Lista de probleme 6

Se dă un șir format din N numere naturale. Pentru fiecare valoare distinctă dintr-o subsecvență cuprinsă între doi indici st si dr considerăm distanța dintre indicii primei și ultimei apariții ale acesteia în cadrul subsecvenței. Dându-se M subsecvențe de forma [st,dr], se cere să se calculeze suma distanțelor corespunzătoare tuturor valorilor distincte din subsecvență.

O matrice pătratică de dimensiuni N x N cu liniile și coloanele indexate de la 1 la N se numește matrice șmecheră de Calafat dacă pe fiecare linie și fiecare coloană există exact două valori de 1, restul elementelor fiind 0.

Având două matrice șmechere de Calafat notate cu A și B, se cere ca prin interschimbări de linii și coloane să se transforme matricea B în matricea A.

Se consideră o matrice cu un număr infinit de linii și coloane indexate începând cu 0.
Pe prima linie matricea conține șirul numerelor naturale (0, 1, 2, 3 …).
Pe fiecare linie începând cu linia a doua pe poziția j matricea conține suma xor a elementelor situate pe linia anterioara de la poziția 0 până la poziția j.

Se cere să se răspundă la q întrebări de forma “Pentru i și j date, să se determine numărul situat pe linia i coloana j a matricei”. Pentru a genera cele q întrebări vor fi cunoscute următoarele valori: \( i_1, j_1, a, b, m \).
\( i_1, j_1\) reprezintă valorile pentru prima întrebare. Următoarele întrebări \( i_k, j_k \) vor fi generate una din alta folosind următoarea regulă:

\( {i}_{k} = \left (a* {i}_{k-1} +b \right) \text{ mod } m \)
\( {j}_{k} = \left (a* {j}_{k-1} +b \right) \text{ mod } m \)

După o zi productivă de făcut curățenie, Henry și Hetty au ieșit în oraș la un restaurant de sushi. În acest restaurant există N mese unite între ele prin N-1 benzi rulante cu dublu sens, astfel încât oricare două mese sunt conectate direct sau indirect prin benzi rulante. Pentru fiecare masă i, 1 ≤ i ≤ N, cunoaștem atât numărul K[i] de mese cu care este conectată direct, cât și lista ordonată de mese vecine acesteia: V[i,1], V[i,2] … V[i,K[i]].

Benzile rulante au rolul de a transporta preparatele la clienți. Acestea urmează un traseu unic, definit după următoarea regulă: pentru orice masă i, un preparat aflat la masa i care tocmai a venit dinspre masa V[i,j], va pleca de la masa i spre masa:

• V[i,j+1], dacă 1 ≤ j < K[i]
• V[i,1], dacă j = K[i].

În plus, dacă un preparat nou este trimis de la masa 1 spre masa V[1,1], știm că acesta va ajunge la masa i pentru prima oară venind dinspre masa V[i,1], pentru orice i, 1 ≤ i ≤ N.

Henry și Hetty au intrat în restaurant la momentul de timp 0. Ei știu că pe parcursul vizitei lor pe benzile rulante vor fi așezate M preparate. Pentru fiecare din cele M preparate ei cunosc tripletul (x, y, t), semnificând faptul că la momentul de timp t preparatul va fi așezat pe bandă în dreptul mesei x pentru a pleca spre spre masa V[x,y]. Ei mai știu și că timpul necesar unui preparat de a parcurge distanța dintre două mese vecine este de o unitate. Cei doi se vor așeza la o masă și vor lua de pe bandă toate preparatele care trec prin dreptul mesei respective. Henry și Hetty se întreabă: pentru fiecare masă i, care este timpul minim după care culeg toate cele M preparate ce vor fi puse pe bandă?

Se dă un arbore (graf conex aciclic) cu N noduri. Vrem să eliminăm noduri (împreună cu muchiile adiacente) din arborele dat, astfel încât numărul de componente conexe ale grafului rămas să fie maxim. Aflați care este numărul maxim de componente conexe pe care le putem obține și câte submulțimi distincte de noduri se pot elimina din arbore astfel încât să rămână la final acest număr maxim de componente conexe.

După calificarea la campionatul european de fotbal din Franța, având în vizor N jucători din care trebuie să convoace câțiva în echipa națională, selecționerul României a apelat la niște metode mai puțin ortodoxe. Acesta a mers la vrăjitoarele renumite din Craiova pentru a-l ajuta să găsească formula câștigătoare pentru meciul de deschidere cu Franța. Vrăjitoarele, după descântece îndelungate, au ajuns la concluzia că lotul de jucători trebuie sa aibă valoarea exact X și coeficientul de aroganță cât mai mic. Valoarea unui lot de jucători e definită ca suma valorilor jucătorilor ce intră în componența lotului. Coeficientul de aroganță al unui lot de jucători e definit ca diferența dintre valoarea maximă a unui jucător din lot și valoarea minimă a unui jucător din lot. Se mai știe că valoarea lotului nu poate depăși o valoare cunoscută Vmax. Un lot de jucători e definit ca o submulțime nevidă de jucători aleși dintre cei N. Atenție, un lot poate fi format și dintr-un singur jucător.

Se dă numărul N de jucători, numărul Vmax definit mai sus și valoarea fiecărui jucător. Selecționerul României a găsit formula câștigătoare și e curios dacă puteți și voi. Fiindcă nu are încredere totală în vrăjitoare, acesta vă cere să aflați pentru fiecare valoare X din intervalul [1,Vmax] coeficientul de aroganță minim posibil pentru care există cel puțin un lot dintre cei N jucători cu valoare exact X. Dacă nu se poate obține nici un lot de valoare exact X, se consideră ca răspuns -1.