Lista de probleme 2074

Lui Fibo îi plac numerele care nu se potrivesc perfect. Recent, acesta a descoperit niște numere mai speciale: el numește un număr x ca fiind antidivizorul unui număr natural nenul k, dacă x este cel mai mic număr natural nenul care nu-l divide pe k. Fie F(k) = x, unde x este antidivizorul lui k. Să se calculeze F(1) + F(2) + ... + F(N) pentru T valori ale lui N.

Se consideră șirul S = S[1], S[2], ..., S[N] format din N mulțimi de numere naturale cuprinse între 1 și M. De asemenea, se consideră două șiruri de câte M numere întregi A = A[1], A[2], ..., A[M] și B = B[1], B[2], ..., B[M]. Numim secvență de mulțimi (i, j) (1 ≤ i ≤ j ≤ N) succesiunea de mulțimi S[i], S[i+1], ..., S[j]. Pentru o secvență de mulțimi (i, j) (1 ≤ i ≤ j ≤ N), se determină factorul de succes pe baza șirului A, respectiv factorul de insucces, pe baza șirului B în modul următor:
1) se efectuează reuniunea mulțimilor din secvența de mulțimi (i, j);
2) factorul de succes al secvenței de mulțimi (i, j) este suma valorilor din șirul A situate pe pozițiile date de elementele reuniunii;
3) factorul de insucces al secvenței de mulțimi (i, j) este suma valorilor din șirul B situate pe pozițiile date de elementele reuniunii.
Determinați factorul de succes al unei secvențe câștigătoare.

Notwen a auzit de descoperirile prietenului său de pe Pământ şi a decis să studieze şi el legile gravitaţiei pe planeta sa. Pentru aceasta a conceput un experiment, care utilizează două drepte (o dreaptă verticală şi o dreaptă oblică, înclinată la un unghi oarecare faţă de orizontală) şi un super-măr (care, pentru a simplifica analiza, este considerat punctiform). Cunoscând distanţa x la care se află super-mărul față de dreapta verticală la începutul experimentului:
1. Determinați numărul de ciocniri ale super-mărului cu dreapta verticală.
2. Determinați numărul de ciocniri ale super-mărului cu dreapta înclinată.

Veverițele ALVN și prietenii săi Simon și Theodore au fost afectați de noua criză de ghinde, așa că au plecat de acasă în căutarea hranei. Din fericire, după o perioadă de căutări, au descoperit o grădină cu $N$ rânduri de stejari cu câte $M$ stejari pe fiecare rând. Fiecare stejar are alocată câte o parcelă de formă pătrată și de dimensiuni identice. Se cunosc N, M, coeficienții fiecărui stejar din grădină, k, și valorile x[1], x[2], ... x[k], cu semnificația din enunț.
1. Determinați S, numărul maxim de ghinde pe care le poate consuma grupul lui ALVN, când ei sunt singuri în grădină.
2. Determinați T, numărul total de ghinde consumate de două grupuri de veverițe aflate în grădină.

Gigel a primit o sarcină interesantă: se dă un șir de N numere numere naturale și un număr natural K. Ajutați-l pe Gigel să rezolve următoarele două cerințe.
1) Fie X primul număr din șir. Determinați poziția celui mai mic număr Y care aparține șirului, astfel încât suma celor două numere X și Y să fie divizibilă cu K. Dacă valoarea Y, cu proprietatea precizată, apare de mai multe ori în șir, se ia în considerare poziția cea mai din dreapta. Există cel puțin un astfel de număr Y, care aparține șirului.
2) Determinați numărul minim de elemente care trebuie eliminate din șir astfel încât elementele rămase să poată fi grupate în perechi disjuncte (fiecare element rămas aparține unei singure perechi), cu proprietatea că suma celor două valori din fiecare pereche este divizibilă cu K.

Există N căsuțe (pătrățele), așezate în ordine, de la stânga la dreapta, numerotate de la 1 la N. În interiorul fiecărei căsuțe putem scrie câte un număr natural. Inițial, în fiecare căsuță scriem același număr 0. Executăm, în ordine, Q operații, care pot fi de trei tipuri:

• Primul tip de operație se codifică prin 1 st dr nr și înseamnă că în fiecare căsuță cu indicii între st inclusiv și dr exclusiv ștergem numerele care existau înainte și scriem în locul lor același număr nr.
• Al doilea tip de operație se codifică prin 2 poz și rezultatul operației este numărul aflat în căsuța cu indicele poz.
• Al treilea tip de operație se codifică prin 3 st dr și rezultatul operației este numărul de apariții al valorii celei mai mari din căsuțele cu indicii între st inclusiv și dr exclusiv.

Determinați rezultatele tuturor operațiilor de tip 2 sau 3, în ordinea executării acestora.

Maria inventează mereu câte ceva și îl provoacă la joacă pe fratele ei mai mic Petru. De data aceasta alege N cartonașe, pe care sunt înscrise valorile naturale distincte de la 1 la N (fiecare astfel de număr apare pe câte un singur cartonaș), le amestecă și le așează unul lângă altul într-un șir. Maria formulează lui Petru cerințe de următoarele tipuri:
1) Îți spun un număr poz și trebuie să determini cartonașul numerotat cu cea mai mare valoare r astfel încât primele r cartonașe din șir au înscrisă o valoare strict mai mică decât cea scrisă pe cartonașul numerotat cu poz. Dacă nu există niciun astfel de cartonaș, pentru r se stabilește valoarea 0.
2) Determină toate valorile p cu proprietatea că pe primele p cartonașe se află înscrise toate numerele naturale de la 1 la p.
3) Determină toate valorile p cu proprietatea că pe primele p cartonașe se află înscrise exact p-1 dintre numerele naturale de la 1 la p.

Mihai și Ioana au creat o reprezentare a matricii A cu N linii (numerotate de la 0 la N-1) şi M coloane (numerotate de la 0 la M-1) în care fiecare element A[i][j] este determinat pe baza următoarei formule: A[i][j] = (15 * i + 4 * j + 2025) % K, unde i și j sunt indicii liniei și coloanei, iar K este un număr natural nenul, ales de ei.
1) Determinați numărul de numere speciale care există în matricea A.
2) Determinați numărul elementelor din matricea A care sunt numere aproape speciale, la care Mihai și Ioana ajung în același timp.

Pentru un număr natural N considerăm șirul: 0, 1, 2, …, N.
1) Se dau Q perechi de numere naturale de forma (a,b). Pentru fiecare pereche se cere să se determine numărul de numere prime care află în secvența de numere consecutive: a, a+1, a+2, ..., b.
2) Se dau Q numere naturale p1, p2, …, pQ. Pentru fiecare număr pi se cere să se determine numărul secvențelor a, a+1, a+2, ..., b din șirul 0, 1, ..., N care conțin câte pi numere prime (1 ≤ i ≤ Q).

Se consideră șirul de N cifre nenule a = (a[1], a[2], ..., a[N]). Prin frecvență de apariție a unei cifre în șir înțelegem numărul de apariții ale cifrei în acest șir. Pentru o secvență a[i], a[i+1], ..., a[j] din acest șir (1 ≤ i < j ≤ N) calculăm frecvența fiecărei cifre distincte prezente în secvență și definim *diff*-ul secvenței ca fiind diferența dintre cea mai mare frecvență și cea mai mică frecvență dintre cele calculate.

1) Determinați frecvența maximă de apariție a unei cifre din șirul a.
2) Determinați diff-ul maxim posibil al unei secvențe care începe de la prima poziție din șirul a.
3) Determinați diff-ul maxim al unei secvențe din șirul a.