Lista de probleme 4

#2179 Max3

Fie n un număr natural nenul şi un şir de n numere naturale nenule, fiecare număr din şir având cel mult 3 cifre. Şirul dat se „maximizează” prin aplicarea următoarelor transformări:

#2383 plaja1

Primăria orașului Constanța reamenajează plaja din stațiunea Mamaia. Aceasta este reprezentată ca o zonă dreptunghiulară cu lățimea de a unități și lungimea de b unități. Pe plajă sunt trasate linii paralele cu laturile dreptunghiului astfel încât să formeze pătrate cu latura de o unitate, numite zone. Pe plajă se vor pune obiecte: umbrele și prosoape. Se consideră că dacă un obiect intră în interiorul unei zone, o ocupă în întregime. Se poziționează u umbrele de soare. Într-o zonă se poate așeza cel mult o umbrelă.

N turişti vin şi îşi aşează prosoapele pe plajă. Un prosop are formă dreptunghiulară şi va fi aşezat paralel cu laturile dreptunghiului. Turiştii îşi pot aşeza prosoapele pe zone libere sau peste prosoape deja aşezate. Un turist nu îşi poate aşeza însă prosopul pe plajă dacă suprafaţa acoperită de acesta include cel puţin o zonă în care se află o umbrelă.
M localnici au suprafeţe favorite pentru aşezarea prosoapelor. O suprafaţă favorită are forma unui dreptunghi cu laturile paralele cu laturile dreptunghiului care marchează plaja. După ce turiştii termină aşezarea prosoapelor, localnicii verifică dacă zonele din suprafaţa favorită sunt libere (neacoperite de prosoape aşezate de turişti sau de umbrele).

Scrieţi un program care să determine numărul de turişti care au reuşit să îşi aşeze prosoapele pe plajă, precum și numărul de localnici ale căror zone favorite sunt libere.

#2382 mesaje

După multe năzbâtii făcute împreună, Alex şi Cipri nu mai au voie să se întâlnească. Alex – strategul echipei – a plănuit o nouă poznă şi a decis să-i transmită prietenului său planul de luptă, constând din anumite cuvinte dintr-un mesaj m[0]. Pentru a nu fi descoperiți, i-a trimis ulterior mai multe mesaje m[1], m[2], … lui Cipri, acesta trebuind să le descifreze folosind convenția secretă stabilită la începutul prieteniei lor și să “acționeze”. Fiecare mesaj m[i] este format din mai multe cuvinte, separate prin câte un spațiu, numerotate cu valori consecutive, începând de la 1.
Pentru a afla planul, Cipri trebuie să găsească cea mai mare valoare i ≥ 0 astfel încât mesajele m[i] și m[0] să conțină cel puțin un cuvânt identic având același număr de ordine în ambele mesaje. Din m[0] se păstrează toate cuvintele care se găsesc și în mesajul m[i] cu același număr de ordine ca în m[0].
Cuvintele păstrate trebuie ordonate în ordine descrescătoare lexicografică a puterii lor. Puterea cuvântului cu numărul de ordine j în m[0] este egală cu șirul ordonat descrescător al indicilor mesajelor în care apare cu același număr de ordine ca în m[0]. Astfel, un cuvânt care a apărut cu numărul de ordine 2 în mesajele m[0], m[6] și m[8] are puterea {8,6,0}. Dacă două cuvinte au aceeași putere, vor rămâne în ordinea din mesajul inițial. Lui Cipri nu i-a mai rămas decât să citească fiecare cuvânt de la dreapta la stânga şi a descifrat tot planul de luptă Cunoscând mesajele transmise de Alex, ajutaţi-l pe Cipri să descifreze planul de luptă conform convenţiei secrete.

ONI 2010

Se organizează o petrecere la care participă N băieți (numerotați de la 1 la N) și N fete (numerotate de la 1 la N). S-a decis ca petrecerea să dureze mai multe minute. În fiecare minut fetele și băieții formează o configurație de dans, adică N perechi, după una din următoarele reguli:
1. băiatul i dansează cu fata i;
2. băiatul i dansează cu fata j și atunci obligatoriu băiatul j dansează cu fata i.
De exemplu, pentru N = 7, două configurații de dans posibile sunt:
(1, 1) (2, 2) (3, 7)(4, 5) (5, 4) (6, 6) (7, 3)
(1, 1) (2, 2) (3, 3)(4, 5) (5, 4) (6, 6) (7, 7)
Prin perechea (i, j) s-a notat faptul că băiatul i dansează cu fata j. Două configurații sunt distincte dacă ele diferă prin cel puțin o pereche. Ştiind că în fiecare minut trebuie formate configuraţii de dans distincte, să se determine câte minute durează petrecerea.