Lista de probleme 1647

Fie x un număr real subunitar cu cel mult 9 zecimale și N un număr natural. Să se determine fracția ireductibilă \( \frac{a}{b} \) cu proprietățile:

• aproximează cel mai bine numărul real x, adică expresia \( |x-\frac{a}{b}| \) are valoare minimă
• 1 ≤ b ≤ N

Ian este un copil pasionat de muzică, așa că părinții săi i-au cumpărat de ziua lui un pian. Pianul lui Ian este mai special, acesta are N clape. Întrucât pianul nu este nou, clapele se mișcă mai greu, astfel apăsarea celei de-a i-a clape durează t[i] secunde. Deoarece Ian este foarte nerăbdător, s-a hotarât să repare clapele pianului pentru ca apăsarea unei clape să fie cât mai rapidă. Acesta poate selecta două clape vecine i și i+1 ce necesită t[i], respectiv t[i+1] secunde pentru a fi apăsate și le lustruiește. În urma lustruirii, cele două clape vor necesita doar cmmdc(t[i],t[i+1]) secunde pentru apăsarea fiecăreia. Practic, o operație va efectua următoarea transformare asupra clapelor: t[i] = t[i + 1] = cmmdc(t[i], t[i+1]).

• Cerința 1: Ian vrea să facă un riff (adică să apese fiecare clapă o singură dată) și vrea să știe care ar fi durata de timp a unui riff pe pianul lustruit.
• Cerința 2: Pentru că Ian nu are timp de pierdut cu lustruitul, acesta vrea o listă de instrucțiuni de lungime minimă asfel încât dupa efectuarea instrucțiunilor pianul să fie lustruit.

Se dau N numere naturale a[1], a[2], ..., a[N] şi un număr natural nenul M. Să se determine numărul perechilor de indici (i, j), cu i < j, cu proprietatea că numărul a[i]*a[j]+a[i]+a[j] este divizibil cu M.

RAU-Gigel are un șir de puncte, nu neapărat distincte, aflate pe prima bisectoare. Punctele sunt caracterizate prin câte două coordonate (abscisă și ordonată), ambele numere întregi. Când le-a copiat pe caiet, din neatenție, RAU-Gigel a amestecat coordonatele celor N puncte și omis ordonata unuia dintre ele. Care este aceasta, puteți să îl ajutați?

Două echipe, F și R, formate din n jucători fiecare, au participat în cadrul noii ediții ktlon la k probe. După fiecare probă s-au înregistrat în registrul ktlon 2*n valori: primele n reprezintă numărul de puncte câștigate în cadrul probei de jucătorii echipei F și următoarele n reprezintă numărul de puncte câștigate în cadrul probei de jucătorii echipei R. Cunoscând n – numărul de jucători din fiecare echipă, k – numărul de probe și pentru fiecare probă punctajele obținute de cei 2 * n jucători ai celor două echipe, determinați:
1. numărul de probe câștigate de echipa R;
2. numărul de stele obținut de echipa câștigătoare.

Avem la dispoziție n bare metalice cu aceeași grosime, dar lungimi diferite. Putem alege oricare bară și să o tăiem, obținând alte două bare de lungimi mai mici. Ne dorim ca, folosind doar această operație (deci fără să le putem suda), să obținem un număr de bare de anumite lungimi date. Mai exact, dându-se un set de patru numere a, b, c, d, trebuie să decidem dacă putem obține a bare de lungime 1, b bare de lungime 2, c bare de lungime 4 și d bare de lungime 8. Odată aplicată o tăiere de lungime L asupra unei bare, restul poate fi în continuare folosit pentru a tăia alte bare de oricare dintre lungimile dorite. Cunoscând n – numărul de bare metalice și lungimile celor n bare metalice avute la dispoziție, pentru fiecare din seturile de patru numere a b c d date, determinați dacă, pornind de la cele n lungimi date se pot obține barele de lungimile dorite.

Pentru că îi plac cifrele, Skippie, iepurașul norocos, a stabilit cum se obține cifra de control a unui număr: se efectuează suma cifrelor sale, apoi suma cifrelor acestei sume, până când suma obținută este un număr format dintr-o singură cifră. Această ultimă cifră, spune Skippie, poartă numele de cifră de control. Skippie a ascuns în păadure n ouă roșii. Pe fiecare ou a pictat câte un număr natural nenul. Iar acum se întreabă care este suma dintre cel mai mare și cel mai mic număr natural care se pot forma din toate cifrele distincte folosite în scrierea numărului pictat.
1. Pentru fiecare dintre cele n numere pictate de Skippie aflați suma dintre cel mai mare și cel mai mic număr natural care se pot forma din toate cifrele distincte folosite în scrierea numărului pictat.
2. Pentru fiecare dintre cele n numere pictate de Skippie aflați de câte ori apare cifra de control a numărului pictat în scrierea tuturor numerelor naturale mai mici sau egale decât numărul pictat.

Prin concatenarea a două numere naturale A și B se pot obține numerele naturale AB și BA. Scrieți un program care să rezolve următoarele două cerințe:
1. Pentru un număr natural nenul A dat, să se calculeze P1, numărul numerelor naturale distincte X, unde 1 ≤ X ≤ 10 * A, astfel încât X concatenat cu A sau A concatenat cu X este palindrom.
2. Date fiind numărul natural N și un șir de N numere naturale v[1], v[2], …, v[N], să se calculeze P2, numărul de numere palindrom distincte care se pot obține prin concatenarea numerelor din perechile (v[i], v[j]), unde 1 ≤ i ≤ N și 1 ≤ j ≤ N.

Un zid ornamental de formă dreptunghiulară este alcătuit din N rânduri de cărămizi, fiecare rând având câte M cărămizi identice, așezate una lângă alta. Fiecare cărămidă este colorată într-una dintre culorile {0, 1, 2, ..., Cmaxg}. Un pătrat de latură L în acest zid este constituit din cărămizile situate pe L rânduri consecutive și L coloane consecutive. Spunem că un pătrat este colorat uniform dacă el conține același număr de cărămizi din fiecare culoare care apare în pătratul respectiv. Scrieți un program care, cunoscând configurația zidului, determină în acest zid un pătrat de latură maximă, colorat uniform.

După șase ani de lucru, Charles a terminat de curățat instalațiile pentru producerea negrului de fum din Copșa Mică. Pentru a se ține departe de mesele de Blackjack, el s-a angajat la CERN, unde va lucra la noul accelerator de particule numit Even Larger Hadron Collider (ELHC). ELHC are forma unui tunel circular cu o circumferință de P kilometri, P fiind un număr prim. De-a lungul tunelului sunt plasați P senzori numerotați de la 0 la P - 1, distanța dintre doi senzori consecutivi fiind de exact 1 kilometru.

Un experiment efectuat în ELHC constă în studierea unei particule de tip G, 1 ≤ G < P. Dacă această particulă este ridicată la nivelul de energie k și este lansată din dreptul senzorului 0 în direcția senzorului 1, ea va parcurge exact Gk kilometri prin tunel și apoi se va dezintegra, declanșând în acel moment senzorul s în dreptul căruia are loc dezintegrarea particulei. Se consideră că experimentul are date complete dacă, lansând P - 1 particule de tip G ridicate la toate nivelurile de energie k de la 1 la P - 1, este posibil să declanșăm toți senzorii s numerotați cu valori între 1 și P - 1, adică toți senzorii din tunel mai puțin senzorul 0.

Dându-se T perechi de numere G și P, determinați dacă experimentul pentru studierea particulei de tip G într-un tunel de circumferință P produce date complete.