Lista de probleme 248

Azi este ziua secvenței! Profesoara de mate a scris câteva secvențe pe tablă, fiecare având N numere distincte cuprinse între 1 și N, și le-a spus studenților că aceste secvențe au o proprietate specială. După o analiză atentă, Deni, una din studente, a ghicit corect proprietatea. Toate secvențele de pe tablă au cel puțin o pereche de numere adiacente de forma (x, x+1). Deni a fost așa de fericită încât a denumit acest tip de secvențe drăguțe. Scrieți programul care pentru un N dat trebuie să-i spună lui Deni care este numărul de secvențe drăguțe. Acest număr poate fi foarte mare, așa că trebuie calculat modulo M.

Ariciul Gălușcă este un arici obișnuit pe timp de zi. Noaptea, însă, el este de fapt eroul misterios al orașului Hedgytown – un oraș mai special, deoarece are clădiri atât deasupra solului, cât și sub pamânt, unde gravitația este inversată. Orașul poate fi văzut ca o dreaptă (ce reprezintă solul), cu un șir de clădiri dreptunghiulare lipite deasupra solului, și un șir de clădiri dreptunghiulare lipite dedesubtul solului. Sunt N clădiri peste pământ și M sub pământ. Cele două șiruri încep și se termină la aceleași poziții. Fiecare clădire este caracterizată de trei valori: L, H și E. L reprezintă lățimea clădirii, H reprezintă înălțimea clădirii și E reprezintă efortul necesar pentru a folosi liftul din acea clădire. Se cere să se afle numărul minim de unități de efort pe care trebuie să le depună ariciul Gălușcă pentru a ajunge la destinația sa.

Dorel are o sumă de bani G și are la dispoziție N proiecte numerotate de la 1 la N în care poate să investească bani. Pentru fiecare proiect se cunoaște valoarea a[i] reprezentând câți bani dorește el să investească în proiectul i. Schema de investiție a lui Dorel funcționează în felul următor: el analizează proiectele pe rând, iar când se află la un proiect i, dacă are suficienți bani (adică dacă suma de bani de care dispune este mai mare sau egală decât a[i]), atunci el va investi bani în acel proiect (iar din suma de bani de care dispune se scade a[i]). Altfel, el nu va investi niciun ban și va analiza următorul proiect. Să se afle care este suma maximă de bani cu care poate să rămână Dorel după ce își reordonează strategic proiectele și aplică algoritmul său.

Cu ajutorul tău, Badinho a primit subvenția de la stat, iar construcția rutei a fost finalizată în timp record. Datorită succesului, acesta a decis sa își deschidă o nouă afacere în Ciudad de México. Pe plaiurile deținute de primăria orașului crește o specie rară de cactus, care la maturitate va da roade fructe pitahaya, cunoscute și sub denumirea de “dragon fruits”.
Câte planuri de recoltare în care se survolează un număr minim de cactuși există? Deoarece acest număr poate fi foarte mare, se cere doar valoarea sa modulo 1.000.000.007.

Dorel are o expresie aritmetică reprezentată ca un șir de caractere de lungime N, ce conține ca operanzi cifre nenule, iar ca operatori aritmetici adunarea și înmulțirea, operatori reprezentați prin + și *. Asupra expresiei aritmetice se pot efectua cel mult K operații de interschimbare între doi operatori. De exemplu, pentru expresia 2*3+5+7+1, a cărei valoare este 19, dacă efectuăm o operație de interschimbare între primul și cel de-al treilea operator obținem expresia 2+3+5*7+1, a cărei valoare este 41. Să se afle valoarea maximă a expresiei după efectuarea a cel mult K operații de interschimbare între doi operatori.

Aflându-se la moșia lui Pascalopol, Otilia este fascinată de vasta întindere de pământ pe care bărbatul o deține. Cum Pascalopol este un om darnic și îi face toate poftele Otiliei, încă de când era mică, acesta îi dăruiește tinerei o bucată de pământ de dimensiune N*M împărțită în parcele de dimensiune 1*1, dispuse pe N linii și M coloane (numerotate de la 1 la N, respectiv de la 1 la M). Pentru că Felix este gelos pe Pascalopol și nu suportă ca Otilia să-i ofere atât de multă atenție, tânărul i-a pus următoarea întrebare moșierului, vrând prin aceasta să-i arate că el este net superior din punct de vedere informatic:

“- Dacă eu plec din parcela (1,1), iar calul meu poate face un salt cu orice lungime între 1 și K la sud (linia crește) sau la est (coloana crește), în câte moduri pot ajunge în parcela (L,C), ținând cont că nu pot păși pe o parcelă care conține o groapă.”. Pentru că numărul poate fi foarte mare, Felix se mulțumește doar cu restul acestuia la împărțirea cu 1.000.000.007.Cum Pascalopol nu le are cu calculatoarele, iar aceasta este clar o problemă de Informatică, moșierul vă cere ajutorul și vă va oferi în schimb 100 de puncte.

Pe un câmp asemănător cu o tablă de şah cu M linii şi N coloane, o ţurcană se află în pătrăţelul de coordonate (1,1) aflat în colţul din stânga-sus al tablei şi vrea să ajungă în pătrăţelul de coordonate (M,N) aflat în colţul din dreapta-jos al tablei. Ea poate efectua sărituri de lungime cel mult P la dreapta, de lungime cel mult Q în jos, de lungime cel mult R pe diagonală spre dreapta-jos, precum şi săritura calului, adică două pătrăţele la dreapta şi unul în jos sau două în jos şi unul la dreapta. Orice săritură trebuie să schimbe poziţia ţurcanei. Se dă un număr întreg C.
- Dacă C=1, să se determine numărul minim de sărituri necesare pentru a ajunge în pătrăţelul de coordonate (M,N).
- Dacă C=2, să se determine numărul de moduri în care poate să ajungă în pătrăţelul de coordonate (M,N), nu neapărat cu număr minim de sărituri.

Se dă o matrice de mărime N pe N care conține litere ale alfabetului englez. Definim un drum dreapta-jos ca fiind un șir de celule ale matricei care începe cu celula (1, 1), se termină cu celula (N, N), iar pentru fiecare celulă (x, y) din drum (exceptând ultima), succesoarea sa este fie (x+1, y), fie (x, y+1). Spunem că șirul de caractere generat de un drum în matrice este șirul obținut prin concatenarea valorilor celulelor drumului în ordine.

Să se găsească 2 drumuri dreapta-jos care nu se intersectează (decât în celulele (1, 1) și (N, N)) pentru care coeficientul de similaritate este maxim. Coeficientul de similaritate a 2 drumuri reprezintă numărul de poziții i pentru care a[i] = b[i], 0 ≤ i < lungime(a), lungime(b), unde a și b sunt șirurile generate de cele 2 drumuri.

Fie numerele întregi N, M și T. Calculați numărul de moduri de a construi o matrice cu N linii și M coloane folosind valori întregi aflate în intervalul închis [0, T], astfel încât fiecare linie și fiecare coloană a matricei să aibă elementele în progresie aritmetică cu rație strict pozitivă. Progresiile se consideră pentru secvența elementelor de pe linii ca fiind de la stânga la dreapta, iar pentru coloane ca fiind de sus în jos. De asemenea, fiecare linie și fiecare coloană poate avea o rație proprie, distinctă de celelalte, iar rațiile asociate liniilor și coloanelor trebuie să fie crescătoare de sus în jos, respectiv de la stânga la dreapta. Deoarece acest număr poate fi foarte mare, el se va afișa modulo 1.000.000.009.

RAU-Gigel se pregătește pentru admiterea la facultate. Curios din fire, el împrumută niște cursuri de la un prieten student, de unde află despre limbajele formale, gramatici, automate finite, expresii regulate și multe alte lucruri interesante. Găsește acolo și o problemă:

Se consideră un alfabet X format din N simboluri (diferite două câte două). Pe mulțimea X este definită o relație de ordine totală (să o numim lexicografică) astfel: orice două elemente a și b alegem din X (a diferit de b), avem fie a<b, fie b<a. Câte cuvinte se pot forma cu simboluri din alfabetul X astfel încât simbolurile prezente în cuvânt să fie în ordine strict crescătoare (de la stânga spre dreapta) și să nu existe în cuvânt două simboluri consecutive lexicografic?