Lista de probleme 2

#1135 p2sah

Se dă o tablă de șah cu n+1 linii (numerotate de sus în jos începând cu 1) și 2n+1 coloane (numerotate de la stânga la dreapta începând cu 1). Pe prima linie pătratul din mijloc conține 1 gram de fân, iar celelalte pătrate de pe prima linie nu conțin nimic. Începând cu linia a doua fiecare pătrat conține o cantitate de fân obținută prin adunarea cantităților de fân din cele 3 pătrate ale liniei anterioare cu care se învecinează (pe verticală și diagonală). De exemplu dacă n=3 tabla are 4 linii, 7 coloane și următoarea configurație.

Un cal pleacă de pe prima linie, de pe o coloana k<=n, sare din orice poziție (i,j) în poziția (i+1,j+2) atât timp cât este posibil și mănâncă tot fânul din pătratele prin care trece. De exemplu, pentru n=3 și k=2, pătratele prin care trece calul sunt marcate cu asterisc ( * )

Cerinţe:

1. Cunoscând n și k, să se calculeze cantitatea de fân de pe linia k a tablei.
2. Cunoscând n și k, să se calculeze câte grame de fân mănâncă un cal care pleacă de pe prima linie, de pe coloana k.

OJI 2015, Clasele XI-XII

#1136 Dragoni

Supărați că lansarea părții a treia a filmului lor preferat s-a amânat până în iunie 2018, Henry și Hetty s-au gândit la propriul scenariu pentru finalul trilogiei:

Într-o lume în care vikingii pot zbura cu dragonii există N insule. Hiccup, șeful tribului de vikingi aflat pe insula 1, știe M rute directe de zbor bidirecționale între insule. Pentru fiecare j intre 1 si M, ruta j unește insulele A j și B j și are lungime D j.

Pe fiecare insulă i, (1 ≤ i ≤ n) există dragoni din specia i care pot zbura fără a se opri pentru odihnă o distanță maximă Dmax i. Cu alte cuvinte, dragonii de pe insula i vor putea parcurge orice rută j, (1 ≤ j ≤ m) pentru care Dj ≤ Dmaxi, indiferent de ce alte drumuri au făcut anterior.

Hiccup dorește să ajungă de pe insula 1 pe insula N pentru a-l salva pe Toothless, dragonul lui. Pentru a ajunge acolo, el va lua inițial un dragon din specia 1 (de pe insula 1). Apoi, dacă la un moment dat Hiccup se află pe o insula i, (1 ≤ i ≤ n) având cu el un dragon din specia t, el poate:

  1. Să zboare de pe insula i pe o altă insulă x cu dragonul pe care îl are, folosind o rută directă j între insulele i si x, bineînțeles doar dacă Dj ≤ Dmaxt.
  2. Să schimbe dragonul din specia t pe care îl are cu un dragon din specia i aflat pe insula respectivă.

Cerințe:

a. Să se determine distanța maxima Dmaxi caracteristică unui dragon la care Hiccup poate ajunge fără a schimba dragonul pe care l-a luat inițial de pe insula 1.
b. Să se determine distanța minimă pe care Hiccup trebuie să o parcurgă pentru a ajunge de pe insula 1 pe insula N.