Lista de probleme 3

#2000 Sir9

Corneluș a învățat să numere. El pornește întotdeauna de la 1, numără din 1 în 1, nu greșește niciodată numărul următor, însă ezită uneori și atunci spune numărul curent de mai multe ori. Sora lui, Corina, îl urmărește și face tot felul de calcule asupra modurilor în care numără fratele ei. Astfel, ea urmărește până la cât numără (U), câte numere spune în total (N) și, pentru a aprecia cât de ezitant este, numărul maxim de repetări (R) ale unei valori. De exemplu, el poate număra până la 8 astfel: 1 2 3 3 4 5 6 7 7 7 7 8 8. În acest caz, numără până la 8 (U=8), spune 13 numere (N=13) și ezită cel mai mult la 7, spunându‑l de 4 ori (R=4).

Cerințe

1) Cunoscând numărul total de numere N și ultimul număr spus U, trebuie să calculați câte șiruri diferite au exact N numere și se termină cu numărul U.
2) Cunoscând numărul total de numere N și numărul maxim de repetări R ale unei valori, trebuie să calculați câte șiruri diferite au exact N numere și fiecare valoare se repetă de cel mult R ori.
Deoarece numărul de șiruri poate fi foarte mare, calculați restul împărțirii acestui număr la 20173333.

#1998 Rover

NASA plănuiește o nouă misiune Rover pe Marte în anul 2020. Principalul obiectiv al acestei misiuni este de a determina, cu ajutorul unui nou Rover, dacă a existat în trecut viață pe Marte. Până când va fi lansată misiunea, Roverul este supus la tot felul de teste în laboratoarele NASA. Într-unul din teste, Roverul trebuie să parcurgă o suprafață de forma unui caroiaj cu N linii și N coloane. Acesta pornește din zona de coordonate (1,1) și trebuie să ajungă în zona de coordonate (N,N), la fiecare pas putându-se deplasa din zona în care se află într-una din zonele învecinate la nord, sud, est sau vest. Pentru fiecare zonă de coordonate (i,j) se cunoaște A[i,j], stabilitatea terenului din acea zonă. Știind că Roverul are o greutate G, o zonă cu stabilitatea terenului cel puțin egală cu G se consideră o zonă sigură pentru deplasarea Roverului, iar o zonă cu stabilitatea terenului mai mică decât G se consideră o zonă periculoasă pentru Rover.

1. Determinați numărul minim posibil de zone periculoase pe care le traversează Roverul pentru a ajunge din zona (1,1) în zona (N,N).
2. Determinați greutatea maximă pe care o poate avea un Rover care să ajungă din zona (1,1) în zona (N,N), fără a traversa nicio zonă periculoasă pentru el.

#1999 Caps

Miruna a descoperit un nou joc. Ea dispune de litere mari și mici ale alfabetului englez și construiește succesiv șiruri de litere din ce în ce mai lungi. Ea definește operația CAPS a unei litere, ca fiind transformarea literei respective din literă mare în literă mică sau invers, din litera mică în literă mare. Pentru fiecare șir S, Miruna asociază un nou șir Sc, numit șir CAPS, care se obține aplicând operația CAPS asupra tuturor literelor din șirul S. Miruna a inventat o altă operație pentru un șir de litere S, numită NEXT, prin care obține un nou șir SN care are structura SScScS (este format în ordine de la stânga la dreapta din literele lui S, apoi de două ori succesiv literele șirului Sc, iar apoi urmează din nou literele șirului S). De exemplu, șirului S="Ham" îi corespunde șirul CAPS Sc="hAM" și dacă se aplică și operația NEXT asupra șirului S, obține șirul Sn="HamhAMhAMHam". Inițial, Miruna construiește un șir S de K litere. Apoi, ea construiește un nou șir obținut prin aplicarea operației NEXT asupra șirului S. Miruna dorește să obțină succesiv șiruri de litere din ce în ce mai lungi aplicând operația NEXT asupra șirului construit în etapa precedentă.

Astfel, pentru K=3 și S="Ham", Miruna va construi șirurile "HamhAMhAMHam", "HamhAMhAMHamhAMHamHamhAMhAMHamHamhAMHamhAMhAMHam" și așa mai departe. Miruna continuă procedeul de construire până când obține un șir final suficient de lung.

Miruna vă roagă să răspundeți la Q întrebări de tipul:

„Dacă se dă un număr natural N, ce literă este în șirul final pe poziția N și de câte ori a apărut această literă în șirul final, de la începutul șirului final până la poziția N inclusiv?”.

OJI 2017, Clasa a X-a