#2712
Fie un număr n
natural nenul, determinați un număr k
și o combinație de semne +
sau -
(mai exact o succesiune k
semne +
sau -
care să îndeplinească relația de mai sus.
#1473
Cei n
elevi de la grupa pregătitoare au primit câte două cartonaşe, fiecare cartonaş având scris pe el un număr natural. Ei s-au aşezat în cerc şi, la un semnal dat, fiecare a scos la întâmplare un cartonaş din buzunar. Copiii vă roagă să răspundeţi la următoarele întrebări:
1. Care poate fi suma maximă S
a numerelor de pe cartonaşele scoase, ştiind că produsul acestora este divizibil cu un număr prim p
?
2. Care poate fi lungimea maximă L
a unei secvenţe de copii de pe cerc pentru care suma numerelor de pe cartonaşele oricăror doi vecini din secvenţă este pară?
Olimpiada de Informatică, etapa pe şcoală, C.N.T.V., Tg-Jiu, 2016
#4278
Se citesc de la tastatură numere naturale până la apariția lui zero. Să se determine suma celor pare și câte dintre ele au două cifre.
#4279
Se citesc de la tastatură numerele n k
, apoi n
numere naturale. Să se determine suma celor impare și câte dintre ele se divid cu k
.
#4547
Se citesc de la tastatură numerele n k
, apoi n
numere naturale. Să se determine suma celor care se divid cu k
și câte dintre ele sunt pare.
#1044
Fascinat de Egiptul Antic, Rareș vrea să construiască cât mai multe piramide din cartonașe pătratice identice. El are la dispoziție N
cartonașe numerotate de la 1
la N
, albe sau gri, așezate în ordinea strict crescătoare a numerelor.
1
și 2
așezate alăturat, peste care va așeza cartonașul 3
(vârful piramidei).4
, 5
și 6
așezate alăturat, deasupra cărora se vor așeza cartonașele 7
și 8
, alăturate, peste care se va așeza cartonașul 9
(vârful piramidei).4
cartonașe (cu numerele de la 10
la 13
), respectiv 5
cartonașe (cu numerele de la 20
la 24
), 6
cartonașe (cu numerele de la 35
la 40
) etc., cât timp va putea construi o piramidă completă. De exemplu, dacă Rareș are N=75
cartonașe atunci el va construi piramidele complete 1
, 2
, 3
, 4
și 5
din imaginile următoare. Din cele 75
de cartonașe el va folosi doar primele 55
de cartonașe, deoarece ultimele 20
cartonașe nu sunt suficiente pentru a construi piramida 6
, cu baza formată din 7
cartonașe.Scrieţi un program care să citească numerele naturale N
(reprezentând numărul de cartonașe), X
(reprezentând numărul unui cartonaș), K
(reprezentând numărul de cartonașe albe), numerele celor K
cartonașe albe c
1
, c
2
, …, c
K
și care să determine:
a) numărul P
al piramidei complete ce conține cartonașul numerotat cu X
;
b) numărul M
maxim de piramide complete construite de Rareș;
c) numărul C
de cartonașe nefolosite;
d) numărul A
al primei piramide complete care conține cele mai multe cartonașe albe.
OJI 2014, Clasa a V-a
#1754
Vrăjitorul Arpsod își dorește să își reamenajeze habitatul. În habitatul acestuia există N
munți, fiecare cu o înălțime cunoscută. Fiind un tip cu un foarte dezvoltat simț estetic, el își dorește să remodeleze cei N
munți astfel încât să obțină un număr maxim de munți cu aceeași înălțime.
Arpsod are la îndemână o magie ce funcționează astfel: alege oricare doi munți, pe primul îl crește cu o unitate iar pe al doilea îl scade cu o unitate. Un munte poate ajunge la înălțimi negative ( practic se transformă într-o groapă ).
Arpsod își poate folosi magia de un număr infinit de ori.
Vrăjitorul vă cere să determinați numărul maxim de munți ce pot fi aduși la o înălțime egală.
Concursul EMPOWERSOFT, 2016
#627
Mihai a găsit pe facebook o poză cu triunghiuri echilaterale aşezate în formă de piramidă, ca în figura de mai jos. El observă că piramida este compusă din mai multe benzi. Prima bandă conţine un triunghi echilateral, a doua bandă conţine 3
triunghiuri echilaterale, dintre care cel din mijloc este cu vârful în jos, a treia bandă conţine 5
triunghiuri echilaterale şi aşa mai departe.
El constată că fiecare triunghi de cea mai mică dimensiune poate fi divizat în mai multe triunghiuri și mai mici prin procedeul de împărțire a unui triunghi. Prin acesta se înțelege unirea mijloacelor laturilor triunghiului, două câte două, printr-un segment, obținându-se astfel 4
triunghiuri mai mici ce compun triunghiul respectiv, ca în figura următoare.
Mihai a analizat acest proces și a stabilit că dacă un triunghi este supus procedeului de împărțire, atunci toate triunghiurile din piramidă de dimensiunea lui vor trece prin acest procedeu. Astfel, el își pune următoarea întrebare: având N
piramide, fiecare având un anumit număr de benzi, câte triunghiuri de cea mai mică dimensiune și câte perechi de drepte paralele are fiecare piramidă, după ce s-a executat procedeul de împărțire de M
ori pe toate piramidele?
În prima figură o pereche de drepte paralele este formată din dreapta situată între benzile 2-3 și o dreaptă situată între benzile 3-4.
Cunoscând N
, M
și câte benzi are fiecare piramidă, se cere să se afișeze:
a) câte triunghiuri de cea mai mică dimensiune are fiecare piramidă, după executarea procedeului de împărțire de M
ori;
b) câte perechi de drepte paralele are fiecare piramidă, după executarea procedeului de împărțire de M
ori.
Grigore Moisil, 2014
#2448
Un elev a desenat un set format din mai multe pătrate care conțin numere naturale nenule, distincte, consecutive, dispuse în număr egal pe laturi. Pe latura fiecărui pătrat sunt scrise un număr impar de valori. În fiecare pătrat, numerele sunt scrise în ordine crescătoare parcurgând laturile sale, începând din colțul stânga-jos, în sensul invers al acelor de ceasornic. Elevul a numerotat pătratele cu 1
, 2
, 3
etc., în ordinea strict crescătoare a numărului de valori conținute de fiecare. Diferența dintre cel mai mic număr din pătratul P
(1 < P
) și cel mai mare număr din pătratul P - 1
este egală cu 1
.
Scrieţi un program care rezolvă următoarele două cerinţe:
1. citește un număr natural M
și determină numărul K
de valori conținute de pătratul numerotat cu M
;
2. citește un număr natural N
și determină numărul T
al pătratului care conține numărul N
pe una dintre laturi.
OJI 2018
#4245
Fie şirul tuturor numerelor naturale de la 1
la un număr oarecare N
. Considerând asociate câte un semn (+
sau -
) fiecărui număr şi adunând toate aceste numere cu semn se obţine o sumă S
. Pentru un S
dat, găsiţi valoarea minimă N
şi asocierea de semne numerelor de la 1
la N
pentru a obţine S
în condiţiile problemei.
ONI 2002, clasa a IX-a