Lista de probleme 15

Rică se joacă în fiecare seară The MazeRunnerVladVersion, joc pe care îl vom numi pentru simplitatea problemei MR. Jocul constă în găsirea unei căi de scăpare dintr-un labirint care conține:

• ziduri prin care Rică nu va putea să treacă;
• zero sau mai multe teleporturi cu ajutorul cărora deplasarea între două puncte precizate p1(x1, y1) și p2(x2, y2) se face într-un minut, dacă se doreşte acest lucru;
• zone libere, trecerea din zona curentă într-o zonă învecinată se poate face pe direcția celor patru puncte cardinale. Deplasarea se va face într-un minut.

Rică pleacă din colțul stânga-sus al labirintului și doreşte să ajungă în colțul dreapta-jos.

El știe că are o teză în ziua următoare, așa că vă cere ajutorul vouă, programatorilor, și vă roagă să aflați timpul minim în care poate să ajungă din colțul stânga-sus în colțul dreapta-jos al labirintului.

Cătălin este cel mai important general din armata țării sale, care are N membri (soldați și ofițeri), numerotați de la 1 la N (Cătălin are numărul 1). Un ofițer este un soldat care are în subordinea sa alți soldaţi. Conform ierarhiei militare, Cătălin și toți ceilalți ofițeri primesc inițial 3 subalterni (soldații cu numerele 2, 3 şi 4). Fiecare dintre cei trei, primește la rândul lui alți 3 subalterni, după următoarea regulă: ofițerul cu numărul x primește subalternii 3 * x – 1, 3 * x, 3 * x + 1 (dacă aceștia există în armată).

S-a descoperit că în această armată există trădători. Mai exact, toți cei numerotați cu numere prime sunt dovediți trădători, iar Cătălin știe bine asta, asa că ia măsuri radicale: decide să îi elimine pe rând pe toți acești misei, începând chiar cu subalternul său cu numărul 2. Dacă ofițerul cu numărul X este eliminat, toți subalternii săi devin subalternii comandantului său. Eliminându-l pe 2, subalternii acestuia devin subalternii comandantului lui 2, adică ai lui Cătălin. După trista eliminare a lui 2, Cătălin trece mai departe și elimină pe rând pe cei cu numerele 3, 5, 7, 11, 13 … Subalternii lui 3, 5, 7 devin subalternii lui 1, cei ai lui 11 devin ai lui 4 și tot așa.

După măcel, Cătălin trebuie să răspundă la Q întrebări ale împăratului care dorește să afle câți subalterni are un membru x al armatei sale. Dacă x a fost eliminat, Cătălin va transmite pentru acesta răspunsul -1.

Rică a învățat la școală despre șiruri recurente și a primit ca temă să lucreze cu un anumit șir. Rică știe că primele elemente din acest șir sunt următoarele: 1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504. Tema lui Rică este să găsească termenul de pe locul X. Rică nu știa să zică… regula şirului nostru, de aceea el vă cere ajutorul.

Deduceți regula de formare a șirului și scrieți un program care să afișeze pentru un X dat, elementul din șir de pe poziția X.

Cătălin avea un singur prieten dar, fiind foarte sociabil, el se împrietenește automat cu toți prietenii prietenului său și cu prietenii prietenilor acestuia ș.a.m.d. (s-a inspirat din modelul Facebook).

Inițial, în grupul de persoane, nimeni nu are prieteni dar, pe parcursul timpului, se leagă noi relații de prietenie.

Definim două tipuri de operații:

• 1 x y – ce reprezintă faptul că x se împrietenește cu y.
• 2 p – Cătălin vă întreabă care este numărul de prieteni pe care îi poate avea, dacă inițial ar fi prieten doar cu p. Se va ține cont doar de relațiile de prietenie stabilite până în acel moment.

Îl cunoașteți, cred, pe Cătălin, fan-ul numărul 1 al greșelilor. Ei bine, în teza la mate, Cătălin a făcut N greșeli. Presupunând, prin reducere la absurd, că el corectează o greșeală i, poate alege să corecteze o singură greșeală j, cu proprietatea 1<j<i şi i%j=0. El știe că, dacă face această alegere poate să continue din greșeala j, după aceeași regulă și nu mai poate reveni la o greșeala anterioară.

Cătălin alege T greșeli G[1] G[2] … G[T] și dorește să știe, pentru fiecare G[i], numărul maxim de greșeli pe care le poate corecta dacă începe rezolvând-o pe aceasta.