Lista de probleme 2

Gigel este un pasionat al triunghiurilor. El colectează beţişoare de diferite lungimi şi le asamblează în diferite triunghiuri. Ieri, el avea 6 beţişoare de lungimi 5, 2, 7, 3, 12 şi 3. Din aceste bețișoare, Gigel a construit un triunghi de laturi 3, 3 şi 5, iar beţişoarele de lungimi 2, 7, 12 au rămas nefolosite pentru că aceste lungimi nu pot forma laturile unui triunghi.
Din acest motiv, Gigel s-a hotărât să facă o colecţie de beţişoare, dintre care oricum ar alege 3 elemente, acestea să nu poată forma laturile unui triunghi, proprietate pe care o vom numi în continuare proprietate anti-triunghi. Gigel, pornind de la setul iniţial de lungimi 2, 7, 12, s-a gândit la două metode de realizare a unei colecţii de 5 beţişoare cu proprietatea anti-triunghi, şi anume:
1.Păstrează cel mai scurt beţişor, cel de lungime 2, şi creează un set nou adăugând alte beţişoare de lungime mai mare sau egală cu cel iniţial. De exemplu, următoarele 5 lungimi sunt corecte: 2, 2, 12, 50, 30.
2.Păstreză toate beţişoarele, şi anume 2, 7,12, pe care le va completa cu alte beţişoare de diferite lungimi (mai scurte sau mai lungi), astfel ca proprietatea anti-triunghi să se păstreze. Următoarele 5 lungimi respectă proprietatea anti-triunghi: 2, 7, 12, 4, 1.

Cunoscând un şir de n numere naturale nenule a 1 ,a 2 ,…,a n având proprietatea
anti-triunghi, şi un număr k (k>n), se cere să construiţi un şir de k numere naturale având proprietatea anti-triunghi, în conformitate cu una dintre următoarele două restricţii:
Varianta 1. Cel mai mic element este identic cu cel mai mic element din şirul iniţial.
Varianta 2. Printre cele k elemente ale şirului construit se regăsesc toate elementele şirului iniţial.

OJI 2014, Clasa a X-a

#1028 Ferma

Un fermier deține o fermă de formă dreptunghiulară cu lungimea m metri și lățimea n metri. Respectând principiul rotației culturilor, fermierul și a realizat un plan pentru semănarea culturilor în noul an. Astfel ,el a desenat un dreptunghi pe care l-a împărțit în m * n celule, fiecare corespunzând unui metru pătrat, și a colorat în culori diferite zonele care corespund unor culturi diferite. O cultură poate fi semănată pe mai multe parcele. Două celule care au o latură comună aparțin aceleiași parcele dacă au aceeași culoare (sunt însămânțate cu aceeași cultură). Fermierul are posibilitatea să irige o sigură parcelă și dorește să aleagă parcela cu cea mai mare suprafață. Nefiind mulțumit de suprafața rezultată, s-a întrebat dacă ar putea schimba cultura de pe o singură celulă, astfel încât să obțină o parcelă de suprafață mai mare.

Dându-se dimensiunile fermei și pentru fiecare celulă culoarea corespunzătoare culturii semănate, determinați:

  • Cerința 1: Suprafața maximă a unei parcele în planul inițial.
  • Cerința 2: Numărul liniei, respectiv al coloanei celulei pe care va semăna o altă cultură și culoarea corespunzătoare noii culturi în vederea obţinerii celei mai mari parcele posibile.

OJI 2014, Clasa a X-a