Lista de probleme 823

Miruna a găsit pe fundul mării o matrice cu n linii şi m coloane având elementele numere naturale. Din motive necunoscute, Mirunel, prietenul misterios al Mirunei, vrea să afle care este latura celei mai mari submatrice pătratice care conţine maxim k numere distincte. Submatricea cu colţul stânga-sus (xs, ys) şi colţul dreapta-jos (xd, yd) este formată din toate elementele din matrice având indicele liniei în intervalul [xs, xd] şi indicele coloanei în intervalul [ys, yd]. Scrieţi un program care să determine latura maximă a unei submatrice care respectă condiţiile lui Mirunel.

Aflându-se la moșia lui Pascalopol, Otilia este fascinată de vasta întindere de pământ pe care bărbatul o deține. Cum Pascalopol este un om darnic și îi face toate poftele Otiliei, încă de când era mică, acesta îi dăruiește tinerei o bucată de pământ de dimensiune $N*M$ împărțită în parcele de dimensiune 1*1, dispuse pe N linii și M coloane (numerotate de la 1 la N, respectiv de la 1 la M). Pentru că Felix este gelos pe Pascalopol și nu suportă ca Otilia să-i ofere atât de multă atenție, tânărul i-a pus următoarea întrebare moșierului, vrând prin aceasta să-i arate că el este net superior din punct de vedere informatic:

“- Dacă eu plec din parcela (1,1), iar calul meu poate face un salt cu orice lungime între 1 și K la sud (linia crește) sau la est (coloana crește), în câte moduri pot ajunge în parcela (L,C), ținând cont că nu pot păși pe o parcelă care conține o groapă.”. Pentru că numărul poate fi foarte mare, Felix se mulțumește doar cu restul acestuia la împărțirea cu 1.000.000.007.Cum Pascalopol nu le are cu calculatoarele, iar aceasta este clar o problemă de Informatică, moșierul vă cere ajutorul și vă va oferi în schimb 100 de puncte.

Dându-se o listă conținând KDA-urilor celor N prieteni ai lui Gigel și mărimea unei echipe k, Gigel dorește să afle care este qE-ul celei mai neechilibrate echipe. Astfel el calculează qE-ul tuturor echipelor posibile (\(\frac{N!}{k!(N-k)!}\) la număr) și apoi alege qE-ul maxim posibil.

Cercetătorii din cadrul proiectului LHC (Large Hadron Collider) de la Geneva au anunțat descoperirea unei noi forme a materiei: flatquarkon. Putem reprezenta masa întregului sistem printr-o matrice cu N linii și M coloane unde mij reprezintă masa quarcului aflat pe linia i și coloana j.
Aplicând un câmp magnetic perpendicular pe planul unui flatquarkon, putem activa energetic unul sau mai mulți quarci, aceștia devenind capabili să participe în reacții nucleare. Dacă doi quarci activi sunt adiacenți (se învecinează pe linie sau pe coloană), atunci vor participa împreună în orice reacție nucleară. Considerăm un flatquarkon aflat într-un mediul lipsit de câmpuri magnetice. Se dă o listă de Q instrucțiuni de două tipuri:
1. Se aplică un câmp magnetic asupra quarkului de pe linia i și coloana j. Dacă quarkul este inactiv, acesta va fi activat de câmpul magnetic. Dacă este deja activ, nu se va întâmpla nimic.
2. Să se afle energia maximă degajată într-o reacție nucleară între două zone active ale flatquarkon-ului. O zonă activă este o porțiune conexă a matricii (toți quarcii incluși sunt adiacenți) ce conține doar quarci activi și are dimensiune maximă (nu se mai poate adăuga niciun alt quark activ fără a încălca proprietatea de conexitate).

Se dau n numere naturale, \( a_{1},a_{2},…,a_{n}\), reprezentând valorile asociate nodurilor unui arbore. Construiţi arborele astfel încât suma valorilor L(u,v) să fie maximă, unde pentru orice două frunze u şi v, cu \(u< v\), ale arborelui, L(u,v) reprezintă suma valorilor \(a_{i}\) asociate nodurilor ce formează lanţul de la u la v.

Emilian este un ilustru doctor în neurochirurgie, ce tocmai și-a deschis o clinică în orașul Sfîantul Genesius. Deoarece este cunoscut în tot orașul ca fiind cel mai bun neurochirurg din țară, mereu există o mulțime de cereri de la pacienții ce doresc să fie programați la o consultație. Pentru că în mod normal este foarte ocupat, el lasă secretariatul clinicii să se ocupe de programări. Din păcate, tot personalul secretariatului este plecat în vacanță fix în perioada cea mai aglomerată a anului și astfel Emilian vă cere ajutorul pentru a-și programa pacienții. Într-o zi el primește cereri de la N pacienți, iar pentru a-i fi mai ușor să-și facă programul, Emilian a permis fiecărui pacient să-i propună doar câte două momente de timp în care să poată fi chemat la consult. Știind că personalul lui Emilian este plecat timp de T zile, iar în fiecare zi Emilian are alți pacienți pe care trebuie să îi programeze, ajutați-l să decidă pentru fiecare zi, dacă poate sau nu să programeze toți pacienții din acea zi.

Premierul Marii Britanii, Rishi Sunak, a decis să reorganizeze structura administrativă a comitatului Oxfordshire. În Oxfordshire sunt prezente N orașe numerotate de la 1 la N, conectate prin M autostrăzi (drumuri unidirecționale ce conectează două orașe). Rishi a hotărât ca toate orașele cu proprietatea că cetățenii tuturor celorlalte orașe pot ajunge în ele prin intermediul autostrăzilor să devină reședințe. Deoarece numărul de orașe și autostrăzi din Oxfordshire este foarte mare, Rishi vă cere ajutorul în rezolvarea a două probleme cheie.
1. Care sunt indicii orașelor reședință din Oxfordshire.
2. Care este distanța minimă de la fiecare oraș până la cea mai apropiată reședință de acel oraș.

Teoria lumii mici spune că între oricare două persoane din lume există un șir surprinzător de scurt de persoane astfel încât între oricare două persoane consecutive din șir există o relație de prietenie. Vom numi un astfel de șir “șir de prietenie”. Lungimea unui șir de prietenie este egală cu numărul de relații de prietenie din şir. Se presupune chiar că între oricare două persoane din lume există un şir de prietenie de lungime maximum 6.
Fie N persoane identificate prin numerele de la 1 la N. Între cele N persoane există exact N-1 relații de prietenie astfel încât între oricare două persoane să existe un șir de prietenie. Distanța socială maximă pentru o persoană p este lungimea maximă a unui şir de prietenie care începe cu persoana p. Cunoscând numărul de persoane N precum și cele N - 1 relații de prietenie, determinaţi pentru fiecare persoană distanţa socială maximă a persoanei respective.

Vasile joacă (din nou!) jocul său preferat cu împuşcături. Personajul său are la brâu N arme, aşezate în N huse speciale, numerotate de la 1 la N. Arma din husa i are puterea pbi (1≤i≤N). În camera armelor a găsit M arme, aşezate pe perete, în M locaţii, numerotate de la 1 la M. Pentru fiecare armă j (1≤j≤M) este cunoscută puterea sa pcj. Vasile poate înlocui arme pe care le are la brâu cu arme aflate pe perete în camera armelor. La o înlocuire el ia arma de pe perete din locaţia j (1≤j≤M) şi o pune la brâu în husa i (1≤i≤N), iar arma din husa i o pune pe perete în locaţia j. Scrieţi un program care să determine suma maximă a puterilor armelor pe care le va avea la brâu Vasile după efectuarea înlocuirilor.

Se dă un graf neorientat. Să se determine un subgraf al său, cu număr cât mai mare de noduri și în care fiecare nod are gradul cel puțin 2.