Lista de probleme 177

Vlad a inventat un nou joc. Jocul conţine N standuri aşezate în linie dreaptă. Fiecare stand are o etichetă pe care este scris un număr natural. Eticheta este considerată corectă dacă numărul îndeplineşte următoarele două condiţii:

• conține atât cifre pare, cât și cifre impare;
• începe cu cifrele impare așezate în ordine crescătoare, urmate de cifrele pare în ordine descrescătoare.

Pentru jocul său, Vlad a construit robotul reparator care ştie să verifice numere şi să le repare, dacă este necesar. Robotul reparator se deplasează în linie dreaptă și se opreşte pe rând la fiecare dintre cele N standuri. La fiecare stand, robotul verifică eticheta şi dacă nu este corectă, o „repară”. Pentru a repara eticheta, robotul aranjează cifrele impare în ordine crescătoare, apoi, în continuare, aranjează cifrele pare în ordine descrescătoare; dacă eticheta nu conţine nicio cifră impară, cea mai mare cifră pară o înlocuieşte cu 9 ; dacă eticheta nu conţine nicio cifră pară, cea mai mică cifră impară o înlocuieşte cu 0 . Deplasarea de la un stand la altul durează t secunde, verificarea etichetei unui stand durează v secunde, iar repararea acesteia durează r secunde. Cursa robotului se încheie după ce robotul a verificat toate cele N standuri şi a reparat etichetele incorecte.

Scrieţi un program care citeşte numărul N de standuri, timpul (ora h , minutul m , secunda s) când robotul ajunge la primul stand, timpii t , v și r cu semnificaţia din enunţ şi etichetele standurilor și care rezolvă următoarele cerințe:

1. calculează şi afişează timpul (ora, minutul şi secunda) când robotul a încheiat verificarea tuturor celor N standuri şi repararea etichetelor incorecte;
2. repară (unde este necesar) etichetele standurilor şi afişează etichetele celor N standuri la final.

Un număr natural se numeşte “număr xyz” dacă are x cifre, prima cifră a sa este egală cu y şi următoarele cifre sunt egale cu z.

Scrieţi un program care să determine “numărul xyz” pentru x y z numere naturale date.

Fiind dat un număr natural, efectuând suma pătratelor cifrelor numărului dat, apoi repetând însumarea pătratelor cifrelor pentru numerele obţinute ca rezultat, la un moment dat se obţine una dintre valorile 1 sau 4.

Dat un set de numere naturale, să se determine pentru fiecare dintre ele, numărul de repetări ale calculului sumei pătratelor cifrelor până la obţinerea rezultatului 1 sau 4.

Cristina şi Alina sunt eleve în clasa a V-a şi sunt foarte bune prietene. Le place ca în pauze să se provoace reciproc cu câte o problemă. De data aceasta, e rândul Cristinei să propună o problemă Alinei. Ea îi cere ca dintr-un set de mai multe numere naturale să le găsească pe cele centrale. Bineînţeles că mai întâi îi explică prietenei sale ce este un număr central: un număr care are proprietatea ca, după eliminarea primei şi a ultimei cifre, se obţine un nou număr care conţine numai cifre egale între ele. De exemplu, numărul 67771 este număr central pentru că, eliminând prima şi ultima cifră, se obţine numărul 777 care are toate cifrele egale între ele. Alina, care între timp a învăţat să programeze, intră imediat în jocul Cristinei, ştiind că va afla imediat rezultatul corect la problema propusă de prietena ei.

Având la dispoziţie un set de numere pe care le primeşte pentru verificare, Alina trebuie să spună câte dintre acestea sunt numere centrale.

În oraşul Olimpidia, toate băncile au hotărât să adopte o convenţie în ceea ce priveşte identificarea clienţilor săi, astfel încât fiecare cont deschis de un client să aibă asociat un cod format din exact 6 cifre:

• prima cifră (cea mai din stânga cifră a codului) va reprezenta numărul băncii (acest lucru fiind posibil deoarece în oraş nu sunt mai mult de 9 bănci, acestea fiind numerotate începând de la 1);
• a doua cifră va reprezenta genul persoanei (1 pentru genul masculin şi 2 pentru genul feminin);
• ultimele 4 cifre vor reprezenta suma aflată în contul persoanei în momentul în care se aplică stabilita convenţie.

Cunoscând numărul total de conturi deschise şi codurile corespunzătoare acestora să se determine suma maximă pe care o are o persoană de gen masculin într-un cont aflat la banca X.

Moș Crăciun are un seif în care ține miliardele de cadouri pregătite pentru copiii din lumea întreagă. Pentru a deschide seiful el trebuie să tasteze codul secret pe care doar el îl știe. Pentru o mai mare siguranță el schimbă codul în fiecare an. Codul este format din exact 4 cifre. Pentru a crea codul nou el crește cu 1 fiecare cifră din codul vechi și schimbă ultimele două cifre între ele. Dacă una dintre cifre este 9 și trebuie incrementată ea nu se modifică.

Un grup de copii participă la un Bal Mascat. Participanții nu pot să-și aleagă singuri costumul. Organizatorii au pregătit exact atâtea costume câți copii sunt. Au ambalat costumele în cutii numerotate și le-au așezat într-o cameră. Copiii intră în camera cu costume și își aleg câte o cutie (la întâmplare). Fiind puși pe glume, organizatorii au scos încălțămintea din anumite cutii, după regula: cutia cu numărul p ramâne fără încălțări, apoi cutia cu numărul 2*p, apoi cutia cu numărul 3*p și așa mai departe până la terminarea cutiilor. Dacă ultima cutie a rămas cu tot costumul, atunci organizatorii scot încălțămintea și din ea. După ce primesc cutiile cu costume, copiii constată că nu se pot deschide decât cu ajutorul unui cod (același la toate cutiile). Organizatorii le dau indicii despre cum să afle codul: se calculează numărul de cutii care au rămas fără încălțăminte, se află ultima cifră din acest număr (notată cu c). Apoi se formează un cod intermediar cu exact 2*p cifre, astfel: dacă c are o valoare diferită de 9, atunci prima cifră (pornind de la stânga numărului) are valoarea (c+1). Dacă c are valoarea 9 atunci prima cifră este (c-1). A doua cifră are valoarea c. A treia cifră este egală cu prima, cifra a patra urmând să fie egală cu a doua și tot așa până se află toate cele 2*p cifre. La final, se taie ultima cifră și ajungem la codul corect cu care se deschid cutiile.
Scrieţi un program care să îi ajute pe copii să afle codul cu care se deschid cutiile.

Elena și Maria au primit cadou un joc. Dintr-o cutie ce conține mai multe numere, fiecare extrage pe rand câte un număr și trebuie să descopere anumite condiții îndeplinite de aceste numere. Ele vor să determine câte numere alternante au fost extrase. Un număr este alternant dacă are număr impar de cifre și dacă orice cifră a numărului, cu excepția primei și a ultimei cifre se învecinează fie cu două cifre mai mari decât ea, fie cu două cifre mai mici decât ea. Cunoscând numărul n de numere, precum şi cele n numere naturale extrase din cutie determinați câte dintre acestea au fost alternante.

La ora de educație tehnologică a clasei a V-a profesorul Forus, pasionat de matematică, a adus pentru fiecare dintre cei N elevi câte un carton pe care este scris câte un număr natural nenul. Fiecare elev poate folosi cartonul așa cum l-a primit sau poate să taie o singură dată cartonul între două cifre și să lipească partea stângă la finalul părții drepte. Elevul NU are voie să facă o tăietură în fața cifrei 0, deci niciunul dintre numerele obținute NU poate să înceapă cu cifra 0. Dintre toate numerele pe care le poate obține, elevul îl alege pe cel care are număr minim de divizori, iar dacă poate obține mai multe astfel de numere, îl alege pe cel mai mic dintre ele. La sfârșitul orei, profesorul strânge cartoanele cu numerele alese, în ordinea distribuirii lor.
Scrieţi un program care citeşte numărul natural N și cele N numere scrise pe cartoanele aduse de profesorul Forus, apoi rezolvă următoarele două cerinţe:
1. determină numărul de cartoane pe care elevii au voie să le taie de oriunde (NU conțin cifre în fața cărora NU au voie să taie);
2. determină, în ordinea strângerii cartoanelor, numerele preluate de către profesorul Forus la finalul orei.

Pentru reprezentarea numerelor s-a decis să nu se mai folosească cifra C. Astfel din șirul numerelor naturale se vor elimina toate numerele care conțin cifra C. Notăm noul șir cu S.

1) Să se determine al N-lea număr din șirul S.
2) Se dau Y și Z, două numere naturale din șirul S. Să se determine numărul de numere naturale eliminate dintre Y și Z.