că între doi cowboys consecutivi ar fi bine să fie cel mult un alien (din motive de securitate). De asemenea primul și ultimul din șir să fie cawboys. Dilema care s-a ivit a fost numărul de moduri în care s-ar putea așeza în șir indian ținând cont de condițiile de securitate impuse.

Se dau două numere naturale nenule a şi b, iar produsul lor îl notăm cu c. Aflaţi cel mai mare divizor propriu al lui A=2c-1.

Cifra de control a unui număr se obţine efectuând suma cifrelor sale, apoi suma cifrelor acestei sume etc. până se obţine o sumă formată dintr-o singură cifră. De exemplu, cifra de control a numărului 713 este 2. (7 + 1 + 3 = 11, 1 + 1 = 2).

Un număr de tip Huge este un număr natural de maxim 1.000.000 de cifre.

Se dă un număr N, de tip Huge. Calculati și afișati cifra de control a numărului.

Se dă un număr natural n format cu cifre distincte nenule. Să se afle câte numere pare se pot obţine din n, prin rearanjarea cifrelor sale.

Dându-se un vector A cu 10 componente numere naturale, se întreabă câte numere distincte cu \( \sum\limits_{i=0}^9 A[i] \) cifre există astfel încât să conțină exact A[0] cifre de 0, A[1] cifre de 1, … A[9] cifre de 9?.

De aceeași parte a unui râu R se află două orașe A și B. Pe malul râului, într-un punct C se va amplasa o stație de pompare a apei pentru a alimenta orașele A și B utilizând două conducte: AC și CB.

Notăm X = AC + CB. Fie P și Q proiecțiile punctelor A respectiv B pe dreapta R.

Cunoscând distanțele AP, BQ și PQ, calculați lungimea minimă X a conductei care trebuie comandată pentru realizarea lucrării.