Lista de probleme 2

Lui Andrei îi plac foarte mult jocurile de tip puzzle. De curând, el a descoperit un joc nou: un cub de dimensiune n format din n•n•n cuburi unitate sub forma unor cămăruţe. Cubul poate fi văzut ca o matrice tridimensionala ale cărei elemente sunt cămăruţele. Două cămăruţe se numesc adiacente dacă au o faţă comună. Astfel, o cămăruţă poate fi adiacentă cu maxim 6 cămăruţe. Scopul jocului este acela de a duce o bilă din cămăruţa de coordonate (1,1,1) în cămăruţa de coordonate (n,n,n). Bila poate trece dintr-o cămăruţă în alta doar dacă acestea sunt adiacente, iar noua cămăruţă este accesibilă din cămăruţa curentă.

Cunoscând n, dimensiunea cubului şi valorile asociate fiecărei cămăruţe, determinaţi:

a) cămăruța cu un număr maxim de cămăruțe ce pot fi accesate din ea;
b) un drum de lungime minimă de la cămăruţa (1,1,1) la cămăruţa (n,n,n).

Fie \(z \in R, z \neq 0\) astfel încât \(z + \frac{1}{z} = k, k \in N\).

Dându-se k și un număr natural n, se cere:

a) să calculați \(z^2 + \frac{1}{z^2}\) ;
b) să se determine \(z^n + \frac{1}{z^n}\) .