Lista de probleme

#1923 egale

Afişaţi, în ordine crescătoare, toate numerele dintr-un anumit interval care au toate cifrele egale.

Pregătire clasa a IX-a, C.N. "Frații Buzești" - Craiova

Se citește un număr natural n cu cel mult 16 cifre. Fie q numărul de cifre ale numărului n. Prin eliminarea unei singure cifre din scrierea numărului n se obține un șir de q numere. Să se afișeze în ordine crescătoare, numerele nenule din acest șir care sunt prime cu numărul n.

Se dă un vector cu n elemente, numere naturale. Afișați în ordine crescătoare elementele iar după fiecare element, inserați indicele poziției pe care acesta se afla înainte ca vectorul să fie sortat.

Georgiana a mai primit o problemă de la doamna profesor. Se dau n triplete de forma m, b, r, iar pentru fiecare triplet Georgiana trebuie să afle care este cel mai mic număr natural format cu m cifre, care împărţit la b dă restul r.

#1912 Becuri

Chris vă propune un joc cu becuri.

  • în joc sunt n becuri
  • inițial toate cele n becuri au culoarea albastru
  • fiecare bec poate avea doar două culori: roșu sau albastru
  • se efectuează n parcurgeri, pentru k de la 1 la n. La parcurgerea de rang k, se schimbă culoarea fiecărui bec situat pe poziţii având indicii multipli de k, din roşu în albastru şi invers.

Știind numărul n de becuri, să se afișeze numărul de becuri care au culoarea roșie după terminarea jocului.

Moisil++, 2016

#1908 Fractii_Ired C++

Dându-se şirul de fracţii 1/N, 2/N, 3/N, ...,N/N, să se afle câte fracţii sunt ireductibile.

Dându-se un numerele n și k, să se afle cel mai mic număr de n cifre, cu restul împărţirii la 9 egal cu k.

Agentul 007 a uitat cifrul seifului în care păstra documentele, însă ştie cum poate fi aflat. Are nişte cartonaşe pe care sunt notate n numere naturale distincte din intervalul [ a,b ]. Mai are o listă cu m numere naturale distincte care reprezintă anumite poziţii din şirul ordonat crescător al numerelor de pe cartonaşe. Însumând numerele aflate pe poziţiile din listă se determină un număr natural care reprezintă cifrul seifului. Cum Agentul 007 nu a mai programat din liceu, vă roagă pe voi să găsiţi cifrul în schimbul a 100 de … puncte.

Dan și Paul și-au propus să învețe să joace snooker și la sfârșitul jocului cei doi prieteni studiază tabela de scor care arată în felul următor: apare valoarea 1 dacă un jucător a introdus o bilă roșie, o valoare cuprinsă între 1 și 6 dacă introduce corect o bilă colorată și valoarea -5 dacă jucătorul comite fault. Când un jucător ratează pe tabelă apare valoarea 0.

După joc, cei 2 prieteni vor să afle răspunsul la următoarele întrebări:
care dintre ei a câștigat partida și care este numărul maxim de bile introduse consecutive de un jucător fără a comite fault?

Andrei a făcut într-o zi un șir de N numere. În a doua zi a lăsat în acel șir doar numerele prime. În a treia zi a calculat pentru fiecare număr rămas în șir suma cifrelor, iar apoi a adunat toate aceste sume în S. După ce a obținut numărul S a început să adune toate cifrele din care este format S și tot așa până când ajunge la o cifră terminală C.

#1306 SumChef

Calculaţi suma cuburilor cifrelor tuturor numerelor dintr-un şir.

Olimpiada Cunoaşterii

Dându-se numărul de laturi ale unui poligon convex, calculați:

  1. Numărul de diagonale
  2. Suma măsurilor unghiurilor poligonului convex

Primele 2017 numere naturale, având fiecare exact 2017 divizori naturali, s-au gândit la început de nou an să-şi pună divizorii împreună, în ordine crescătoare, astfel se vor amesteca şi vor mai socializa şi ei în mod democratic. Marele conducător KWI s-a gândit să bage zâzanie între ei şi a început să le pună n întrebări de genul “-Domnule x, faci cumva parte din societatea secretă a divizorilor celor 2017 numere cu câte 2017 divizori?”. Să sperăm că până în anul 2017 va primi toate răspunsurile şi toată lumea va fi fericită.

#1894 Floarea

O floare abia plantată se notează cu 0. În fiecare lună, aceasta crește cu un rând de petale, separate prin spațiu, notate cu cifra vârstei sale în acea lună.
Se dă un număr natural n. Construiți și afișați o matrice ce reprezinta floarea dupa n luni.

Moş Crăciun s-a dus la Polul Nord Shopping City să cumpere n cadouri pentru copiii din întreaga lume. Fiecare cadou avea un cod de bare pentru identificarea produsului, corespunzător unui număr format din nouă cifre, prima cifră fiind nenulă. La plecare şi-a amintit că-i promisese unui copil isteţ un cadou special, care să fie diferit de toate celelalte. Moş Crăciun vă roagă să găsiţi un cadou care să aibă codul de bare diferit de toate celelalte.

Se dă un număr natural n. Dacă numărul este norocos afișați cele n numere consecutive care adunate dau pătratul acestuia.

#1883 UEMM

Se dă un șir cu n elemente, numere naturale. Să se afișeze, pentru fiecare element din șir, valoarea din șir aflată după acesta și mai mare decât acesta. Dacă o asemenea valoare nu există, se va afișa -1.

#1882 calcul3

Se consideră o expresie aritmetică fără paranteze, în care operanzii sunt cifre, iar operatorii sunt + sau . Să se evalueze expresia dată.

Variante bacalaureat 2007

#1881 platou4

Se consideră un şir s format din numere întregi. Să se determine numărul de termeni ai şirului obţinut prin eliminarea din cele două extremităţi ale lui s a unui număr minim de termeni, astfel încât şirul rezultat să înceapă şi să se termine cu câte un număr par.

Variante bacalaureat 2007

#1880 platou3

Se consideră un şir format din n numere întregi. Șirul conține cel puțin un număr pozitiv. Să se determine lungimea maximă a unei secvenţe din şir care are proprietatea că este formată doar din valori strict pozitive.

Variante bacalaureat 2007

#1879 platou2

Se consideră un şir format din n numere naturale nenule. Să se determine lungimea maximă a unei secvenţe strict crescătoare din şirul dat.

Variante bacalaureat 2007

#1878 nrasoc

Se consideră un șir ai cărui termeni sunt numere naturale nenule, de o singură cifră. Numim număr asociat al acestui șir un număr natural format cu termenii șirului, în ordinea în care aceștia apar în șir.
Se cere determinarea unui șir obținut prin eliminarea a doi termeni situați pe poziții consecutive în șirului dat, astfel încât numărul asociat șirului obținut să fie maxim.

Simulare Bacalaureat 2014

#1875 platou1

Se consideră un șir de cifre. Să se determine lungimea maximală a unei secvențe din șir formată din cifre egale.

Se dă un şir de numere naturale nenule. Să se afle numărul secvenţelor din şir care au produsul elementelor egal cu 2k, unde k este un număr dat.

Să se determine cel mai mic număr natural care poate fi descompus ca sumă de două sau mai multe numere naturale consecutive în exact N moduri şi care sunt acele moduri.

Concursul de Informatica Spiru Hare, Tg. Jiu, ed. I

Anul acesta unele magazine din România s-au hotărât să organizeze BlackFriday joia, altele de luni până joi, iar altele sâmbătă şi duminică. Ele au afişat n preţuri înainte de ieftinire şi cele n preţuri după ieftinire. Aflaţi ce produs s-a ieftinit cu cel mai mare procent.

Pentru un număr natural m numim rest mare cel mai mare rest pe care îl obţinem împărţind numărul m la toate numerele naturale de la 1 la m. Fiind dat un număr natural n, se determină pentru fiecare număr de la 1 la n numărul rest mare, iar aceste resturi mari se însumează. Se cere aflarea acestei sume.

#1840 PMax C++

Se dau n numere naturale, fie acestea A1, A2,..., An și Xi cel mai mic număr care are aceiași factori primi in descompunere ca şi Ai, unde 1≤i≤n. Aflați produsul X1 * X2 *...* Xn.

#1835 twoop

Se dă un șir de N elemente, numere întregi. Pe acest șir se aplică operații de două tipuri :

  • Tip 1: st dr val – elementele de pe pozițiile din intervalul [st, dr] cresc cu valoarea val
  • Tip 2: poz – să se afișeze valoarea elementului de pe poziția poz .
    Dându-se șirul de elemente și operațiile, aplicați operațiile pe șir.

Concursul de Informatica Spiru Hare, Tg. Jiu, ed. I

Se citeste o cifra nenula n. Sa se afiseze figura, ca in exemplu.

Se dau n numere naturale nenule. Ordonați descrescător cele n numere după numărul lor de divizori.

#1823 PPrim

Un număr natural nenul se numeste “p-prim” dacă el se descompune în p moduri ca produs de doi factori primi între ei. De exemplu, numărul 60 este 4-prim deoarece 60 se decompune în 4 moduri ca produs de doi factori primi între ei 60=1*60=4*15=5*12=20*3, iar numărul 7 este 1-prim. Pentru un interval închis [a,b] să se determine câte numere p-prime aparţin intervalului. De exemplu intervalul [7, 20] conţine numerele 2-prime: 10,12, 14,18,20.

Concursul EMPOWERSOFT, 2016

#1819 Copaci

Pe un teren dreptunghiular de dimensiuni m şi n, din loc în loc sunt plantaţi copaci. Pentru fiecare copac se cunosc rândul şi coloana pe care este plantat, între ei fiind spaţii neplantate. Doi copaci se consideră consecutivi dacă mergând pe coloane, numai de la nord către sud, între ei sunt doar spaţii neplantate.

Să se determine cea mai mare distanţă dintre doi copaci consecutivi şi toate perechile de copaci între care există această distanţă.

Concursul EMPOWERSOFT, 2016

#1818 Brain

Programel a fost invitat să dea o proba de angajare la cea mai mare companie de jocuri din Catania – Brain Games. Sarcina pe ca a primit-o a fost următoarea:

Scrie un program care identifică mulţimea numerelor bine aşezate dintr-un şir, apoi identifică cel mai mare număr care se poate obţine ca sumă de numere distincte din mulţimea determinată şi cel mai mic număr natural nenul, care nu se poate obţine ca sumă de numere distincte din mulţimea determinată. Un număr bine aşezat este un număr a cărui valoare coincide cu indicele poziţiei sale în ordinea citirii.

Concursul EMPOWERSOFT, 2016

#1820 Binar

Ionel a învăţat recent la Informatică reprezentarea numerelor în baza 2. Pentru a-și aprofunda cunoştinţele, profesorul său a inventat următoarea problemă: Dintr-un fişier text se citeşte un şir de N valori de 1, 0 şi -1. Valoarea -1 are semnificaţia de terminare a unui număr, iar valorile de 0 şi 1 reprezintă cifrele în baza 2 a câte unui număr natural. Să se determine primele NR valori codificate, cu numerele de apariţii cât mai mari.

Concursul EMPOWERSOFT, 2016

#1815 Unghi

La geometrie, domnul profesor de matematică le-a vorbit elevilor săi despre unghiuri. Pentru a fi sigur că aceștia au înțeles noțiunile predate, le-a dat o listă cu n probleme.

Fiind date numărul de ore în variabila h și numărul de minute în variabila m, să se determine câte grade avea unghiul dintre orarul și minutarul unui ceas clasic, la ora h şi m minute?

Concursul EMPOWERSOFT, 2016

#1047 Patrat2

Cel mai mare observator astronomic din România și din Europa de Est, aflat la Galați, a captat o imagine a boltei cerești, ce surprinde toate stelele vizibile în acel moment. Imaginea este în format digital, codificată sub forma unui tablou bidimensional, cu N linii și M coloane. Fiecare element al tabloului conține un număr natural care reprezintă intensitatea luminoasă a unei stele.

Numim stea strălucitoare o stea care are intensitatea luminoasă mai mare decât a tuturor stelelor învecinate direct cu ea, pe orizontală, verticală sau diagonală. Numim constelație pătrată patru stele strălucitoare care se află plasate în colțurile unui pătrat cu laturile paralele cu marginile tabloului. Lungimea laturii unei constelații pătrate este egală cu numărul de stele din care este formată latura. O stea strălucitoare poate face parte din mai multe constelații pătrate.

Scrieți un program care să determine:

a) Numărul stelelor strălucitoare;
b) Numărul constelațiilor pătrate;
c) Lungimea laturii pătratului care reprezintă cea mai mare constelație pătrată.

OJI 2014, Clasa a VII-a

#1804 ursulet

Ursuleţul Grizzlyuță are de parcurs zone de diferite altitudini, care sunt numere întregi. Atunci când trece dintr-o zonă în alta oboseala ursuleţului creşte cu o valoare egală cu altitudinea zonei în care trece. Să se determine zonele în care acesta acumulează oboseală maximă.

Concursul de Informatica "Spiru Haret" Targu Jiu, ed. I

#1803 s2prim C++

Se dă un număr natural n, par, mai mare decat 2. Scrieţi-l pe n ca sumă de 2 numere prime în toate modurile posibile.

#1800 matop

Se dă o matrice pătratică cu N linii şi N coloane care iniţial are toate elementele egale cu 0. Pe această matrice se execută 4 tipuri de operaţii:

1 LIN VAL: toate elementele de pe linia LIN cu valoarea mai mică decât VAL iau valoarea VAL.
2 COL VAL: toate elementele de pe coloana COL cu valoarea mai mică decât VAL iau valoarea VAL.
3 LIN COL: să se afişeze valoarea elementului de pe linia LIN şi coloana COL.
4: să se afişeze suma elementelor de pe diagonala principală.

Afișați rezultatele operațiilor 3 și 4 în ordinea citirii.

Concursul de Informatica "Spiru Haret" Targu Jiu, ed. I

Fie \( X = \overline{X_1 X_2 X_3…X_N} \) un număr natural din N cifre.

Definim secvență în numărul X orice număr format dintr-un grup de cifre situate pe poziții consecutive în X. De exemplu, pentru X=12543644 pot fi secvențe numerele: 5436, 12, 1, 364, 12543644, etc.

Definim secvență-maxim în șirul \(X\) o secvență \( \overline{X_K X_{K+1}…X_P…X_T} \) în care există o singură cifră \( X_P \) astfel încât \( X_K < X_{K+1} <…< X_P > X_{P+1} >…> X_T \) ( \(1≤K<P<T≤N\) și \(K,P,T\) sunt numere naturale). De exemplu, pentru X=12543644 secvențele-maxim sunt: 1254, 12543, 254, 2543, 364.

Scrieți un program care citește numărul N, cele N cifre ale numărului X și care determină numărul total de secvenţe-maxim din numărul X.

Olimpiada de Informatică, etapa pe sector, Bucureşti, 2014

#1798 Trepte C++

O persoana are de urcat n trepte. Aflaţi in câte moduri poate urca cele n trepte.

#1797 SirDiv3 C++

Dandu-se un sir, sa se afle cate din primele n numere sunt divizibile cu 3.

Se dau două numere naturale w şi h reprezentând lungimile laturilor dreptunghiului ABCD, un număr natural n şi n numere naturale x1, x2,… xn cu propietatea din enunt. Punctul P se plasează, pe rând, în toate punctele interioare dreptunghiului ABCD care sunt colţuri ale unor pătrate de latură 1. Pentru fiecare valoare x[i] (1 ≤ i ≤ n), determinaţi numărul de segmente distincte care trec prin exact x[i] pătrate
2-intersectate.

ONI 2012, Clasa a IX-a

#1780 Fractie C++

Se dau două numere naturale n și m, m fiind prim. Să se afle cel mai mare număr natural x, astfel încât numărul \(\frac{n!}{m^{x}}\) să fie natural.

#1777 Ioana C++

Se dă un șir cu n elemente, reprezentând cifrele numărului a. Să se afle suma cifrelor lui a, suma sumei, etc., până când se ajunge la un număr cu o singură cifră.

#1773 Happy C++

Lui Ionci ii place foarte mult matematica si informatica, asa ca s-a gandit sa creeze o operatie. Aceasta a numit-o "Happy", notata cu semnul . Operatia se aplica doar numerelor naturale si dau ca rezultat tot un numar natural, conform exemplelor de mai jos:

  • 2010 ☺ 2005 = 5
  • 78 ☺ 54 = 6
  • 999 ☺ 543 = 3
  • 4 ☺ 9 = 1
  • 5 ☺ 6 = 1
  • 32 ☺ 24 = 8
  • 10 ☺ 2 = 2

Profesorul de matematica, Vasy, i-a promis nota 10 pe invenție dacă pentru mai multe perechi de numere naturale veți determina cel mai mic număr rezultat cu număr par de divizori al operației Happy aplicată perechilor date și cel mai mare număr rezultat al operației Happy cu număr impar de divizori.

Sergiu trebuie să răspundă la T întrebări de forma: Care este cel mai mic număr strict mai mare decât n, divizibil cu k?

ad-hoc

#1708 Cuburi3

Ionuţ a învăţat la şcoală să lucreze cu numere mari. El are la dispoziţie un şir de N numere naturale nenule. Din fiecare număr el şterge exact trei cifre, fără să schimbe ordinea cifrelor rămase, astfel încât să obţină cel mai mic număr natural nenul posibil. De exemplu, din numărul 20731049 se obţine numărul 20049, iar din numărul 13004 se obţine numărul 10. Înlocuind fiecare număr citit cu numărul obţinut prin operaţia de mai sus, Ionuţ obţine un nou şir şi scrie termenii acestuia pe feţele unor cuburi astfel: primele şase numere din şir le scrie pe primul cub şi îl notează pe acesta cu 1, următoarele şase numere din şir le scrie pe un alt cub pe care îl notează cu 2 ş.a.m.d.
Aceste cuburi au fost distribuite în piramide după modelul din figura de mai sus.

Piramidele au fost numerotate cu numere naturale consecutive. Piramida cu numărul de ordine 1 este formată numai din cubul cu numărul de ordine 1 şi are un singur nivel, piramida cu numărul de ordine 2 are pe primul nivel cuburile 2, 3 şi 4 iar pe ultimul nivel cubul 5 ş.a.m.d.

Două niveluri alăturate în cadrul unei piramide diferă prin exact două cuburi. Primul nivel al unei piramide conţine cu două cuburi mai mult decât primul nivel al piramidei precedente. Piramida se consideră completă dacă pe ultimul nivel are un singur cub.

Scrieţi un program care citeşte numerele naturale nenule N şi K, apoi cele N numere naturale ce fac parte din şirul iniţial, şi determină:
a) Numărul de piramide complete construite de Ionuţ.
b) Numerele scrise pe cuburile din primele K piramide.

ONI 2012, Clasa a VIII-a

Cunoscându-se numărul N de punguțe și numărul de bomboane din fiecare punguță, să se stabilească numărul de bomboane pe care le va aduna Georgel.

Concursul EMPOWERSOFT, 2016

#1759 Alune

Chip şi Dale s-au plictisit de jocurile de până acum şi au hotărât că este timpul să îmbine culesul alunelor cu un joc care să le stimuleze inteligenţa. Chip propune: “eu pun alunele culese de mine într-un şir de C scorburi, iar tu pui alunele culese de tine într-un alt şir, de D scorburi”.
Dale a ascultat, a fost de acord şi a propus ca jocul să continue astfel: „dacă la împărţirea numărului de alune din prima scorbură a şirului meu la numărul de alune din fiecare scorbură a şirului tău se obţine acelaşi rest, atunci consider că scorbura mea este umplută corect şi scriu pe hârtie cifra 1, altfel o consider umplută incorect şi scriu cifra 0. Verific apoi, aplicând aceeaşi regulă, dacă a doua scorbură din şirul meu este umplută corect, adică dacă la împărţirea numărului de alune din aceasta la numărul de alune din fiecare scorbură din şirul tău, se obţine acelaşi rest. Notez pe hârtie, în continuare, rezultatul verificării (0 sau 1). Încheiem jocul atunci când terminăm de verificat, după această regulă, toate cele D scorburi ale mele.”
Scrieţi un program care citeşte din fişierul alune.in numerele naturale nenule C şi D şi numărul de alune din fiecare scorbură din şirul lui Chip, respectiv al lui Dale. Programul determină şirul de cifre notat de Dale pe hârtie.

ONI 2012, Clasa a VIII-a

#1758 Bile3

Matei a inventat un nou joc cu bile. Terenul de joc este o tablă dreptunghiulară aşezată vertical. Tabla este împărţită în m*n celule, aşezate în m linii şi n coloane. În unele dintre celule se află obstacole.

De sus, din celulele aflate pe prima linie, sunt lăsate să cadă bile. Bilele cad vertical până la întâlnirea unui obstacol sau până în celula cea mai de jos din coloana pe care se află. Prima bilă care loveşte un obstacol se deplasează pe orizontală în coloana alăturată din stânga, apoi îşi continuă căderea. Fiecare dintre celelalte bile care lovesc acelaşi obstacol se deplasează pe orizontală, în coloana alăturată, dar în direcţie opusă faţă de bila care a lovit acest obstacol exact înaintea lor, apoi îşi continuă căderea.

Cunoscând numărul de bile lăsate să cadă de pe fiecare celulă a primei linii şi poziţia obstacolelor, determinaţi numărul de bile ajunse în fiecare celulă a ultimei linii. Poziţiile obstacolelor sunt indicate prin linia şi coloana lor (colţul din stânga sus corespunde liniei 1 şi coloanei 1).

ONI 2012, Clasa a VII-a

Arpsod are în curtea sa N copaci foarte bătrâni, așezați în linie și numerotați de la 1 la N. Fiecare copac are o înălțime cunoscută, Hi. Există riscul ca la un vânt mai puternic aceștia să cadă, provocând stricăciuni. Astfel Arpsod a angajat doi muncitori pentru a-i tăia copacii. Primul muncitor va începe să taie copacii în ordinea 1, 2, 3, ... ,N iar cel de-al doilea în ordinea N, N-1, N-2, ... 1. Fiind un tărâm democratic, fiecare muncitor dorește să fie plătit pentru fiecare metru pe care îl taie. Muncitorul 1 are un tarif de T1 pe metru iar muncitorul 2 un tarif de T2 pe metru. Dacă un muncitor a început să taie un copac, acesta îl va tăia integral. Din motive de protecție a muncii, muncitorilor nu le este permis să lucreze simultan. De aici apare următoarea pretenție: dacă după tăierea unui copac, muncitorul nu este înlocuit de colegul său, acesta va cere un cost suplimentar C pentru a rămâne să taie în continuare.
De exemplu, dacă avem 3 copaci: 1, 2, 3 și muncitorul 1 taie singur toți copacii, acesta va cere un cost suplimentar de 2 ori (pentru copacul 2 și copacul 3).

Arpsod vă cere să determinați costul minim pe care îl poate plăti astfel încât toți cei N copaci să fie tăiați.

Concursul EMPOWERSOFT, 2016

#1754 Munti

Vrăjitorul Arpsod își dorește să își reamenajeze habitatul. În habitatul acestuia există N munți, fiecare cu o înălțime cunoscută. Fiind un tip cu un foarte dezvoltat simț estetic, el își dorește să remodeleze cei N munți astfel încât să obțină un număr maxim de munți cu aceeași înălțime.

Arpsod are la îndemână o magie ce funcționează astfel: alege oricare doi munți, pe primul îl crește cu o unitate iar pe al doilea îl scade cu o unitate. Un munte poate ajunge la înălțimi negative ( practic se transformă într-o groapă ).

Arpsod își poate folosi magia de un număr infinit de ori.

Vrăjitorul vă cere să determinați numărul maxim de munți ce pot fi aduși la o înălțime egală.

Concursul EMPOWERSOFT, 2016

După un rezultat slăbuț la un concurs de informatică, Cristina s-a cam supărat. Dan vrea să-i ridice moralul și știe că cel mai bun mod în care poate face asta este ciocolata. Totuși, Dan nu este dispus să-i ofere Cristinei toată ciocolata pe care o are (și el a avut un rezultat slab la concurs, deci.. și el trebuie să-și ridice moralul).

Astfel, îi propune Cristinei următoarea ofertă: ”Desenează pe o hârtie un caroiaj format din N linii și M coloane pe care îl umple cu valori întregi. Cristina va primi un număr de pătrățele de ciocolată egal cu suma valorilor dintr-un dreptunghi ales de ea.”

Deoarece Cristina este prea bosumflată ca să rezolve această “provocare” și prea obosită ca să-l convingă pe Dan să-i dea ciocolata pur și simplu, vă roagă pe voi să o ajutați. (Poate primiți și voi niște ciocolată dacă rezolvați problema. Poate…)

Cunoscându-se configurația caroiajului, determinați numărul maxim de pătrățele de ciocolată pe care Cristina îl poate obține alegând un dreptunghi din matrice, precum și coordonatele celor patru colțuri ale acestuia

Concursul EMPOWERSOFT, 2015

#1517 Clatite

Arpsod adoră două lucruri: matematica și clătitele bunicii sale. Într-o zi, aceasta s-a apucat să prepare clătite. Arpsod mănâncă toate clătitele începând de la a N-a clătită preparată, până la a M-a clătită preparată (inclusiv N și M). Pentru că el vrea să mănânce clătite cu diferite umpluturi și-a făcut următoarea regulă:

“Dacă numărul de ordine al clătitei este prim atunci aceasta va fi cu ciocolată. Dacă numărul de ordine este pătrat perfect sau cub perfect aceasta va fi cu gem. Dacă suma divizorilor numărului este egală cu însuși numărul de ordine atunci aceasta va fi cu înghețată. (se iau în considerare toți divizorii în afară de numărul în sine, inclusiv 1).

În cazul în care o clătită îndeplinește simultan mai multe condiții, se respectă prioritatea sortimentelor: ciocolată > gem > înghețată.
Dacă niciuna dintre condițiile de mai sus nu este îndeplinită, pentru cele cu numărul de ordine par, clătita va fi cu zahar, iar pentru numărul de ordine impar, clătita va fi simplă.”

Cunoscându-se N și M, numere naturale, să se determine câte clătite a mâncat Arpsod în total și numărul de clătite din fiecare tip.

Concursul EMPOWERSOFT, 2015

Vrăjitorul informatician Arpsod a făcut un farmec asupra unui șir de N numere naturale, fiecare număr având exact 8 cifre (doar vrăjitorul știe de ce a ales cifra 8). În urma farmecului, numerele au început să prindă sentimente. Un număr X se numește bosumflat dacă există un alt număr Y, printre cele N, cu proprietatea că, numărul format din cifrele de pe poziții impare ale lui X este strict mai mic decât numărul format din cifrele de pe poziții pare ale lui Y și numărul format din cifrele de pe poziții pare ale lui X este strict mai mare decât numărul cifrele de pe poziții impare ale lui Y.

Vom defini gradul de bosumflare al unui număr X ca fiind egal cu numărul de numere dintre cele N, care îl bosumflă pe X.

Pentru că vrăjitorul este prea ocupat cu alți bosumflați, vă roagă pe voi să determinați gradul de bosumflare pentru fiecare dintre cele N numere.

Cunoscându-se N, numărul de numere precum și numerele efective, determinați gradul de bosumflare pentru fiecare număr în parte.

Concursul EMPOWERSOFT, 2015

La un concurs de programare s-au înscris n elevi. Concursul se desfăşoară pe două secţiuni, secţiunea 1 pentru începători şi secţiunea 2 avansaţi. Proba de concurs se desfăşoară pe parcursul a 3 ore şi elevii au de rezolvat 2 probleme.
Fiecare problemă poate avea punctajul minim de 0 puncte şi punctajul maxim de 100 de puncte. Punctajul final al concurentului este format din suma punctajelor celor două probleme. Să se scrie un program care citeşte numărul de elevi înscrişi şi apoi date despre fiecare elev înscris (secţiunea la care s-a înscris, punctajul obţinut pentru prima problema şi punctajul obţinut pentru a două problemă) și rezolvă următoarele cerinţe:

1. Afișează mesajul DA dacă toţi cei N elevi înscrişi au reuşit să obţină un punctaj nenul la ambele probleme propuse, respectiv NU” în caz contrar.
2. Afişează pentru fiecare secţiune numărul de elevi înscrişi. Afişarea se va face în ordinea crescătoare a numărului secţiunii, prin perechi de numere de forma nr_secţiune nr_elevi.
3. Afişaţi pentru fiecare secţiune punctajul maxim obţinut şi numărul de elevi care au obţinut acest punctaj. Afişarea se va face în ordinea crescătoare a numărului secţiunii, prin triplete de numere de forma nr_secţiune punctaj_maxim nr_elevi. Ştiind ca premiile se acordă doar celor care au luat punctaj maxim, afişaţi şi numărul de premii care vor fi acordate.

Concursul EMPOWERSOFT, 2016

#1550 DivFactorial C++

Se da un vector cu n elemente. Sa se afișeze pe ecran elementele din vector care divid factorialul numărului de elemente n.

#1748 Cursă C++

Costică este alergător la un maraton. El parcurge un traseu sub forma unei matrice cu n linii şi m coloane linie cu linie şi pe fiecare linie, de la stânga la dreapta. Matricea conţine numere naturale.

Dacă Costică întâlneşte un număr prim, el este penalizat, fiind trimis pe linia şi coloana anterioară, iar dacă acesta întâlneşte un număr perfect, poate avansa pe linia şi coloana următoare. Dacă mişcarea pe linie şi pe coloană depăşeşte limitele matricei, atunci se va efectua numai mişcarea care nu trece de aceste limite sau nu se va efectua nici o mişcare.

Afişaţi timpul t în care parcurge Costică traseul, ştiind că deplasarea dintr-un element al matricei în oricare altul durează o secundă, iar fiecare penalizare sau avansare durează o secundă.
Penalizările sau avansările care nu schimbă poziţia lui Costică durează tot o secundă.

Un număr este perfect dacă suma cifrelor lui este un număr prim.

Dacă un număr este şi prim şi perfect, atunci el va fi considerat prim.

După penalizare sau avansare, numerele prime sau perfecte îşi pierd proprietățile.

Se consideră un triunghi alcătuit din numere naturale scrise pe n linii ca în figura alăturată. Liniile triunghiului sunt numerotate de la 1 la n, începând cu linia de la baza triunghiului (linia de jos), iar poziţiile pe linie sunt numerotate începând cu 1 de la stânga la dreapta.
Fiecare număr din triunghi, exceptând pe cele de pe linia 1, este egal cu suma numerelor aflate imediat sub el, în stânga şi respectiv în dreapta lui.

Cunoscând câte un număr de pe fiecare linie a triunghiului, determinaţi toate numerele de pe linia 1.

OJI 2012, Clasa a VII-a

Fișierul de intrare conține cel mult 1.000.000 de numere întregi. Se cere să se afișeze în fișierul de ieșire cel mai mic număr din intervalul [-100,100] care nu apare în fișierul de intrare.

În oraşul Iaşi, cele N firme IT derulează în prezent M proiecte din acest domeniu (printre care şi ONI 2012). Firmele sunt identificate prin numere naturale de la 1 la N, iar proiectele sunt identificate prin numere naturale de la 1 la M. Fiecare proiect are una sau mai multe etape, o etapă fiind executată de o singură firmă IT. Spunem că o firmă coordonează un proiect dacă execută mai mult de jumătate din etapele proiectului.
Cunoscând numărul firmelor IT, numărul proiectelor, numărul de etape ale fiecărui proiect şi firmele ce execută fiecare etapă, să se determine firma/firmele care coordonează cel mai mare număr de proiecte.

ONI 2012, Clasa a VII-a

#1728 KSumDif C++

Se dă un vector cu n elemente și un număr k.

Se construiește un nou vector, cu n-1 elemente, ale cărui elemente vor fi diferenţa dintre suma și modulul diferenţei a două elemente alăturate din primul vector.

Apoi se construiește un alt vector, după aceeași regulă, ș. a. m. d.

Afișați suma elementelor celui de-al k-1-lea vector construit prin această metodă.

#1731 Numar5

Pentru un număr dat cu k cifre \(c_1c_2…c_k\), se numeşte algoritm de deplasare circulară spre dreapta de la o cifră iniţială \(c_i\), la o cifră finală \(c_j\), deplasarea din cifră în cifră spre dreapta de \(c_i\) ori (1≤i,j≤k). Dacă pe parcursul deplasării s-a ajuns la cifra \(c_k\), se continuă deplasarea circulară spre dreapta cu cifra \(c_1\).
Un număr cu k cifre se numeşte număr „circular” dacă îndeplineşte următoarele două cerinţe:

  • toate cifrele sunt nenule;
  • pornind de la cifra \(c_1\), aplicând algoritmul de deplasare circulară spre dreapta de exact k ori, se ajunge din nou la \(c_1\), fiecare dintre cifrele numărului fiind exact o singură dată cifră iniţială.

Scrieţi un program care citeşte numărul natural nenul n, apoi numerele naturale \(x_1, x_2, …, x_n\), şi determină:
a) cel mai mare număr din şir în care există cel puţin o cifră care apare de minimum două ori, iar în cazul în care în şir nu există un astfel de număr, se va afişa cel mai mare număr din şir;
b) un şir \(a_1, a_2, …, a_n\) de n numere naturale pentru care un element \(a_i\)(1≤i≤n)se calculează astfel:

  • este egal cu \(x_i\) , dacă \(x_i\) este număr circular;
  • este numărul cel mai apropiat de \(x_i\) (număr mai mare sau mai mic decât \(x_i\)), cu proprietatea că este număr circular; dacă pentru un număr din şir se identifică un număr circular y, \( y > x_i\) şi un număr circular z, z<\(x_i\), pentru care \( y – x_i\) = \(x_i – z\), atunci se va alege numărul y.

ONI 2012, Clasa a VI-a

#1730 Sstabil

Numim număr sstabil orice număr natural care este format dintr-o singură cifră sau care are suma oricăror două cifre vecine strict mai mare decât nouă.

Asupra oricărui număr care nu este sstabil se pot efectua operaţii de înlocuire a oricăror două cifre vecine care au suma strict mai mică decât zece cu o cifră egală cu suma lor.

Operaţiile de înlocuire pot fi aplicate, în acelaşi condiţii, şi asupra numerelor rezultate după fiecare înlocuire, de câte ori este nevoie, până când se obţine un număr sstabil.

De exemplu, 291 este număr sstabil deoarece 2+9>9 şi 9+1>9, iar 183 nu este sstabil pentru că 1+8<10. Din numărul 2453, efectuând o singură înlocuire, putem obţine 653 sau 293 (număr sstabil) sau 248. Numărul 653, nefiind sstabil, permite o nouă operaţie de înlocuire, obţinând astfel numărul 68, care este sstabil. Analog, din numărul 248 se poate obţine numărul sstabil 68.

Scrieţi un program care să determine cel mai mare număr natural sstabil care se poate obţine dintr-un număr natural dat, aplicând una sau mai multe operaţii de înlocuire de tipul menţionat.

ONI 2012, Clasa a IX-a

#1727 Culori3

Fiecare dintre cei N copii, numerotați de la 1 la N, primește câte un cartonaș colorat. Doamna dirigintă îi așează în cerc, în ordinea numerotării, în sens orar. Astfel, fiecare copil are doi vecini, așezați în stânga, respectiv în dreapta lui.
Andrei, pasionat de informatică, asociază fiecărei culori distincte un cod, reprezentat printr-un număr natural nenul, și inscripționează fiecare cartonaș cu codul corespunzător culorii acestuia.
Scrieţi un program care citeşte două numere naturale N şi K şi determină pentru Andrei:
a) numărul copiilor din cerc care au cartonaşe de aceeaşi culoare cu cartonaşele vecinilor;
b) numărul maxim de cartonaşe de aceeaşi culoare ce sunt deţinute de copiii aşezaţi pe K poziţii consecutive în cercul format.

ONI 2012, Clasa a V-a

O culegere de probleme are P pagini, numerotate de la 1 la P. Problemele din culegere sunt numerotate cu 1,2,3,...,etc, în ordinea apariţiei lor în culegere. Pe prima pagină a culegerii este scrisă o singură problemă (cea cu numărul 1). Pe a doua pagină sunt scrise exact două probleme (cele cu numerele 2 şi 3, în această ordine). Pe cea de a P-a pagină sunt scrise exact P probleme.
Scrieţi un program care citeşte numerele naturale P şi N şi determină valorile:
a) T, numărul total de cifre care au fost utilizate în numerotarea tuturor problemelor din culegere;
b) M, numărul minim de pagini pe care ar trebui să le aibă culegerea, astfel încât aceasta să conţină şi problema numerotată cu N.

ONI 2012, Clasa a V-a

Cunoscând cele 2 numere de pe al doilea rând al Triunghiului lui Pascal Generalizat, n si m ,să se determine suma elementelor de pe linia L.

Amicul nostru, Zoli, a învățat la scoală despre pătrate perfecte și numere piramidale. Al n-lea număr piramidal înseamnă suma primelor n pătrate perfecte, începând de la 1.

Ajutați-l pe Zoli sa afle primele n numere piramidale.

Se dă un șir de n numere reale, în ordine strict crescătoare. Să se determine un număr natural x, cu proprietatea că în orice interval deschis având drept capete oricare două valori din șir se află cel puțin x numere întregi.

Variante Bacalaureat 2009

Se citeşte din fişierul de intrare o matrice pătratică A cu n linii şi n coloane conţinând numere naturale. Scrieţi un program care modifică matricea A în modul următor:

I. interschimbă elementele matricei din triunghiul superior cu cele din triunghiul inferior al matricei

II. după aceea interschimbă elementele superprime distincte, care apar în triunghiul din dreapta cu cel din triunghiul din stânga al matricei (ambele elemente trebuie să fie superprime);

Admitere Mate-Info UBB, septembrie 2014

#1681 Power C++

Prietenul nostru, Zolly, a învățat la scoală despre ridicarea la putere. Ajutați-l să calculeze \( a^b\).

#1582 max_min

Se citesc de la tastatură n numere naturale. Să se determine numărul a cărui sumă a cifrelor este cea mai mare, respective cea mai mică.

Se dau n numere naturale. Aflaţi câte dintre ele sunt palindrom prim norocoase. Un număr este palindrom prim norocos dacă este palindrom (egal cu răsturnatul său, de exemplu 121), prim (are exact 2 divizori, de exemplu 3) şi norocos (pătratul numărului se poate scrie ca sumă de numere consecutive, exemplu 3. 3 * 3 = 9 = 2 + 3 + 4).

Se dau două şiruri cu câte n elemente, numere naturale nenule. Să se verifice dacă este posibilă rearanjarea elementelor celor două şiruri astfel încât acestea să fie invers proporţionale.

Considerăm şirul a cu n numere naturale nenule distincte două câte două şi un număr x. Scrieţi un program care determină poziţia pe care se va găsi numărul x în şirul a, dacă acesta ar fi ordonat descrescător.

Variante Bacalaureat 2009

#1625 ec2

Se citesc de la tastatura 3 valori reale a, b , c. Rezolvați ecuația de gradul doi cu a*x2+b*x+c=0

#1656 UnuZero

Se consideră un şir format din N+2 cifre binare, care conţine cel puţin o cifră 1 şi cel puţin trei cifre 0; prima şi ultima cifră a şirului sunt 0.
Numim 1-secvenţă o succesiune formată numai din cifre 1, aflate pe poziţii consecutive în acest şir, delimitată de câte o cifră 0.
Corina construieşte un astfel de şir, în care numărul de cifre 1 ale fiecărei 1-secvenţe să fie cuprins între două numere naturale date, p şi q. Scrieţi un program care să determine un număr natural K, egal cu restul împărţirii la 666013 a numărului de şiruri distincte, de tipul celui construit de Corina.

ONI 2012, Clasa a IX-a

#1650 AcelasiNumar C++

Se dă un număr întreg n și alte k numere întregi. Să se afle dacă, adunând toate cele k numere la n se obține o valoare egală cu valoarea inițială a lui n.

Considerăm şirul de numere naturale nenule distincte \(a_1,a_2, …,a_N\). Notăm cu \(L_i\) lungimea maximă a unei secvențe de elemente cu valori consecutive care se poate obţine prin ordonarea crescătoare a primelor i elemente din şirul dat. Să se determine \(L_1,L_2, …,L_N\).

ONI 2013, Clasa a IX-a

#1637 Split

Fie un șir de numere naturale. Se împarte şirul în patru secvenţe astfel încât orice element din şir să aparţină unei singure secvenţe şi fiecare secvenţă să conţină cel puţin două elemente. Pentru fiecare secvenţă se determină costul ei ca fiind diferenţa dintre valoarea maximă şi cea minimă din acea secvenţă.

ONI 2013, Clasa a IX-a

#1636 Cifre15

Se dau n numere naturale nenule. Determinați numărul de cifre 0 de la sfârşitul produsului celor n numere și care este ultima cifră nenulă a acestui produs.

Olimpiada de informatică 2016, etapa pe sector, clasa a V-a

Se citește un număr natural nenul n. Numărul n1 este format doar din cifrele pare ale lui n. Numărul n2 este format doar din cifrele impare ale lui n. Calculați valoarea absolută a diferenței lor.

#1630 Morisca

Se dă un număr n. Afișați figura din exemplu.

#1629 qmat

Se dau două seturi de N, respectiv Q matrice binare (cu valori 0 sau 1), pentru fiecare matrice fiind precizat numărul de linii respectiv de coloane. Să se afișeze numărul aparițiilor matricelor din al doilea set în primul.

Scrieţi un program care citeşte de la tastatură un număr natural n şi construieşte în memorie o matrice cu n linii şi n coloane în care fiecare linie a matricei să conţină o permutare a mulţimii {1,2,...,n}, astfel încât pe linii diferite ale matricei să se afle permutări diferite.

#1546 mincifre C++

Se dă numărul natural n și se cere să se afișeze cel mai mic număr natural format din cifrele sale.

Fie X un vector de numere naturale distincte, de dimensiune N, X = (x[1], x[2], …, x[N]). Se dă un număr natural Q, apoi Q întrebări de forma: “Câţi divizori ai lui Qi se află în şirul X?”.

Răspundeţi la cele Q întrebări.

Lui Cristian, ca oricărui alt copil, îi plac bomboanele. A primit cadou de la prietenii lui cutii cu bomboane. Fiind multe cutii le-a numerotat: 1, 2, 3, … Desfăcând câteva, a văzut că există o legătură între numărul de pe etichetă și numărul de bomboane din cutie. Astfel în fiecare cutie sunt atâtea bomboane câți divizori pari are numărul de pe cutie. De exemplu cutia cu numărul 10 conține 2 bomboane, cutia cu numărul 8 conține 3 bomboane ș.a.m.d.

Cristian a ales la întâmplare două etichete x și y dorind să desfacă toate cutiile cu etichete cuprinse între x și y. Ajutați-l să determine prima cutie, etichetată cu a, și utima cutie, etichetată cu b, cu număr maxim de bomboane (x≤a≤b≤y), câte cutii n sunt cu acest număr de bomboane și care este acest număr d de bomboane.

Olimpiada de Informatică, etapa pe sector, Bucureşti, 2016, clasa a VII-a

#1594 Maraton

După ce și-a cumpărat biscuiți, Costy, eroul nostru, ajunge acasă și se apucă de teme. Astfel, dă peste următoarea problemă: “La o probă de maraton participă N maratonişti. Ştiind că la secunda 0, un maratonist se află la Xi metri de linia de sosire și aleargă cu o viteză de Yi metri/secundă, să se răspundă la Q întrebări de tipul: - Câți maratonişti au trecut linia de sosire după Qi secunde ? “

#1562 Abba

Pentru transmiterea unui mesaj format exclusiv din litere mici ale alfabetului englez, se utilizează un aparat electronic care are anumite limitări tehnice. Astfel, el poate transmite mesaje formate doar din litere vecine din alfabet sau formate din aceeași literă. De exemplu mesajul: defffedcbab poate fi transmis, iar mesajul accded nu poate fi transmis deoarece literele a și c nu sunt vecine în alfabetul englez.

Din acest motiv mesajul ce urmează să fie transmis trebuie codificat pentru a fi compatibil cu aparatul.

Pentru codificare, mesajul este prelucrat în etape până satisface limitările aparatului. O etapă de prelucrare presupune inserarea între fiecare două litere vecine ale mesajului a literei mijlocii. Litera mijlocie este acea litera situată la jumătatea secvenței din alfabet ce are capete literele vecine. Dacă nu există se ia în considerare litera mai mică.

Determinați numărul de etape de prelucrare necesare pentru codificarea mesajului și lungimea finală a mesajului.

Olimpiada Locală de Informatică, Timișoara, 2016

#1394 devt

Într-o zi, Gigel a găsit pe masa tatălui său o foaie A4 pe care era trecut șirul denumit “devt” sub forma 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ... , n. Dedesubtul acestui șir gasește un test alcătuit din k întrebari de forma a, b cu semnificația “Câte numere din acest șir se află în intervalul [a,b]?”.

Se consideră un tablou bidimensional format din n linii și n coloane, completat cu elemente de la 1 la n2. Completarea acestuia se face pornind din colțul din stânga sus la cel din dreapta sus, de la cel din dreapta sus la cel din dreapta jos ș.a. (exemplu mai jos).

Scrieți un program care citește un număr natural n și determină:

  1. Suma elementelor de pe linia și coloana k, elementul care se află la intersecția acestora nu se va adăuga în sumă.
  2. Matricea formată prin inversarea coloanei k cu linia k.

Scrieţi un program care citeşte de la tastatură un număr natural n şi construieşte o matrice pătratică având n linii şi n coloane, cu elemente 0 şi 1, dispuse în pătrate concentrice, fiecare pătrat fiind format doar din valori 1 sau doar din valori 0, conform exemplului, astfel încât elementul aflat pe prima linie şi prima coloană să fie egal cu 1.

Variante Bacalaureat 2007

Pe o tablă de șah de dimensiune n se află m regine. O regină atacă o altă regină dacă cele două se află pe aceeași linie, coloană sau diagonală și între ele nu se află alte regine. Determinați numărul maxim p de regine care sunt atacate de o aceeași regină și câte regine atacă p alte regine.

#1563 AlfaBet

Dându-se un cuvânt să se afișeze literele sale în ordine alfabetică.

Se dau n şiruri, fiecare şir fiind format din m numere. Să se determine cel mai mare număr din fiecare şir. Să se determine suma numerelor fiecărui şir.

#1564 TriunghiDublu C++

Se dă un număr n. Afișați figura din exemplu.

.

În vederea asigurării unei transmiteri cât mai exacte a informaţiilor pe reţea, transmiterea se efectuează caracter cu caracter, fiecare caracter fiind dat prin codul său ASCII, adică o grupă de 8 biţi (octet). Pentru fiecare 8 biţi transmişi se calculează un bit de paritate care are valoarea 0 (dacă codul ASCII al caracterului conţine un număr par de cifre binare 1) sau 1 (în caz contrar). Deoarece în problema noastră se transmit numai caractere ASCII standard, cu codul ASCII din intervalul [32,127], codul lor ASCII are bitul 7 (primul bit din stânga) egal cu 0. Pe această poziţie va fi pus bitul de paritate, economisind astfel câte un bit pentru fiecare caracter transmis.
De exemplu, dacă mesajul care trebuie transmis conţine caracterele “Paritate”, succesiunea de biţi transmisă va fi:

01010000 11100001 01110010 01101001 01110100 11100001 01110100 01100101

În plus, pe lângă caracterele amintite, în mesaj mai poate să apară un caracterul special, caracter care indică trecerea la începutul unui nou rând. Acest caracter are codul ASCII 10.

Să se scrie un program care să verifice dacă un text a fost sau nu transmis corect.

OJI 2007, Clasa a IX-a

Se dau două numere naturale. Să se afle dacă aceste numere sunt prietene. Numerele prietene sunt perechile de numere în care fiecare număr în parte este suma tuturor divizorilor celuilalt număr, mai puțin acesta.

#1568 MedieDiv C++

Se citeşte de la tastatură un număr natural n. Să se calculeze şi să se afişeze media aritmetică a tuturor divizorilor săi. Media va fi cu fix 2 zecimale dupa virgula.

#1566 CifSort

Se citeste n. Afisati numarul, cu prima cifra inversata cu a 2-a, a 3-a cu a 4-a, etc.

#1567 SumPrimDoi C++

Se citesc numere naturale până când se introduce numărul 0.
Afișați suma obținută prin adunarea numerelor formate din primele două cifre ale numerelor citite.

#1565 nZero C++

Se dă un număr n. Afișați numărul n * 10a.

#1559 minge

N copii, numerotați de la 1 la N, se aşează în cerc, unul lângă altul, în ordinea crescătoare a numerelor lor, copilul cu numărul N ajungând să fie situat lângă copilul cu numărul 1.
Un copil din cerc are o minge. El o aruncă unui alt copil din cerc. Acesta o aruncă și el unui alt copil din cerc care nu a atins vreodată mingea, … șamd. Fiecare aruncare este notată printr-o pereche de numere naturale distincte (X,Y) cu semnificația că copilul cu numărul X aruncă mingea copilului cu numărul Y care nu a mai atins mingea până în acel moment.
Cunoscându-se cele K perechi de aruncări care se fac în timpul jocului, determinați numărul copiilor care nu ating mingea și traseul parcurs de minge.

Olimpiada de Informatică, etapa pe sector, Bucureşti, 2016, clasa a VI-a

#1558 npe

Se construiește un șir de pătrate de latură 1,2,3,4,…. Fiecare pătrat este împărțit în pătrate de latură 1. De exemplu, pătratul cu latura k va fi împărțit în k*k pătrate de latură 1. Se numerotează toate pătratele elementare parcurgându-le în spirală în fiecare pătrat din șir.
Cunoscându-se numărul N al unui pătrat elementar, sâ se determine numărul pătratului din șir care-l conține, rândul și coloana în care acesta este poziționat.

Olimpiada de Informatică, etapa pe sector, Bucureşti, 2016. clasa a 9-a

Se citește un șir cu n numere naturale. Să se verifice dacă prin rearajarea elementelor șirului se poate obține un șir palindrom.

#1544 Muzical C++

Gigel în timp ce așteptă să meargă la doctor se joacă cu noul lui telefon. A observat ca atunci când este pe ecranul de start și apasă pe o tastă numerică se aude o notă muzicală.

Dar lui i-a venit ideea să codeze fiecare notă muzicală în acest mod:

  • Nota do1 cu numărul 0
  • Nota re cu numărul 1
  • Nota mi cu numărul 2
  • Nota fa cu numărul 3
  • Nota sol cu numărul 4
  • Nota la cu numărul 5
  • Nota si cu numărul 6
  • Nota do2 cu numărul 7

El creează un cântec, ia notele muzicale și le codează ca mai sus, le adună, iar apoi împarte suma la 8 și restul rămas este nota maximă.

Ajutați-l pe Gigel sa afle nota maximă!

#1378 Flori2

Fetiţele din grupa mare de la grădiniţă culeg flori şi vor să împletească coroniţe pentru festivitatea de premiere. În grădină sunt mai multe tipuri de flori. Fiecare dintre cele n fetiţe culege un buchet având acelaşi număr de flori, însă nu neapărat de acelaşi tip. Pentru a împleti coroniţele fetiţele se împart în grupe. O fetiţă se poate ataşa unui grup numai dacă are cel puţin o floare de acelaşi tip cu cel puţin o altă fetiţă din grupul respectiv.

OJI 2006, Clasa a IX-a

Un indicator cu 7 segmente este un dispozitiv de afişaj electronic destinat afişării unei cifre zecimale. Aceste dispozitive sunt utilizate pe scară largă în ceasuri digitale, contoare electronice şi alte aparate, pentru afişarea informaţiilor numerice. Cele 7 segmente au fost notate cu literele a, b, c, d, e, f, g, după modelul din figura de mai jos.

Afişarea uneia din cifrele de la 1 la 9 constă în aprinderea anumitor segmente din cele 7, după cum urmează:
Cifră 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Segmente aprinse b,c a,b,d,e,g a,b,c,d,g b,c,f,g a,c,d,f,g a,c,d,e,f,g a,b,c a,b,c,d,e,f,g a,b,c,d,f,g

Proiectarea diverselor sisteme de afişaj trebuie să ţină cont şi de puterea necesară pentru afişarea unei cifre. Pentru aprinderea unui segment este necesară o putere de 1 mW. Astfel, în funcţie de cifra afişată, dispozitivul necesită o putere egală cu numărul de segmente aprinse la afişarea cifrei respective. Puterea necesară pentru afişarea unui număr natural este egală cu suma puterilor necesare afişării fiecăreia dintre cifrele sale.

Să se scrie un program care citeşte două numere naturale nenule n şi p, (numărul n având toate cifrele nenule)şi calculează:

  • numărul natural k reprezentând puterea necesară pentru afişarea numărului n;
  • cel mai mare număr natural t, format numai din cifre nenule, mai mic sau egal decât n, care necesită pentru afişare o putere de cel mult p mW.

ONI 2012, Clasa a IX-a

#1380 pluton

În timpul acţiunii “Furtuna în deşert” din cauza unei furtuni de nisip, n soldaţi s-au rătăcit de plutoanele lor. După trecerea furtunii se pune problema regrupării acestora pe plutoane. Pentru aceasta se folosesc plăcuţele de identificare pe care soldaţii le poartă la gât. Pe aceste plăcuţe sunt scrise numere care pot identifica fiecare soldat şi plutonul din care acesta face parte. Astfel, soldaţii din acelaşi pluton au numărul de identificare format din aceleaşi cifre, dispuse în altă ordine şi numerele de identificare sunt unice. De exemplu, numerele de identificare 78003433, 83043073, 33347008 indică faptul ca cei trei soldaţi care le poartă fac parte din acelaşi pluton.

Fiind date cele n numere de pe plăcuţele de identificare, să se regrupeze cei n soldaţi pe plutoane, indicându-se numărul de plutoane găsite (un pluton refăcut trebuie să aibă minimum un soldat), numărul de soldaţi din cel mai numeros pluton, numărul de plutoane care au acest număr maxim de soldaţi precum şi componenţa unui astfel de pluton (cu număr maxim de soldaţi regrupaţi).

OJI 2006, Clasa a IX-a

#1527 zoom

Se dau două matrice cu elementele egale cu 0,1 sau 2. Să se afle de câte ori prima matrice apare în a doua.

Maria, Cristi şi Alex au găsit o modalitate de a-şi îmbunătăţi viteza de efectuare a operaţiilor matematice printr-un joc care să corespundă nivelului de vârsta al fiecăruia. Maria ştie doar operaţiile de adunare şi scădere, Cristi a învăţat înmulţirile iar Alex fiind în clasa a 5-a studiază divizibilitatea numerelor.

Jocul se desfăşoară în felul următor: Maria alege o cifra – cifra de start (întotdeauna este nenulă). Cristi o înmulţeşte cu 3. La numărul obţinut de Cristi, Maria adaugă o nouă cifră şi îi spune lui Cristi suma obţinută. Cristi caută cel mai mare multiplu a lui 7 mai mic decât numărul obţinut de Maria şi îl spune Mariei. Aceasta scade din numărul ei multiplul spus de Cristi şi obţine un număr nou. Din acest moment jocul se reia, Cristi înmulţeşte cu 3, Maria alege o cifră şi o adaugă la numărul obţinut de Cristi s.a.m.d…

Între timp Alex este atent la cifrele pe care Maria le-a introdus în joc şi caută să vadă dacă numărul format din aceste cifre este divizibil cu 7.

Cerințe

1) Aflaţi care este numărul obţinut de Maria după adăugarea ultimei cifre.
2) Ajutaţi-l pe Alex să verifice dacă numărul format din cifrele alese de Maria este divizibil cu 7.

Concursul EMPOWERSOFT, 2015

#1529 Pesti

Andrei îşi doreşte un acvariu cu peşti. Găseşte în oraş un singur magazin ZOO unde se vând doar peştişori ciudaţi. Fiecare peştişor se îngraşă în fiecare zi cu câte un număr de grame. Cu fiecare săptămâna ce trece, peştişorii vor lua în greutate acelaşi număr de grame ca şi săptămâna precedentă, la care se adaugă greutatea pe care o luau în prima săptămână. Nu toţi peştişorii sunt de acelaşi tip, deci nu au neapărat aceeaşi greutate şi nici nu se îngraşă neapărat cu acelaşi număr de grame.

Andrei se hotărăşte totuşi să cumpere n peştişori, pe care-i numeşte A,B,C,D,… în ordinea în care îi pune în acvariu. Vrând să ştie în permanenţă ce greutate are fiecare, îşi notează câţi peşti a pus în acvariu, litera atribuită fiecărui peşte, câte grame are fiecare peşte când a fost pus în acvariu şi cu câte grame se îngraşă în ziua în care este pus în acvariu.

Scrieţi un program care afişează, în ordine alfabetică, toţi peştii care au cel puțin greutatea G, dată în grame, după ce au trecut z zile. Pentru fiecare peşte se va afişa greutatea în grame şi litera ce i-a fost atribuită.

Concursul EMPOWERSOFT, 2015

#1519 Dans

De 1 Iunie – Ziua Copilului se organizează un spectacol de dans cu şi pentru copii. Acesta este programat să se desfăşoare în intervalul orar 10.30 -12.00.

În spectacol se înscriu n trupe de dans, iar pentru fiecare trupă se cunoaşte timpul necesar realizării dansului în minute şi numărul de copii din trupa.

Cunoscând n, numărul de trupe înscrise, cele n perechi (t,c) unde t reprezintă timpul în minute şi c numărul de copii din trupa scrieţi un program care:

a) Verifică dacă toate cele n echipe înscrise în spectacol se încadrează în timpul alocat spectacolului şi afişează mesajul NU dacă timpul este mai mare decât cel programat, în caz contrar afişează mesajul DA.
b) Calculează cu câte minute este programul incomplet sau depăşit.
c) Calculează câţi copii au fost implicaţi în realizarea spectacolului.
d) Calculează care este cel mai mare şi cel mai mic timp alocat unui dans.

Concursul EMPOWERSOFT, 2015

#1515 gradina

Păcală a reușit să ducă la bun sfârșit înțelegerea cu boierul căruia-i fusese slugă și, conform învoielii, boierul trebuie să-l răsplătească dându-i o parte din livada sa cu pomi fructiferi. Boierul este un om foarte ordonat, așa că livada sa este un pătrat cu latura de N metri unde, pe vremuri, fuseseră plantate N rânduri cu câte N pomi fiecare. Orice pom fructifer putea fi identificat cunoscând numărul rândului pe care se află și poziția sa în cadrul rândului respectiv. Cu timpul, unii pomi s-au uscat şi acum mai sunt doar P pomi. Păcală trebuie să-și delimiteze în livadă o grădină pătrată cu latura de K metri.

ONI 2013, Clasa a IX-a

#1512 Mars

Se consideră un tablou unidimensional cu n elemente numere întregi, numerotate de la 1 la n, inițial toate nule. Asupra tabloului se fac m operații s d X cu semnificația: toate elementele cu indici cuprinși între s și d își măresc valoare cu X.

Să se afișeze tabloul după realizarea celor m operații.

Parcurgând o matrice oarecare pe coloane, să se determine cea mai lungă secvenţă de elemente care sunt numere prime.

Să se determine soluțiile ecuației \({1 \over x} + {1 \over y} + {1 \over z} = {a \over b}\) , unde a<b sunt numere naturale nenule.

#1505 B210

Vasilică tocmai a învăţat la şcoală despre sistemul de numeraţie cu baza 2. I se pare interesant şi a inventat jocul b210, pe care vrea să îl joace cu prietenul său Gigel. Vasilică îi spune lui Gigel un număr natural nenul n, scris în baza 10. Gigel trebuie să scrie numărul în baza 2, obţinând astfel o secvenţă de cifre binare, care începe cu 1. Asupra scrierii în baza 2 a numărului n Gigel poate aplica una sau mai multe permutări circulare. Printr-o permutare circulară, toate cifrele secvenţei date, exceptând ultima, sunt mutate cu o poziţie spre dreapta, iar ultima cifră devine prima.

De exemplu, dacă n=107, scrierea sa în baza 2 este 1101011. Prin permutări circulare succesive putem obţine, în ordine, secvenţele:

1110101
1111010
0111101
1011110
...

Fiecare astfel de secvenţă este scrierea în baza 2 a unui număr natural, pe care Gigel îl transformă în baza 10. Gigel trebuie să afle care este cel mai mare număr natural m, scris în baza 10, a cărui scriere în baza 2 se poate obţine prin una sau mai multe permutări circulare ale scrierii în baza 2 a numărului n. Lui Gigel jocul nu i se pare aşa interesant şi ar prefera să aibă un program care să determine în locul lui numărul natural m.

Scrieţi un program care citeşte numărul natural nenul n şi care determină cel mai mare număr natural m, scris în baza 10, care poate fi obţinut prin una sau mai multe permutări circulare ale scrierii în baza 2 a numărului natural n.

Olimpiada Municipala Informatica Iasi 2016

#1470 Parcare

Cunoscându-se data și ora intrării într-o parcare, data și ora plecării din parcare și tariful orar, să se determine timpul cât a stat mașina în parcare și suma de plată.

Olimpiada Municipala Informatica Iasi 2016

#1471 maxdiv

Scrieţi un program care afişează, pentru un şir dat format din n numere naturale numărul de secvenţe maxdiv şi cea mai lungă secvenţă maxdiv.

Olimpiada Municipala Informatica Iasi 2016

#1472 Castel

Andrei vizitează un vechi castel cu mai multe camere. El are la dispoziţie un număr n de coduri de acces. Fiecare cod este un număr natural format din cel mult 9 cifre. Pentru a deschide uşa unei camere, Andrei trebuie să afle ce cheie să aleagă, dintr-un set dat. Fiecare cheie este notată cu o cifră. Cheia ce deschide uşa din prima cameră este notată cu cifra ce se repetă de cele mai multe ori în codurile de acces.

Scrieţi un program care determină cheia ce va deschide prima uşă, cunoscându-se numărul n, cele n coduri de acces, numărul de chei, notat cu k și valorile celor k chei primite.

Olimpiada Municipala Informatica Iasi 2016

#1503 Puteri5

Deoarece Ionel nu a înţeles bine ordinea de efectuare a operaţiilor de ridicare la putere, doamna învăţătoare îi dă o tema care să îl ajute să aprofundeze această problemă. Astfel, îi dă mai multe exerciţii de următorul tip: pentru trei cifre nenule a, b, c, el va trebui să calculeze valoarea următoarei expresii:

\( a^{b^c} + a^{c^b} + b^{a^c} + b^{c^a} + c^{a^b} + c^{b^a} \)

Cunoscând cifrele a, b, c, determinaţi valoarea obţinută în urma efectuării calculelor de mai sus.

Olimpiada Municipala Informatica Iasi 2016

Cunoscând numărul n de numere, precum şi cele n numere naturale pe care le primeşte Victor, ajutaţi-l să calculeze corect suma cifrelor impare din mijlocul fiecărui număr citit.

Olimpiada Municipala Informatica Iasi 2016

#1504 Comori1

Diriginta clasei a V-a organizează cu cei n elevi ai clasei sale concursul „Căutătorii de comori”. În concurs, fiecare elev trebuie să treacă prin n puncte de control și să răspundă la o întrebare la care primește un punctaj cuprins între 0 și 100.

Mihai, elev în clasa a V-a, participă cu mare plăcere la concurs și își notează punctajele obținute la fiecare punct de control.

Să se specifice numerele de ordine ale punctelor de control la care Mihai a obținut un punctaj mai mic decât cel obținut la punctul de control anterior. Dacă punctajele obținute de Mihai au fost în ordine crescătoare, se va afișa valoarea 0.

Olimpiada Municipala Informatica Iasi 2016

Pe un lac cu apă termală se află n+1 frunze de nuferi. Pe n dintre ele stau la soare n broscuţe. Evident, o frunză este liberă şi broscuţele au început să se joace. În fiecare moment o broscuţă sare de pe frunza ei pe frunza liberă din acel moment.

Numerotând frunzele de la 1 la n+1, broscuţele de la 1 la n, şi cunoscându-se ordinea iniţială a broscuţelor pe cele n+1 frunze, să se determine numărul minim de sărituri ale broscuţelor de pe o frunză pe alta, astfel încât ele să se găsească într-o ordine finală, dată, precum şi săriturile realizate.

Olimpiada Municipala Informatica Iasi 2016

#1468 relativ

Fiind dat un şir de numere naturale, să se câte numere sunt mai mari sau egale cu numerele situate înaintea lor în şir, precum şi suma maximă a unei secvenţe dintre două asemenea numere consecutive din şir.

Să se afle câte coloane ale unei matrice au produsul elementelor divizibil cu un număr dat p.

#1435 Biti

Zoli a primit de la doamna profesoară un șir cu n elemente, numere naturale. Lui Zoli i se cere să răspundă corect la întrebarea: “Câte numere din șir au în reprezentarea binară doar biți setați – adică au toți biții 1?

#1492 Bunicul

Mă gândeam la execuția unui program care calculează formula fericirii. Am o problemă cu alocarea memoriei. În unele cazuri programul poate rula, iar în altele nu. Programul funcționează corect dacă se alocă memorie în primul spațiu liber din zona de date, în ordinea în care variabilele sunt declarate. De asemenea, adresa de memorie a unei variabile succede adresa de memorie a oricărei variabile declarate înaintea ei.

Cunoscând dimensiunea memoriei M, numărul de zone ocupate N, numărul R de variabile declarate, cele N intervalele de memorie ocupate, precum și spațiul ocupat de fiecare din cele R variabile, să se determine:

a) Dimensiunea totală disponibilă pentru variabilele folosite.
b) Adresele de memorie pentru fiecare variabilă în parte în cazul în care alocarea memoriei este posibilă, respectând cerința problemei, sau numărul de variabile ce au putut fi alocate și adresa maximă la care este salvată o variabilă de memorie.

Olimpiada locală de Informatică, Prahova, 2016

#1491 Coduri

În urma inundațiilor din această iarnă, COFFESHOP a suferit câteva pierderi esențiale. Unele materiale au fost luate de ape, iar documentele de înregistrare deteriorate. Pentru estimarea pagubelor s-a pornit la realizarea unor liste cu produsele existente în depozit. Singurele documente recuperate parțial au fost listingurile codurilor produselor și ale codurilor de bare.

Fiecare produs are un un cod reprezentând un număr în bază 16. Codul de bare asociat fiecărui produs este numărul obținut prin conversia codului produsului în baza 2. Pentru un produs se cunoaște fie codul produsului, fie codul de bare. În cazul produselor ale căror coduri nu sunt total vizibile, cifrele care nu se vad sunt marcate cu X.

Fiind date numerele naturale N, H și D, reprezentând numărul de produse, numărul de cifre pentru codurile produselor, respectiv numărul de cifre pentru codurile de bare și cele N coduri, să se determine:

a) Pentru fiecare produs pentru care se cunoaște unul dintre cele două coduri, codul care lipsește, adică codul de bare – dacă este specificat codul produsului, respectiv codul produsului – dacă este precizat codul de bare. Pentru produsele pentru care nu se cunoaște cu exactitate niciunul dintre coduri, se va determina, dacă este posibil, codul produsului.
b) Numărul de coduri indescifrabile.

Olimpiada locală de Informatică, Prahova, 2016

Scrieţi un program care, citind din fişierul de intrare şirul de caractere cod(s), execută operaţia de decodificare şi afişează textul iniţial s (care a fost codificat) în fişierul de ieşire.

Admitere Informatica Iasi, 2013

Cei n elevi de la grupa pregătitoare au primit câte două cartonaşe, fiecare cartonaş având scris pe el un număr natural. Ei s-au aşezat în cerc şi, la un semnal dat, fiecare a scos la întâmplare un cartonaş din buzunar. Copiii vă roagă să răspundeţi la următoarele întrebări:
1. Care poate fi suma maximă S a numerelor de pe cartonaşele scoase, ştiind că produsul acestora este divizibil cu un număr prim p?
2. Care poate fi lungimea maximă L a unei secvenţe de copii de pe cerc pentru care suma numerelor de pe cartonaşele oricăror doi vecini din secvenţă este pară?

Olimpiada de Informatică, etapa pe şcoală, C.N.T.V., Tg-Jiu, 2016

Se dau trei numere naturale a, b, c şi se cer următoarele: cele mai mari trei cifre din scrierea lui b , suma numerelor divizibile cu c, cuprinse între a şi b ,numărul numerelor cuprinse între a şi b care au exact trei cifre egale cu 1 în scrierea binară, două numere cuprinse între a şi b pentru care diferenţa dintre produsul şi suma lor este egală cu b.

Olimpiada de Informatică, etapa pe şcoală, C.N.T.V., Tg-Jiu, 2016

#1479 pretios

Un număr natural în baza 10 se numește prețios dacă numărul de cifre ale sale din baza 2 este număr prim.

Se dă un interval [a,b].Determinați câte numere prețioase se află în acest interval.

#1486 Gropi

Gigel a primit de la prietenul său Programatorul o hartă a grădinii acestuia. Grădina are forma dreptunghiulară şi harta pe care a primit-o Gigel conţine informaţii despre starea culturii de pomi fructiferi. Mai precis ea conţine înălţimile fiecărui copac şi zonele în care s-au săpat gropi dar încă nu au fost plantaţi copaci. Harta grădinii poate fi reprezentată sub forma unei table dreptunghiulare cu N linii, numerotate de la 1 la N de sus în jos, şi M coloane, numerotate de la 1 la M de la stânga la dreapta. În fiecare celulă se află un număr real corespunzător înălţimii copacului sau valoarea 0 corespunzătoare unei gropi.

Cunoscând coordonatele unui punct de pe hartă ajutaţi-l pe Gigel să determine pe care dintre cele 8 direcţii N, NE, E, SE, S, SV, V, NV corespunzătoare acestui punct se află cele mai multe gropi.

Olimpiada locală de Informatică, Prahova, 2016

Se citește un număr natural n. Acest număr se “împarte” în alte două numere x și y, astfel: x este format din cifrele din prima jumătate a lui n, y este format din cifrele din a doua jumătate a lui n. Dacă n are număr impar de cifre, cifra din mijloc va fi prima cifră a lui y. De exemplu, dacă n=88132, atunci x=88, iar y=132.

Să se determine cel mai mare divizor comun al lui x și y.

Olimpiada locală de Informatică, Prahova, 2016

#1482 Numar4

Ionel i-a dat numărul său de telefon N lui Vasile, dar a greșit exact o cifră de pe o anumită poziție. Se cunoaște că pe acea poziție cifra corectă este o cifra pară.

Determinați numărul minim NR de numere de telefon pe care trebuie să le încerce Vasile astfel încât printre ele să se afle cu siguranță numărul corect de telefon al lui Ionel.

Olimpiada locală de Informatică, Prahova, 2016

În vederea premierii la un concurs de informatică N candidați sunt rugați să se așeze pe un cerc. Elevii sunt identificați în ordine prin numerele de la 1 la N. Comisia pleacă din dreptul primului elev, face x1 pași pe cerc și pune coronița elevului respectiv. Mai departe, comisia merge în continuare pe cerc x2 pași și pune o a doua coroniță elevului curent. Daca elevul curent are deja o coroniță atunci se numără și acea poziție și trece mai departe. După N astfel de acțiuni premierea se încheie. Premierea se consideră a fi validă dacă toți candidații au primit câte o coroniță.

Aflați dacă premierea a fost validă și de asemenea, aflați a câta coroniță a fost pusă elevului cu numărul 1.

Olimpiada locală de Informatică, Prahova, 2016

Un pitic pasionat de numere trebuie să-și pună flori în grădină. El are de plantat m rânduri cu flori, aceeași floare pe tot rândul. Rândurile sunt numerotate de la 1 la m. Având la dispoziție suficiente specii de flori, piticul nostru s-a gândit să le planteze folosind următorul algoritm matematic: pe rândurile care sunt numere prime, va planta exact floarea numerotată cu numărul prim respectiv, iar pe celelalte rânduri va planta floarea numerotată cu suma divizorilor primi ai numărului neprim.

Să se realizeze un program care să afişeze ordinea de așezare a florilor pe cele m rânduri.

Olimpiada locală de Informatică, Prahova, 2016

Dându-se două numere naturale n şi a, nenule, se cere să se determine exponentul numărului natural a în descompunerea în factori primi a lui n!.

Propunere OMI Iasi 2016 clasa a IX-a

Se dau două şiruri, a şi b, cu n respectiv m elemente, numere naturale cu cel mult 9 cifre. Să se verifice dacă şirul b poate fi obţinut din şirul a, prin eliminarea unor elemente.

#1464 Sir7

Să se determine cel de-al K-lea termen al șirului S, pornind de la cifra P

Un perete dreptunghiular de lățime L și o înălțime foarte mare (teoretic infinită) trebuie să fie protejat la bază cu plăci dreptunghiulare de faianță, de dimensiuni A și respectiv B. Plăcile se monteză una lângă cealaltă, pe mai multe rânduri orizontale, de jos în sus, pe fiecare rând de la stânga la dreapta, TOATE plăcile fiind așezate ”în picioare” (cu latura de mărime A pe orizontală și cea de mărime B pe verticală) sau TOATE ”culcate” (cu latura de mărime B pe orizontală și cea de mărime A pe verticală). Pentru a nu se pierde material, dacă la capătul unui rând nu încape o placă întreagă, se taie din ea porțiunea necesară, porțiunea rămasă fiind folosită la începutul rândului următor.

Pe rândul al doilea se montează plăcile în continuare în același mod, completându-l la capăt cu o porțiune de placă, restul de placă fiind folosit pe rândul al treilea etc. până ce rândul se încheie cu o placă întreagă, nemaifiind necesară nicio completare cu o porțiune de placă. În acest moment procesul de placare se încheie.Dacă primul rând se încheie cu placă întreagă, atunci placarea se încheie cu un singur rând completat.

Cunoscând lățimea L a peretelui și dimensiunile A și B ale plăcilor de faianță, stabiliți înălțimea maximă placată care se poate obține după metoda descrisă mai sus.

Fie \(\scriptsize\text{S} \) un şir cu numere naturale nenule. Considerând distanţa dintre elementele \(\scriptsize \text{S}_i \) şi \(\scriptsize \text{S}_j \) ca fiind egală cu \(\scriptsize|i-j|\), scrieţi un program care determină distanţa maximă dintre 2 valori egale din şir.

Să se șteargă dintr-un vector toate elementele pare.

Să se șteargă dintr-un șir elementul aflat pe o poziție dată.

#1451 Iceberg

Se dă o matrice reprezentând o zonă dintr-un ocean ce conține un iceberg; valorile egale cu 1 fac parte din iceberg, iar cele egale cu 0 reprezintă apă.

Se știe că icebergul este înconjurat de apa (nu există nici o valoare de 1 pe marginea matricei) și că într-un interval de timp se topesc toate zonele icebergului care au cel puțin doua laturi vecine cu apa.

Determinați și afișați cate intervale de timp sunt necesare ca icebergul să se topească în întregime. De asemenea, afișați pentru fiecare interval de timp câte poziții de gheață are icebergul la începutul intervalului.

Fiind dat un şir format din n numere naturale distincte să se calculeze suma elementelor din secvenţa ce uneşte cel mai mic şi cel mai mare element din şir, inclusiv acestea.

Citind greutăţile unor cutii, să se determine numărul de control după o regulă precizată şi să se verifice dacă este număr prim.

OJI 2004, Clasa a VI-a

Să se afle indicele coloanei dintr-o matrice pentru care suma elementelor este minimă.

#1440 nr

Se generează un şir de numere naturale ai cărui primi termeni sunt, în această ordine:
1, 20, 21, 300, 301, 320, 321, 4000, 4001, 4020, 4021, 4300, 4301, 4320, 4321, 50000,...
Dându-se numerele naturale k, n și x, să se determine: a) numărul de termeni ai şirului care au prima cifră (cea mai semnificativă) egală cu k; b) cel de-al n-lea termen al şirului din enunţ; c) cel mai mare termen al şirului, mai mic sau egal decât x.

ONI 2009, clasa a 6-a

#1439 Sir6

Se dă un şir de N numere naturale. Din acest şir, putem forma un şir comprimat de forma: a[1], b[1], a[2], b[2], …, a[x], b[x], din care înţelegem că numărul a[1] apare pe primele b[1] poziţii, a[2] apare pe următoarele b[2] poziţii…, iar a[x] apare pe ultimele b[x] poziţii.

De exemplu, dacă şirul dat este 1 1 5 5 5 2, atunci şirul comprimat va fi 1 2 5 3 2 1.

Să se determine:

a) Lungimea celei mai lungi secvenţe formată din numere egale.
b) Şirul comprimat pentru şirul dat.

Moisil++, 2015

#1438 Razboi

În Regatul Numerelor, a început războiul civil. Se dau n soldați, reprezentați prin n numere naturale, nu neapărat distincte. Cei n soldați sunt recrutați în două batalioane adverse, după o lege de recrutare. Această lege are un număr asociat, care este egal cu 1 sau 2. Dacă legea este 1, atunci soldații care au ultima cifră
egală cu 0, 2, 4, 6 și 8 sunt recrutați de primul batalion, iar ceilalți de cel de-al doilea. Dacă legea e 2, atunci soldații care au suma divizorilor număr par sunt recrutați de primul batalion, iar restul de cel de-al doilea.

Dându-se n, numărul de soldați, L, legea de recrutare, și identificatorii celor n soldați, să se afișeze numărul soldaților din primul, respectiv al doilea batalion.

Moisil++, 2015

Se dă un șir de n fracții. Fiecare fracție este dată printr-o pereche de numere reprezentând numărătorul și numitorul fracției. De exemplu 2010 34 reprezintă fracția \( 2010 \over 34\) . O fracție poate fi ireductibilă sau se poate
simplifica. În exemplul precedent, \( 2010 \over 34\) se simplifică prin 2 și rezultă \( 1005 \over 17\).

Să se afișeze, pentru fiecare fracție:

1) Prin câte moduri distincte se poate simplifica.
2) Fracția ireductibilă.

Moisil++, 2015

Scrieţi un program care citeşte de la tastatură un număr natural nenul n şi construieşte un tablou bidimensional de dimensiune n după o regulă precizată.

Variante Bacalaureat 2007

#1426 Pozne

Păcală a împrumutat fiecărei persoane din satul lui un număr de monezi de aur. Unele persoane sunt credule și Păcală, șiret fiind, doar acestora le-a împrumutat un număr de monezi care, scris invers, este număr prim. Mai târziu, când Păcală vrea să își recupereze banii, persoanelor credule le cere cu s monede mai mult decât le-a împrumutat. Unii săteni creduli sunt prieteni cu primarul și numărul care indică suma de bani împrumutată de ei conține cifra c. Aceste persoane știu de vicleșugul lui Păcală și ei, pentru a nu-l denunța la poliție, îi returnează acestuia cu s monede mai puține decât au primit.

Cunoscându-se numărul n de săteni, cele n valori reprezentând numărul de monede pe care Păcală le-a împrumutat fiecăruia, cifra c și numărul s, se cere să se afișeze:
a) numărul de bani împrumutaţi fiecărui sătean care este prieten cu primarul
b) numărul persoanelor credule și răspunsul la întrebarea dacă Păcală a câștigat monezi în plus față de cele împrumutate: dacă da, se va afișa pe ecran valoarea 1; dacă nu se va câștiga nimic în plus și nici nu va pierde nimic se va afișa valoarea 0, iar dacă va pierde monezi față de cele împrumutate se va afișa valoarea -1.

Moisil++, 2015

Se citesc de la tastatura n elemente ale unui vector alcatuit exclusiv din litere mici. Rearanjati vectorul astfel incat vocalele sa fie plasate pe primele pozitii. Consoanele (si vocalele) isi vor pastra ordinea initiala, de la stanga la dreapta.

Andrei este elev în clasa a V-a și își dorește mult un smartphone. Tatăl său știe de acest lucru și s-a gândit să-i facă o bucurie de ziua lui. Așa că a hotărât să-l ducă într-un magazin de telefoane să-și aleagă unul.

Fiecare telefon este inscripţionat cu un număr ce reprezintă performanţa acestuia. Cu cât numărul este mai mare, cu atât telefonul este mai bun. Andrei l-a dorit pe cel mai performant (cu numărul cel mai mare) dar tatăl lui i l-a cumpărat pe al doilea ca performanță.

Dându-se numărul n de smatphone-uri și performanța fiecăruia, să se determine:

1. Numărul cu care este inscripționat telefonul dorit de Andrei;
2. Numărul cu care este inscripționat telefonul pe care l-a primit Andrei.

Moisil++, 2015

#1422 Ograda

În ograda lui Gigel se găsesc găini și văcuțe. Se dau două numere naturale: C – numărul de capete și P – numărul de picioare din curte.

1. Să se afișeze câte găini și câte văcuțe sunt în ograda lui Gigel.
2. Maria, colega lui Gigel, îl provoacă pe acesta să calculeze numărul de divizori impari pentru numărul C și numărul de divizori pari pentru numărul P. Deoarece Gigel nu este bun la matematică, vă cere ajutorul. Să se afișeze cele două numere calculate.

Moisil++, 2015

#1421 tabel

După cum probabil ştiţi, contabilii îşi ţin datele sub formă de tabele şi calculează tot felul de sume pe linii şi pe coloane. Contabilul nostru Atnoc şi-a organizat valorile sub forma unui tabel cu n linii (numerotate de la 1 la n) şi m coloane (numerotate de la 1 la m). Elementele de pe ultima coloană sunt sumele elementelor de pe linii (mai exact, elementul de pe linia i şi coloana m este egal cu suma elementelor de pe linia i aflate pe coloanele 1, 2, …, m-1), iar elementele de pe ultima linie sunt sumele elementelor de pe coloane (mai exact, elementul de pe linia n şi coloana i este egal cu suma elementelor de pe coloana i aflate pe liniile 1, 2, …, n-1).

OJI 2005, clasa a VII-a

Se dau n numere naturale divizibile cu 9, acestea se concatenează, se calculează suma cifrelor numărului obţinut, apoi suma cifrelor sumei obţinute şi tot aşa pînă se obţine o cifră, aceasta se înmulţeşte cu 7 obţinându-se un număr m, apoi se cere al m-lea număr triunghiular.

#1392 sumo

Numerele naturale nenule se scriu unul lângă celălalt formând un şir de cifre. Pentru mai multe perechi de poziţii din şir se cere suma cifrelor din şir situate între cele două poziţii din fiecare pereche.

Olimpiada Cunoaşterii

Se dă n un număr natural. Să se afișeze un romb de latură n umplut cu caractere * iar spațiul spațiul exterior umplut cu #, ca în exemplu.

#1412 Desen

Se dau 2 numere naturale c și n, de o singură cifra. În funcție de valoarea lui c construiți o figură geometrică formată din cifre de la 1 la n, ca în exemple.

Se citesc perechi de numere naturale până la citirea a două valori nule. Să se determine câte dintre perechi încep cu aceeași cifră.

Se citesc perechi de numere până la citirea a două valori nule. Să se determine câte dintre perechi au proprietatea că numerele pot fi concatenate astfel încât să se obțină un palindrom.

Se dau n numere naturale. Calculați suma obținută prin adunarea celui mai mare divizor prim a fiecărui număr dat.

Se dau n numere naturale. Calculați câte dintre ele sunt prime, cel mai mare și cel mai mic număr prim.

#1124 Patrate

Dându-se n, un număr natural, să se afle numărul de pătrate care au colţurile coordonate numere întregi cuprinse între 0 şi n inclusiv.

Se dau n numere întregi. Să se insereze între oricare două numere de aceeași paritate media lor aritmetică. Să se realizeze acest procedeu până nu se mai pot adăuga noi elemente.

Se citește un șir cu n numere întregi. Să se rearanjeze elementele șirului astfel ca numerele negative să fie ordonate descrescător. apoi să urmeze elementele nule, urmate de numerele pozitive ordonate descrescător.

Se citește un număr natural n cu o cifră. Afișați pe ecran o figură sub forma de romb formata cu numerele naturale de la 1 la n, ca în exemplu.

#1390 cartele

În sediul unei firme se intră doar cu ajutorul cartelelor magnetice. De câte ori se schimbă codurile de acces, cartelele trebuie formatate. Formatarea presupune imprimarea unui model prin magnetizare. Dispozitivul în care se introduc cartelele, numit cititor de cartele, verifică acest model. Toate cartelele au aceleaşi dimensiuni, suprafaţa pătrată şi grosimea neglijabilă. Cele două feţe plane ale unei cartele se împart fiecare în NxN celule pătrate, identice ca dimensiuni. Prin formatare unele celule, marcate cu negru în exemplu, se magnetizează permiţând radiaţiei infraroşii să treacă dintr-o parte în cealaltă a cartelei. În interiorul cititorului de cartele se iluminează uniform una dintre feţele cartelei. De cealaltă parte fasciculele de lumină care străbat cartela sunt analizate electronic. Pentru a permite accesul în clădire modelul imprimat pe cartelă trebuie să coincidă exact cu modelul şablonului care memorează codul de intrare. Prin fanta dispozitivului nu se pot introduce mai multe cartele deodată. Cartela se poate introduce prin fantă cu oricare dintre muchii spre deschizătura fantei şi cu oricare dintre cele două feţe orientate către şablon. După introducere cartela se dispune în plan paralel cu şablonul, lipit de acesta, astfel încât cele patru colţuri ale cartelei se suprapun exact cu colţurile şablonului. Modelele imprimate pe cele două feţe ale unei cartele sunt identice. Unei celule magnetizate îi corespunde pe faţa opusă tot o celulă magnetizată, iar unei celule nemagnetizate îi corespunde una nemagnetizată. O celulă magnetizată este transparentă pentru radiaţia infraroşie indiferent de faţa care se iluminează.

Un angajat al firmei are mai multe cartele. Pe unele dintre acestea a fost imprimat noul cod de intrare, iar pe altele sunt coduri mai vechi. Pentru a afla care sunt cartelele care-i permit accesul în sediul firmei angajatul este nevoit să le verifice pe toate, introducându-le pe rând, în toate modurile pe care le consideră necesare, în fanta cititorului de cartele.

OJI 2007, Clasa a IX-a

#1383 Avioane

“Avioane pe hârtie” este un joc ce se joacă în doi, fiecare jucător având la dispoziţie o foaie de hârtie (de matematică) şi ceva de scris.

Dată fiind configuraţia caroiajului şi poziţiile loviturilor lansate de adversar, să se determine:

a. numărul total de avioane desenate în caroiaj;
b. numărul de avioane de fiecare tip;
c. numărul de avioane avariate, fără a fi doborâte;
d. numărul de avioane doborâte.

Micul programator - ian.2015

#1377 MaxD

Fiind elev în clasa a IX-a, George, îşi propune să studieze capitolul divizibilitate cât mai bine. Ajungând la numărul de divizori asociat unui număr natural, constată că sunt numere într-un interval dat, cu acelaşi număr de divizori. De exemplu, în intervalul [1, 10], 6, 8 şi 10 au acelaşi număr de divizori, egal cu 4. De asemenea, 4 şi 9 au acelaşi număr de divizori, egal cu 3 etc.

Scrieţi un program care pentru un interval dat determină care este cel mai mic număr din interval ce are număr maxim de divizori. Dacă sunt mai multe numere cu această proprietate se cere să se numere câte sunt.

OJI 2005, clasa a IX-a

#1358 Minciuna C++

Andrei este foarte dezorganizat şi uneori mai strecoară câte o minciună. Pentru a-l responsabiliza, mama i-a dat în grijă biletele la teatru. Când aceasta îl întreabă unde a pus biletele, Andrei spune că între paginile numerotate cu x şi y ale manualului de informatică.

Să se verifice dacă răspunsul lui Andrei poate fi corect – dacă poate plasa biletele între paginile numerotate cu x și y ale manualului de informatică.

Se dă n. Afișați un triunghi cu latura de n steluțe gol înăuntru.

#1374 numere9

Mircea este pasionat de programare. El a început să rezolve probleme din ce în ce mai grele. Astfel a ajuns la o problemă, care are ca date de intrare un tablou pătratic cu n linii şi n coloane, componente tabloului fiind toate numerele naturale distincte de la 1 la n2. Pentru a verifica programul pe care l-a scris îi trebuie un fişier care să conţină tabloul respectiv. După ce a creat acest fişier, fratele său, pus pe şotii îi umblă în fişier şi îi schimbă câteva numere consecutive, cu numărul 0. Când se întoarce Mircea de la joacă constată cu stupoare că nu îi merge programul pentru testul respectiv. După câteva ore de depanare îşi dă seama că programul lui este corect şi că fişierul de intrare are probleme.

OJI 2005, clasa a IX-a

Într-un laborator de analize chimice se utilizează N reactivi. Se ştie că, pentru a evita accidentele sau deprecierea reactivilor, aceştia trebuie să fie stocaţi în condiţii de mediu speciale. Mai exact, pentru fiecare reactiv x, se precizează intervalul de temperatură [minx, maxx] în care trebuie să se încadreze temperatura de stocare a acestuia.
Reactivii vor fi plasaţi în frigidere. Orice frigider are un dispozitiv cu ajutorul căruia putem stabili temperatura (constantă) care va fi in interiorul acelui frigider (exprimată într-un număr întreg de grade Celsius).

OJI 2004, Clasa a IX-a

#1364 produs3

Fiind dat un şir format cu numere naturale nenule care sunt divizibile doar cu numerele prime 2, 3 sau 5, se cere numărul secvenţelor din şir pentru care produsul elementelor este pătrat perfect.

Olimpiada Cunoaşterii

Se citește n număr natural. Calculați suma numerelor mai mici sau egale cu n.

O tablă de șah cu n*n căsuțe conține niște piese de șah . Să se stabilească dacă anumite căsuțe sunt atacate, neatacate sau ocupate de cel puțin una din acele piese.

#1334 romb

Cunoscând diagonalele unui romb, să se calculeze perimetrul și aria acestuia.

Se dau n numere întregi. Să se insereze între oricare două numere de aceeași paritate media lor aritmetică.

#1350 produs2

Se consideră un şir cu elemente numere naturale nenule. Să se afle câte secvenţe din şir au produsul mai mic decât un număr dat.

#1362 p10

Se dă n. Să se afișeze 10n.

Scrieţi un program care să citească o ecuaţie de un anumit tip şi care să determine: a) tipul ecuaţiei citite; b) soluţia ecuaţiei obţinută prin rezolvarea acestei ecuaţii.

propunere OJI 2015 cls 6

Determinaţi numărul de apariţii a unei cifre c în reprezentarea tuturor numerelor mai mici sau egale cu un n dat.

#1347 kcifra

Se construiește un număr natural N ale cărui prime 51 cifre sunt:
N = 112233445566778899100111122133144155166177188199200......
Determinați cea de a K-a cifră din scrierea acestui număr.

Concurs selectie clasa a 9-a Centru de Excelenta in informatica - 2015 - Bucuresti

Se dă un număr real n. Să se afișeze rădăcina sa pătrată.

Se dă un număr scris în baza 2. Să se afișeze valoarea acestuia în baza 4.

#1336 Domino Dots C++

Se consideră toate piesele distincte de domino care au cel mult n puncte pe fiecare capăt. Determinați suma obținută prin adunarea numerelor de puncte de pe toate aceste piese.

ACM ICPC QF 2006

#1333 trapez

Cunoscând laturile unui trapez isoscel, să se calculeze lungimea diagonalei.

Sa se verifice dacă un şir dat este şir zigzag.

#1260 asii

Se dau 2 numere naturale. Calculați suma, diferenţa, produsul şi câtul lor, în această ordine.

Sa se verifice dacă un şir dat este şir vale.

Să se verifice dacă in șir este: șir constant, șir strict crescător, șir crescător, șir strict descrescător, șir descrescător, șir neordonat.

Sa se verifice dacă un şir dat este şir munte sau nu.

Se dă o matrice cu n linii și m coloane și elemente numere naturale și o valoare k. Să se modifice cel mult k elemente ale matricei, astfel încât toate liniile matricei să aibă aceeași sumă a elementelor.

#1282 radical

Se dă un număr. Să se afișeze rădăcina sa pătrată.

Se citeşte un număr natural n. Să se afișeze factorii primi ai lui n în ordine crescătoare.

#461 Timp1

Se dau numerele naturale h m, reprezentând un ora curentă exprimată în ore şi minute. Să se determine care va fi ora peste x ore şi y minute.

Să se verifice dacă un număr natural n citit este prim, aproape prim, pătrat prim sau compus.

Se dau două numere naturale și un simbol pentru una dintre operațiile +, -, *, /. Să se determine rezultatul operației aplicate pentru cele două numere.

Se citește de la tastatură un număr natural de 3 cifre. Să se stabilească dacă are toate cifrele egale.

#1310 CifDiv

Se citesc două numere naturale n m cu exact trei cifre fiecare. Să se afle câte cifre din n divid pe m.

#1309 Gresie

Se consideră o încăpere de formă dreptunghiulară cu dimensiunile a b. Încăperea trebuie pavată cu gresie de formă pătratică, de dimensiune d. Știind că o bucată de gresie se poate folosi întreagă sau tăiată, să se determine numărul minim de bucăți de gresie sunt necesare pentru pavarea încăperii.

Se citesc două numere naturale n m cu exact două cifre fiecare. Să se decidă dacă cele două numere au cifre comune.

#1300 Hex

Andino, fiind neatent la ora de matematică, primeşte o provocare de la profesoară: să transforme un număr din baza 2 în baza 16.

#1301 isoscel

Se citesc trei numere reale de la tastatură. Să se verifice dacă formează laturile unui triunghi isoscel.

Se dau numerele n p v reprezentând numărul de volume ale cărții, numărul de pagini ale primului volum, și numărul cerinței care trebuie rezolvate. Să se afle:
a) numărul total de pagini;
b) numărul total de cifre folosite pentru numerotarea paginilor celor n volume.
Numărul de pagini ale vomumelor sunt numere prime consecutive.

#1298 Suma34

Aflaţi suma cifrelor numărului care reprezintă numărul de numere de n cifre care se pot forma cu cifrele 3 şi 4.

Într-o matrice în care elementele sunt aranjate crescător pe anumite linii şi descrescător pe altele, trebuie găsită linia şi coloana pe care se află un anumit element.

#1284 Carte1

Pentru a se numerota paginile unei carti s-au folosit n cifre. Cate pagini are cartea?

Într-un şir trebuie determinată lungimea maximă a unei secvenţe de numere care în scrierea binară au numai cifra 1.

#1274 perf

Să se verifice dacă un număr natural este sau nu pătrat perfect.

#1273 uciv

Calculați ultima cifră a sumei a două numere naturale.

#1255 Lipsa

Fiind date n - 1 numere de la 1 la n, să se găseasca numărul lipsă.

Să se gestioneze stocul unui magazin.

Se dă un șir cu n elemente, numere naturale. Determinați diferența în valoare absolută dintre numărul de valori pare din șir și numărul de valori impare din șir.

Se citesc numere de la tastatură până la apariția lui zero. Să se determine câte dintre ele erau pare.

Rareș și Didi au primit în dar o carte rară de povești, cu N+1 pagini numerotate cu numerele distincte: 0, 1, 2, 3,…, N. De ce rară? Din două motive:

  • Este necesar un cifru pentru a deschide cartea. Acest cifru este un număr C egal cu numărul de cifre folosite pentru numerotarea celor N+1 pagini ale cărții.
  • În carte există o pagină magică. Dacă este descoperită, atunci toate poveștile din carte vor fi înlocuite instantaneu cu altele necunoscute.

Pentru a descoperi numărul P al paginii magice se pornește de la numărul N din care se va alege o cifră (diferită de prima și ultima cifră ale lui N), astfel încât produsul dintre prefixul lui N (reprezentând numărul format din cifrele situate la stânga cifrei alese) și sufixul lui N (reprezentând numărul format din cifrele situate la dreapta cifrei alese) să fie maxim. Numărul paginii magice va fi egal cu acest produs maxim. De exemplu, pentru N=21035 se pot obține produsele: 210*5=1050, 21*35=735, 2*35=70. Astfel numărul paginii magice este 1050.

Pasionați de povești, Rareș dorește să descopere pagina magică iar Didi și-a propus să descopere cifrul pentru deschiderea cărții.

Scrieţi un program care citeşte numărul natural nenul N şi care determină:
a) numărul P al paginii magice;
b) numărul C reprezentând cifrul de deschidere a cărții.

Olimpiada de Informatică, etapa pe sector, Bucureşti, 2014

Se cere determinarea maximului şi minimului valorilor dintr-un sir

Se dau 2 numere naturale. Calculați diferenţa lor.

Se dau n numere naturale, scrise sub forma \( a_{1}^{b_1} + a_{2}^{b_2} + \cdots + a_{m}^{b_m} \). Să se afle dacă numerele pot fi reprezentate pe 8 octeti, fără semn.

#1127 Praslea

A fost odată ca niciodată un împărat puternic care avea o grădină minunată, situată pe un teren de formă dreptunghiulară din jurul palatului. În grădină creştea un măr cu mere de aur, dar împăratul nu a putut să se bucure vreodată de merele din pom deoarece grădina a fost mereu atacată de tâlhari şi merele au fost furate. Cu toate că aceasta a fost păzită zi şi noapte de cei mai viteji ostaşi din împărăţie, ei nu au putut face faţă tâlhăriilor. Deznădăjduit, împăratul şi-a pus în gând să taie pomul cu mere de aur, dar fiul său cel mic, Prâslea, l-a rugat să-l lase şi pe el să-şi încerce norocul. Prâslea a cugetat foarte bine la cele întâmplate şi a procedat astfel:

  • a delimitat în grădină, de-a lungul acesteia, N parcele alăturate, numerotate de la stânga la dreapta cu valori în ordine, de la 1 la N. Dintre acestea, a dat spre pază fraţilor şi verişorilor săi M parcele, iar restul de N-M parcele oştenilor din împărăţie. Cele N-M parcele date oştenilor sunt identice şi au fiecare lăţimea L.
  • a măsurat distanţa D la care se află pomul cu merele de aur faţă de marginea din stânga a grădinii, pentru a întări chiar el paza parcelei în care e situat acesta.

Cerinţă

a) Cunoscând lăţimea fiecărei parcele, determinaţi cel mai mare număr de parcele alăturate, de lăţime L fiecare, date spre pază oştenilor ;
b) Determinaţi numărul de ordine al parcelei în care se află pomul cu merele de aur.

ONI GIM 2014, Clasa a VI-a

#1129 Tinta

Alex are o pasiune pentru trasul la țintă. Jucându-se cu numere, visează la o nouă tablă pentru pasiunea sa. Tabla visată este de formă pătrată cu n linii și n coloane, iar numerele, de la 1 la n * n, le poziționează în țintă, ca în imaginea alăturată.

Alex, fiind un foarte bun țintaș, nu nimerește niciodată pe pătrățelele de pe contur. Când țintește o pătrățică din interior, el obține drept punctaj suma valorilor din cele opt pătrățele vecine.

Cunoscând n numărul de linii și de coloane ale țintei:

a. Ajutați-l pe Alex să construiască ținta visată.
b. Câte punctaje distincte poate să obțină Alex dacă are o singură săgeată?
c. Afișați punctajele distincte găsite.

ONI GIM 2014, Clasa a VI-a

#1130 Codat

Se consideră un șir de N numere naturale, notate x 1, x 2, x 3,…, x N. Definim pentru orice pereche de indici i, j, 1 ≤ i ≤ j ≤ N, distanța între elementele x i și x j ca fiind egală cu j – i.

Acest șir va fi codificat după următoarele reguli:

  • fiecare element din șir este înlocuit cu indicele celui mai apropiat element din șir (cel față de care distanța este minimă) strict mai mare decât el;
  • dacă pentru un element din șir există două elemente care respectă regula de mai sus, atunci el va fi înlocuit cu indicele mai mare, adică al elementului strict mai mare decât el, aflat în dreapta lui;
  • elementele de valoare maximă din șir vor fi înlocuite cu -1.

Scrieți un program care codifică un șir de N valori, după regulile descrise.

ONI GIM 2014, Clasa a VII-a

Gigel, mare amator de probleme de matematică şi informatică, a observat că unele numere prime au o proprietate interesantă: orice cifră ar elimina dintr-un astfel de număr, numărul obţinut este tot număr prim. A numit astfel de numere numere extraprime. De exemplu, numărul 317 este un număr extraprim: el este număr prim şi, în plus, dacă eliminăm cifra 3, obţinem 17, care este prim; dacă eliminăm 1, obţinem 37, care este prim; dacă eliminăm 7, obţinem 31, care este şi el număr prim.

Spunem că x este între a şi b dacă x≥a şi x≤b. Fiind date două valori naturale a şi b, să se determine câte numere extraprime există între a şi b, precum şi cel mai mic şi cel mai mare număr extraprim dintre a şi b.

ONI 2013, Clasa a V-a

#1146 Greieri

Pe o linie orizontală se găsesc n greieri. Ei încep să stea „capră” într-o ordine prestabilită începând cu ultimul, pe rând, până la primul. Toţi greierii care îl preced pe cel care stă „capră” sar peste acesta, în ordine.

De exemplu pentru n=4, mai întâi stă „capră” greierul 4 și peste el sar, în ordine, 3, 2 și 1. Apoi stă „capră” greierul 3 și sar peste el, în ordine, 2, 1 și 4. Apoi stă „capră” greierul 2 și peste el sar, în ordine, 1, 3 și 4. Apoi stă „capră” greierul 1 și sar peste el, în ordine, 4 , 3 și 2, și se revine la ordinea inițială.

Scrieți un program care citește numerele naturale n și m și determină:

a) De câte sărituri este nevoie pentru a se ajunge la ordinea inițială?
b) Cum vor fi așezați greierii după m sărituri?

ONI 2013, Clasa a V-a

#1147 OniGim

La ONIGIM2013 participă N elevi de clasa a V-a având ca id-uri, în ordine, numerele naturale de la 1 la N. Anul acesta organizatorii au afişat la clasa a V-a toate punctajele distincte obţinute de elevi, în ordine strict crescătoare p1, p2,…, pK, şi un şir de N valori a1, a2,…, aN, unde ai reprezintă numărul de elevi care au punctaje strict mai mici decât punctajul elevului având id-ul i (1≤i≤N).

Cunoscând numărul de elevi (N), numărul de punctaje distincte (K) obţinute de elevii de clasa a V-a, punctajele p1, p2,…, pK, în ordine strict crescătoare, şi valorile a1, a2,…, aN cu semnificaţia din enunţ, să se scrie un program care determină:

a) Punctajul obţinut de fiecare elev în ordinea crescătoare a id-urilor.
b) Numărul de distincţii acordate de organizatori. Numărul de distincţii este egal cu numărul de elevi care au obţinut cele mai mari trei punctaje distincte.
c) Numărul maxim de elevi care au obţinut acelaşi punctaj.

ONI 2013, Clasa a V-a

#1206 Placa

Un gard este format din mai multe plăci dreptunghiulare. Fiecare placă este, la rândul ei, construită din NxM cărămizi. Una dintre plăci ridică o problemă, deoarece este deteriorată. Placa este reprezentată pe hârtie cu ajutorul unei matrice cu N linii și M coloane, numerotate de la 1 la N, respectiv de la 1 la M. Matricea conține doar valori 0 și 1, și respectă următoarele reguli:

  • un element egal cu 1 indică prezența în aceea poziție a unei cărămizi, iar un element egal cu 0 indică absența ei;
  • linia 1 și linia N conțin numai valori egale cu 1, pentru că marginea de sus și cea de jos a plăcii este intactă;
  • din orice element egal cu 1, situat în interiorul matricei, se poate ajunge pe linia 1 sau pe linia N sau pe amândouă, mergând doar în sus sau doar în jos, parcurgând numai valorile egale cu 1;
  • există cel puțin o coloană stabilă (formată numai din elemente egale cu 1).

Se dorește modificarea plăcii și pentru aceasta se pot șterge din matrice maximum K coloane alăturate. După ștergere se alipesc coloanele rămase și se deplasează pe verticală partea de sus a plăcii spre cea de jos, până când se va forma o coloană stabilă.

Să se determine înălțimea minimă Hmin pe care o poate avea placa ștergând cel mult K coloane alăturate. Identificați numărul minim de coloane alăturate care trebuie șterse pentru a obține înălțimea Hmin.

ONI GIM 2014, Clasa a VII-a

#1208 Solitar

Se consideră un joc de cărţi cu un număr nelimitat de coloane. Iniţial, pe prima coloană există, într‑o ordine oarecare, N cărţi cu numere distincte din mulţimea {1,2,…,N}, următoarele coloane fiind vide (fără cărţi). Numim secvenţă de la sfârşitul coloanei ultima sau ultimele două sau ultimele trei etc. cărţi din coloană care au scrise pe ele numere consecutive în ordine crescătoare, considerate de jos în sus. De exemplu, în figurile 1 şi 2 sunt reprezentate două astfel de coloane cu câte 6 cărţi având numere între 1 şi 6. În figura 1, secvenţa de la sfârşitul coloanei este formată doar din cartea 1. În figura 2, secvenţa de la sfârşitul coloanei este formată din cărţile 3, 4 şi 5. Se observă că în coloana din figura 1 mai există o secvenţă formată din cărţile 2, 3 şi 4, dar aceasta nu este la sfârşitul coloanei.

Operaţiile permise ale jocului sunt:

A. mutarea secvenţei de cărţi de la sfârşitul unei coloane pe o coloană nouă, dacă acea coloană este vidă (nu conţine nicio carte);
B. mutarea secvenţei de cărţi de la sfârşitul unei coloane la sfârşitul altei coloane cu cărţi, doar dacă secvenţa mutată formează o secvenţă de numere consecutive cu cele de pe cartea sau cărţile aflate la sfârşitul coloanei respective.

Se doreşte ca, printr-un număr minim de operaţii permise, să se obţină pe una dintre coloane toate numerele de la 1 la N, în ordine crescătoare, considerate de jos în sus.

De exemplu, de la configuraţia iniţială din figura 2 se va obţine, printr-o operaţie A, configuraţia 1 de mai jos. Apoi, printr-o operaţie B, se obţine configuraţia 2, printr-o nouă operaţie B se obţine configuraţia 3, apoi se mută secvenţa 2,3,4,5,6 pe o coloană vidă (operaţia A), apoi se mută secvenţa 1 peste secvenţa 2,3,4,5,6 (operaţia B) şi se obţine, pe coloana a doua, configuraţia finală cerută.

Configurația 1 Configurația 2 Configurația 3 Configurația 4 Configurația 5

Cerința

Cunoscând valoarea lui N, precum şi valorile cărţilor de pe prima coloană, să se determine numărul minim de operaţii prin care se poate obţine secvenţa 1, 2, …, N pe una dintre coloane.

ONI GIM 2014, Clasa a VIII-a

Să se calculeze suma \( S=1^{2}+2^{2}+3^{2}+…+N^{2} \), modulo 10.234.573.

#939 sum00

Să se scrie un program care citeşte de la tastatura două numere întregi şi determină suma lor.

Se dau n numere naturale cu cel mult două cifre fiecare. Afişaţi valorile distincte în ordinea descrescătoare a numărului de apariţii.

Se construieşte un şir de numere naturale care respectă restricţiile:

  • primul număr din şir este 9;
  • numerele se generează în ordine strict crescătoare;
  • şirul conţine toate numerele formate doar cu cifrele 7, 8 şi 9 cu proprietatea că numărul cifrelor 9 este mai mare sau egal decât numărul cifrelor 8 şi numărul cifrelor 8 este mai mare sau egal decât numărul cifrelor 7.
    Primii 14 termeni ai şirului, în ordine, sunt: 9, 89, 98, 99, 789, 798, 879, 897, 899, 978, 987, 989, 998, 999.

Pornind de la aceste numere, Liv a inventat un joc interactiv: N iepuraşi sunt aşezaţi în şir, fiecare având câte un cartonaş. Fiecare cartonaş are două feţe, o faţă albă pe care este inscripţionat un număr din acest şir şi o faţă gri, pe care este inscripţionată poziţia acelui număr în şir, poziţii numerotate în ordine, începând cu valoarea 1.

Exemple. Cartonaşul care are pe faţa gri inscripţionat numărul 1 va avea pe faţa albă inscripţionat numărul 9, iar cartonaşul care are pe faţa gri inscripţionat numărul 5 va avea pe faţa albă inscripţionat numărul 789.

Iepuraşii sunt aşezaţi într-o ordine oarecare şi ţin cartonaşele astfel încât să se vadă faţa gri. Jocul constă în a rearanja iepuraşii de la stânga la dreapta, descrescător după numerele inscripţionate pe feţele gri, având la dispoziţie doar operaţia TAP pe un iepuraş. Când se aplică operaţia TAP unui iepuraş atunci secvenţa de iepuraşi, începând de la cel pe care s-a făcut TAP şi până la sfârşitul şirului (spre dreapta), este oglindită (ca în imaginea de mai sus). După oglindire, toţi iepuraşii din acea secvenţă ţin cartonaşele astfel încât să se vadă faţa albă. Se doreşte aplicarea unui număr cât mai mic de operaţii TAP pentru rearanjarea iepuraşilor.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale N (reprezentând numărul de iepuraşi) şi a1, a2,…, aN (reprezentând, în ordine, numerele inscripţionate pe feţele gri) și care să determine:

a) Numărul minim de operaţii TAP necesare rearanjării iepuraşilor;
b) Cel mai mic număr aflat pe o faţă albă care nu se vede, în cazul în care au rămas cartonaşe neîntoarse. Dacă toate cartonaşele au fost întoarse (la toate fiind vizibilă faţa albă) se va afişa cel mai mare număr aflat pe o faţă albă a unui cartonaş.

ONI GIM 2014, Clasa a V-a

În oraşul Z sunt un număr de n obiective turistice, numerotate de la 1 la n. Pentru a ajuta turiştii să viziteze oraşul, primăria a cumpărat un autobuz special ce are k locuri şi care va parcurge cele n puncte de atracţie turistică începând cu obiectivul numerotat cu 1, apoi obiectivul numerotat cu 2, …, până la obiectivul numerotat cu n şi apoi revine la obiectivul 1, traseul având formă circulară. În fiecare staţie aşteaptă un anumit număr de călători; pentru fiecare călător se ştie numărul de staţii pe care doreşte să le parcurgă. Călătorii au acces în autobuz numai dacă sunt locuri libere, în ordinea în care așteaptă în stație, iar cei care nu pot urca părăsesc staţia; la următoarea oprire în staţia respectivă vor aştepta alţi călători. Pentru fiecare staţie parcursă costul unui bilet este 1 leu. Autobuzul va face pentru ultima urcare a călătorilor şi un ultim tur în care doar coboară călători şi nu urcă nimeni. Se cere numărul de curse complete realizate şi suma încasată pentru cursele realizate.

Determinarea valorilor ce reprezintă suma încasată şi numărul de curse complete realizate.

Lot Juniori, Cluj Napoca, 2009

Dându-se o dată calendaristică și un număr nr de zile, să se determine care este data aflată la o diferență de nr de zile.

Ajută-l pe Ion să găseasca ziua săptămânii corespunzătoare unei date calendaristice!

#1159 Smen

Se dă un șir V. Știind V0 = 3 și regula de formare a șirului:

Vi = ([ Vi-1 * Vi-1 / (i + 2)] + V i-1 * i + i + 1) % 666013.

să se determine al n-lea termen al șirului. (unde [x] reprezintă partea întreagă a numărului x)

Pentru un sir de n numere naturale reprezentand inaltimile unor cladiri , sa se raspunda la o intrebare pentru fiecare element .

Se citesc n numere naturale reprezentând înălțimile a n clădiri. Cerința problemei este de a realiza un proiect de arhitectură în care clădirile sunt ordonate descrescător după înălțimea lor.

Să se transforme un număr zecimal in baza 16.

#1209 TDrept

Se consideră N puncte de coordonate întregi în sistemul de coordonate cartezian.

Scrieţi un program care determină numărul de triunghiuri dreptunghice având vârfurile plasate în 3 dintre punctele date şi catetele respectiv paralele cu axele de coordonate.

ONI GIM 2014, Clasa a VIII-a

Se consideră două numere naturale impare p şi q şi A={1,2,3,4,5,. . .,p*q} mulţimea tuturor numerelor naturale cuprinse între 1 şi p*q.

Să se scrie un program care determină p mulţimi, notate A1, A2,…, Ap cu proprietăţile:

  • Numărul de elemente ale fiecărei mulţimi Ai, 1 ≤ i ≤ p, este egal cu q;
  • Ai ∩ Aj = ∅ , 1≤i<j≤p;
  • A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ap = A;
  • Sumele elementelor fiecărei mulţimi Ai, 1≤i≤p, sunt egale.

Lot Juniori, Deva, 2013

Suprafața plană a unei mese de pseudo-biliard este formată din n x n celule pătratice cu lungimea laturii egală cu 1 (o unitate), lipite, dispuse pe n linii numerotate de la 1 la n și n coloane, numerotate de la 1 la n. Pe masă se așează K bile, fiecare bilă găsindu-se în centrul unei anumite celule a mesei. Un jucător dorește să plaseze pe suprafața mesei un cadru pătratic având lungimea diagonalei egală cu D unități.

El trebuie să răspundă la m întrebări de forma: x y. Fiecare întrebare are semnificația: câte bile se găsesc în interiorul sau pe laturile cadrului ?

Cadrul se plasează astfel încât fiecare colț să fie poziționat în centrul unei celule, colțurile opuse să se găsească pe aceeași coloană, respectiv pe aceeași linie, iar colțul “de sus” să fie plasat în centrul celulei aflată pe linia x și coloana y.

Cunoscând lungimea n a laturilor mesei, numărul m de întrebări, numărul K de bile așezate pe masă, pozițiile lor și lungimea D a diagonalei cadrului pătratic, se cere:
1. Numărul de celule care se vor găsi în întregime în interiorul cadrului, dacă acesta se așează pe suprafața mesei, conform descrierii de mai sus.
2. Câte un răspuns pentru fiecare dintre cele m întrebări.

OJI 2014, Clasa a IX-a

Se dau n numere naturale nenule. Calculaţi ultima cifră nenulă din scrierea zecimală a produsului celor n numere.

Lui Gigel i s-a cerut să scrie un program care realizează înmulțirea dintre două numere naturale. Pentru a-i da o provocare lui Gigel, profesorul îi dă ca date de intrare un set de perechi de numere naturale pentru care produsul poate depăși 2 64. Gigel trebuie acum să-și modifice programul pentru ca să poată detecta cazurile speciale.

Asupra unui număr se efectuează o serie de transformări (mutare cifre pe alte poziții). Să se afle numărul după mai multe asemenea serii de transformări.

Se dau înălțimile a n copii, numerotați de la 1 la n, exprimate prin numere naturale. Afișați numerele de ordine ale copiilor în ordinea crescătoare a înălțimii lor.

Se citește un număr natural n. Să se determine suma divizorilor săi.

#1122 Babilon

Babilonienii au dezvoltat un sistem pozițional de scriere a numerelor, în care orice număr natural se poate reprezenta utilizând semnele (unu), (zece) şi spaţii.

Valorile k din {2, 3, … , 9} se obțin scriind semnul de k ori (scrierea babiloniană a lui 3 este ).

Numerele 11, 12, … , 59 se obțin ca succesiuni de semne urmate de semne (43 se reprezintă ca
).

Sistemul folosește gruparea unităților câte șaizeci. Astfel, pentru a scrie umărul șaizeci se folosește același semn ca pentru unu, dar valoarea sa este dată de poziția în care se găsește semnul !/resurse/9dc152/p-1100/babilon1.png!.

Babilonienii nu foloseau cifra 0. Pentru poziţionarea corectă a semnelor se utiliza spațiu (60 se reprezintă ca , 3600 se reprezintă ca etc.).

Se codifică scrierea babiloniană a unui număr utilizând cifra 1 în locul semnului , cifra 2 în locul semnului și cifra 3 în loc de spațiu.

Dându-se un număr natural n și un șir de n cifre din mulțimea {1, 2, 3}, reprezentând codificarea scrierii babiloniene a unui număr natural, să se determine:
a) numărul maxim de cifre 1 aflate pe poziții consecutive în codificarea scrierii babiloniene date;
b) numărul natural din sistemul zecimal corespunzător scrierii babiloniene date.

ONI GIM 2014, Clasa a V-a

#1121 p2048

Ada și Ben sunt pasionați de jocurile pe calculator și tocmai au descoperit cea mai recentă versiune a jocului 2048.

Regulile jocului sunt foarte simple:

  • se pornește de la un șir de N piese pe care sunt înscrise numere din mulțimea {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048};
  • piesele sunt așezate în locații numerotate consecutiv cu numerele 1,2,…, N;
  • la fiecare pas, poate avea loc o MUTARE la STÂNGA sau o MUTARE la DREAPTA;
  • pentru fiecare joc este stabilit un număr maxim de mutări M;
  • dacă are loc o MUTARE la DREAPTA, atunci:
    • piesele pot fuziona la dreapta, începând cu penultima piesă din şir: dacă o piesă se află pe o poziție i și are înscrisă valoarea k, iar pe poziția i+1 se află o piesă cu aceeași valoare k, atunci aceste piese vor “fuziona”, pe poziția i+1 se va obține o piesă cu valoarea 2•k, iar pe poziția i rămâne o locație liberă;
    • după efectuarea fuzionărilor, piesele se aliniază la dreapta, astfel încât ultima piesă să se afle pe poziția n;
  • dacă are loc o MUTARE la STÂNGA, atunci:
    • piesele pot fuziona la stânga, începând cu a doua piesă din șir: dacă o piesă se află pe o poziție i și are înscrisă valoarea k, iar pe poziția i-1 se află o piesă cu aceeași valoare k , atunci aceste piese vor “fuziona”, pe poziția i-1 se va obține o piesă cu valoarea 2•k, iar pe poziția i rămâne o locație liberă;
    • după efectuarea fuzionărilor, piesele se aliniază la stânga, astfel încât prima piesă să se afle pe poziția 1;
  • jocul se încheie atunci când se ajunge în una dintre următoarele situații:
    • pe cel puțin una dintre piese se află înscrisă valoarea 2048;
    • valorile înscrise nu se mai pot modifica prin mutarea pieselor;
    • s-au efectuat toate cele M mutări.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale N (numărul inițial de piese) și M (numărul maxim de mutări), un șir de N numere reprezentând, în ordine, numerele înscrise pe cele N piese și cel mult M caractere din mulțimea {S, D} ce reprezintă mutările fixate de către Ada și Ben, și care determină:

a) numărul X de mutări efectuate până la încheierea jocului;
b) numărul maxim Y înscris pe una dintre piese la încheierea jocului;
c) numărul maxim Z de fuzionări efectuate la o mutare.

ONI GIM 2014, Clasa a V-a

#1107 Reflex

La un concurs de robotică, în timpul prezentării, un roboţel cu corp cilindric cu diametrul de o unitate scapă de sub control şi se deplasează într-un ring de formă dreptunghiulară. Ringul este împărţit în N x M pătrate identice, cu latura de o unitate, aşezate pe N linii şi M coloane.

Robotul poate părăsi ringul numai pe la colţuri, acestea fiind numerotate de la 1 la 4, colţul cu numărul 1 fiind cel din stânga jos apoi restul fiind numerotate în sens trigonometric. Suprafaţa ringului este delimitată de exterior prin intermediul a patru pereţi despărţitori: doi pereţi “verticali” (aşezaţi de la colţul 1 la colţul 4, respectiv de la colţul 2 la colţul 3) şi doi pereţi “orizontali” (aşezaţi de la colţul 1 la colţul 2, respectiv de la colţul 3 la colţul 4), fără a bloca ieşirile, ca în desenul alăturat.

Robotul pătrunde în ring prin colţul cu numărul 1 sub un unghi de 45 grade şi cu o viteză de un pătrat/s. Ciocnirile cu pereţii sunt considerate perfect elastice (robotul nu-şi pierde din viteză) iar unghiul de incidenţă este egal cu cel de reflexie.

Se cere să se determine:

a) după câte secunde şi prin ce colţ al ringului va ieşi robotul;
b) de câte ori se ciocneşte robotul de pereţii orizontali şi verticali, rezultând o schimbare de direcţie, până la ieşirea din ring.

ONI 2014, Clasa a IX-a

Să se determine un șir strict crescător, cu lungimea N, format din numere naturale nenule, \( 1 ≤ a_1 < a_2 < a_3 < … < a_N ≤ [2 \cdot N \cdot \sqrt{N}] \), cu proprietatea că oricare trei termeni distincți ai șirului nu sunt în progresie aritmetică, adică pentru oricare numere naturale i, j şi k cu 1 ≤ i < j < k ≤ N, este îndeplinită condiţia: \( a_i + a_j \neq 2 \cdot a_j \). Prin [x] s-a notat partea întreagă a lui x.

De exemplu, pentru N = 5, cel mai mare termen al șirului va trebui să fie mai mic sau egal cu \( [2 \cdot 5 \cdot \sqrt{5} ] \), adică aN ≤ 22, deci o soluție este: 1, 2, 4, 5, 10.

ONI 2014, Clasa a IX-a

#1105 TG

Fie un număr natural N. Spunem că (a, b, c) este un triplet geometric limitat de N, dacă a, b și c sunt trei numere naturale astfel încât 1 ≤ a < b < c ≤ N și \( b = \sqrt {a \cdot c} \).

Să se determine numărul tripletelor geometrice limitate de numărul natural N.

ONI 2014, Clasa a IX-a

#1104 qvect

Se consideră N vectori cu elemente întregi, numerotați de la 1 la N, sortați crescător, fiecare vector având un număr precizat de elemente.

Să se răspundă la Q întrebări de tipul:
a) 1 i j, cu semnificaţia: care este minimul dintre modulele diferențelor oricăror două elemente, primul element aparținând vectorului numerotat cu i, iar cel de al doilea element aparținând vectorului numerotat cu j ?
b) 2 i j, cu semnificația: care este valoarea ce se găsește pe poziția mediană în vectorul obținut prin interclasarea vectorilor având numerele de ordine i,i+1,…,j (i<j).

ONI 2014, Clasa a IX-a

#1103 Harta

Pe baza unei imagini preluate din satelit, se realizează harta unei mici localități. Localitatea ocupă o suprafață dreptunghiulară, cu laturile orientate pe direcțiile Nord-Sud, respectiv Est-Vest. Studiind imaginea obținută de la satelit, cartografii au constatat că toate cele k clădiri au forma unor dreptunghiuri distincte. Imaginea poate fi reprezentată sub forma unui tablou cu n•m celule așezate pe n linii numerotate de la 1 la n și m coloane numerotate de la 1 la m.

Numim drum, un dreptunghi al tabloului care străbate întreaga localitate pe direcția Est-Vest și are un număr maxim de linii sau un dreptunghi care străbate întreaga localitate pe direcția Nord-Sud și are un număr maxim de coloane. Drumurile, evident, nu trebuie să treacă prin clădiri.

Cartografii sunt interesați ca pe această hartă să fie reprezentate la scară doar clădirile, nu și drumurile. De aceea, pentru realizarea hărții, lățimile drumurilor au fost reduse la o singură celulă

Tabloul care reprezintă imaginea localității se codifică astfel: 1 pentru o celulă ocupată de o clădire și 0 pentru o celulă neocupată.

Cunoscând n, m și k, precum și tabloul care codifică imaginea, se cere să se determine:

1. Numărul S de celule ocupate de către clădirea pătratică cu latura maximă și numărul de clădiri C alese dintre celelalte k – 1 clădiri, cu proprietatea că fiecare dintre ele “încape” în interiorul clădirii pătratice cu latură maximă, fără să se suprapună peste celulele marginale ale acesteia.
2. Tabloul care reprezintă harta, în urma prelucrării imaginii inițiale.

ONI 2014, Clasa a IX-a

#1102 Bile2

Pe o masă cad n bile săltăreţe. Fiecare este lăsată să cadă liber de la o înălţime h, diferită pentru fiecare bilă. Toate bilele cad simultan, cu o viteză constantă (1m/s) .

Dându-se h şi k pentru fiecare dintre cele n bile, să se răspundă la m întrebări de forma: La ce înălţime faţă de masă se va afla bila x în momentul t ?

#1027 Cool

Se consideră un șir A format din N elemente naturale nenule. Numim secvență de lungime K a șirului A orice succesiune de elemente consecutive din șir de forma Ai, Ai+1 ,…, Ai+K-1.

O secvență o numim secvență cool dacă elementele care o compun sunt distincte și pot fi rearanjate astfel încât să alcătuiască o secvență continuă de numere consecutive.
De exemplu, considerând șirul A=(3,1,6,8,4,5,6,7,4,3,4), atunci secvența (8,4,5,6,7) este o secvență cool deoarece conține elemente distincte ce pot fi rearanjate astfel încât să alcătuiască șirul de numere consecutive 4,5,6,7,8, pe când secvențele (4,3,4), (6,7,4,3) nu sunt considerate secvențe cool.

Fiind dat un şir de N numere naturale nenule se cer următoarele:
1. Pentru o valoare dată K să se verifice dacă secvența A1, A2 ,…, AK este secvență cool. Dacă secvența este cool, atunci se va afișa cea mai mare valoare ce aparține secvenței. Dacă secvența nu este cool, atunci se va afișa numărul elementelor distincte din secvența A1, A2 ,…, AK , adică numărul elementelor care apar o singură dată.
2. Lungimea maximă a unei secvențe cool și numărul secvențelor cool de lungime maximă.

OJI 2014, Clasa a IX-a

#1097 Placare

O suprafaţă dreptunghiulară de înălţime N şi lăţime M unităţi trebuie acoperită perfect (placată) prin utilizarea unor plăci de formă dreptunghiulară de dimensiune 1 x P sau P x 1, unde P este un număr natural nenul. Suprafaţa dată poate fi privită ca un caroiaj cu NxM pătrăţele egale cu unitatea.

O placare corectă a suprafeţei iniţiale se memorează într-un fişier text folosind următoarele convenţii de codificare:

  • pe prima linie se precizează dimensiunile N şi M ale suprafeţei;
  • o placă dreptunghiulară de laţime P este codificată prin numărul natural P, iar o placă de înalţime P se codifică prin numărul întreg –P;
  • convenim ca placa având ambele dimensiuni egale cu unitatea să se codifice cu valoarea 1;
  • pe fiecare din cele N linii ale codificării se află câte un şir de valori întregi reprezentând, în ordine de la stânga la dreapta, codurile plăcilor care se găsesc amplasate începând de la respectiva linie;
  • codul P strict mai mare ca 1 al unei placi orizontale apare o singură dată pe linia corespunzătoare pe care se află placa, iar codul –P al unei placi verticale va apare o singură dată şi anume pe prima linie de la care placa respectivă este amplasată în jos pe o anumita coloană a suprafeţei;
  • dacă pe o anumită linie a suprafeţei nu există astfel de coduri de plăci, atunci pe respectiva linie din fişier este o singură valoare de 0.

Folosind codificarea unei placări a suprafeţei iniţiale, se poate determina imaginea acestei placări sub forma unui tablou bidimensional A, cu N linii şi M coloane, unde Aij = valoarea absolută a codului plăcii care se suprapune peste pătrăţelul de pe linia i şi coloana j.

Cunoscând codificarea unei placări corecte a suprafeţei date să se obţină imaginea acestei placări (matricea de valori corespunzătoare codificării suprafeţei).

OJI 2009, Clasa a IX-a

Costel are de rezolvat o temă grea la matematică: având la dispoziţie N numere naturale nenule trebuie să aşeze între acestea 2 operaţii de înmulţire şi N-3 operaţii de adunare, astfel încât rezultatul calculelor să fie cel mai mare posibil. Nu este permisă modificarea ordinii numerelor date.

De exemplu, dacă N=5 şi numerele sunt 4, 7, 1, 5, 3, operaţiile pot fi aşezate 4 + 7 * 1 + 5 * 3, 4 * 7 *1 + 5 + 3, e.t.c

Scrieţi un program care să aşeze două operaţii de înmulţire şi N-3 operaţii de adunare între cele N valori date astfel încât valoarea expresiei obţinute să fie maximă.

OJI 2009, Clasa a IX-a

Mariei îi plac numerele prime şi puterile numerelor prime. Pornind de la un număr prim p, ea construieşte noi numere, fiecare număr construit fiind un produs de forma py (y număr natural nenul) sau q∙pm, m număr natural şi q un număr prim, numindu-le numere p-prime. De exemplu, numerele 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 16, 17 sunt primele 13 numere 2-prime deoarece 2=21, 3=3•20, 4=22, 5=5•20, 6=3•21, 7=7•20, 8=23, 10=5•21, 12=3•22, 13=13•20, 14=7•21, 16=24, 17=17•20.

Într-o zi Maria a găsit o foaie de hârtie, pe care era scris un şir format din n numere naturale nenule.

Cum pe lângă numerele p-prime ea este pasionată şi de secvenţe, şi-a pus următoarea întrebare: câte secvenţe sunt pe foaie cu următoarele proprietăţi:

  • conţin exact k numere p-prime;
  • încep şi se termină cu un număr p-prim.

În plus, Maria doreşte să ştie care este poziţia de început şi cea de final, pentru fiecare secvenţă descoperită, relative la şirul scris pe foaia de hârtie.

Scrieţi un program care să citească mai multe seturi de date, fiecare set fiind format din numerele n, p, k, cu semnificaţiile din enunţ, şi şirul cu n elemente a1, a2, a3, … an, numerele Mariei. Programul va determina pentru fiecare set de date numărul secvenţelor ce conţin exact k numere p-prime, precum şi poziţiile de început şi de final ale acestor secvenţe în şirul din set.

OJI 2010, Clasa a VIII-a

Institutul de Fizică a Pământului studiază efectele unui potenţial cutremur folosind simulări computerizate. Harta plană a clădirilor de pe un teritoriu oarecare este reprezentată folosind coordonatele GPS în plan, longitudine şi latitudine, faţă de un reper considerat de coordonate (0,0), ca în figura de mai jos.

Fiecare dintre clădirile aflate pe hartă, au două coordonate GPS, (Longitudine, Latitudine) şi un Grad de rezistenţă la cutremure.

Un cutremur se poate produce în orice punct de coordonate de pe hartă, numit centrul seismului şi are o anumită intensitate. Unda de şoc se propagă sub forma unor pătrate concentrice cu centrul seismului, numite nivele (nivelul 0 reprezintă centrul seismului, nivelul 1 primul pătrat concentric, nivelul 2 al doilea pătrat concentric şi aşa mai departe). Intensitatea slăbeşte la fiecare pătrat concentric cu centrul seismului cu câte o unitate. Clădirile sunt afectate de cutremur doar dacă gradul lor de rezistenţă la cutremur este mai mic sau egal cu intensitatea cutremurului în poziţia clădirii.

Scrieţi un program care să citească coordonatele centrului seismului şi intensitatea sa în acel punct, precum şi coordonatele clădirilor şi gradul lor de rezistenţă la cutremur, şi apoi să determine:

a) numărul N total de clădiri afectate;
b) numărul M maxim de clădiri afectate pe un nivel;
c) numerele nivelelor cu M clădiri afectate, în ordinea crescătoare a numerelor acestor nivele.

OJI 2010, Clasa a VIII-a

#1088 Zar

Zarul folosit la diverse jocuri este un cub care are desenat pe fiecare faţă a sa 1, 2, 3, 4, 5 sau 6 puncte. Pe un zar nu există două feţe cu acelaşi număr de puncte şi suma punctelor de pe oricare două feţe opuse este egală cu 7.

Pe o masă de joc este desenat un traseu în formă de pătrat, cu latura de dimensiune n. Fiecare latură a traseului este împărţită în n pătrăţele identice, care au latura egală cu cea a zarului. Zarul este aşezat iniţial în colţul din stânga sus al traseului şi apoi rostogolit de pe o faţă pe alta, din pătrăţel în pătrăţel, de-a lungul traseului parcurs în sensul acelor de ceasornic.

În orice moment ne-am uita la zar, putem vedea numărul punctelor desenate pe trei din feţele sale (aşa cum se vede în desenul de mai sus).

Notăm cu f1 faţa cubului orientată spre noi, f2 faţa superioară a cubului, respectiv cu f3 faţa laterală din dreapta. Pentru exemplul din figură: n=4, faţa dinspre noi (f1) conţine trei puncte, faţa superioară (f2) conţine două puncte, faţa laterală din dreapta (f3) conţine un punct, iar sensul de deplasare este cel precizat prin săgeţi.

Cunoscând dimensiunea n a traseului şi numărul punctelor de pe cele trei feţe ale zarului în poziţia iniţială, determinaţi după k rostogoliri numărul punctelor ce se pot observa pe fiecare din cele trei feţe ale zarului.

OJI 2010, Clasa a VII-a

#1085 Loto

La Loteria Naţională există N bile inscripţionate cu numere naturale, nenule, distincte de cel mult 4 cifre. Şeful de la loterie primeşte o cutie în care se află cele 6 bile extrase la ultima rundă, restul bilelor neextrase fiind puse într-un seif. Deoarece are o fire poznaşă, el scoate din cutie bila pe care este înscris numărul cel mai mic şi o păstrează în buzunarul hainei sale. În locul ei va pune o bilă neextrasă, aflată în seif, având numărul cel mai apropiat de aceasta. Apoi continuă operaţia şi scoate din cutie şi bila pe care este înscris numărul maxim extras iniţial, pe care o va pune în celălalt buzunar al său. De asemenea o va înlocui cu o altă bilă neextrasă iniţial, aflată în seif, având numărul cel mai apropiat de aceasta.

Realizaţi un program care afişează în ordine crescătoare numerele de pe bilele aflate în cutie după modificările făcute de şef.

OJI 2010, Clasa a VI-a

#1086 Submit

Vasilică se antrenează pe un site de probleme cu evaluare online. Când el trimite pe site soluţia la o problemă, aceasta este evaluată pe un anumit număr de teste. Punctajul obţinut la problema respectivă va fi egal cu suma punctajelor obţinute la fiecare test. Punctajele asociate testelor pot fi diferite. În plus, dacă problema a fost complet rezolvată (a obţinut punctaj maxim la toate testele), Vasilică primeşte şi un bonus.

Vasilică poate trimite soluţia la o problemă de mai multe ori. Când trimite soluţia prima dată, punctajul se calculează în modul prezentat anterior. Când trimite soluţia a doua oară, Vasilică va fi penalizat cu două puncte (adică din punctajul total obţinut la problemă se scad două puncte). Când trimite soluţia a treia oară penalizarea este de 4 puncte, a patra oară de 6 puncte ş.a.m.d. Observaţi că la fiecare nouă încercare penalizarea creşte cu două puncte.

Date fiind rezultatele obţinute pe teste de Vasilică la fiecare soluţie trimisă, să se determine punctajul maxim pe care el l-a obţinut la problema respectivă.

OJI 2010, Clasa a VI-a

#1084 Tren

Un elev în clasa a V-a, Rareş, s-a gândit să studieze mersul trenurilor ce trec prin gara din oraşul său, într-o zi. Gara are 2 linii, numerotate cu 1 şi 2, pe care sosesc şi pleacă trenurile. În acea zi, în gară sosesc T trenuri. Pentru fiecare tren din cele T, Rareş cunoaşte linia L pe care va sosi, momentul sosirii, adică ora H şi minutul M, precum şi durata de timp S de staţionare (exprimată în minute). El a decis ca perioada de studiu a celor T trenuri să înceapă cu momentul sosirii primului tren în gară din cele T şi să se încheie odată cu momentul plecării ultimului tren din cele T.

Din sala de aşteptare Rareş poate vedea cele 2 linii. Rareş are însă o problemă: atunci când un tren se află în gară pe linia 1, el nu poate vedea trenul staţionat în acelaşi timp pe linia 2. De exemplu, dacă un tren ajunge în gară pe linia 1 la ora 14:21 şi staţionează 5 minute atunci trenul va pleca din gară la ora 14:26. Astfel, în intervalul de timp [14:21-14:26], Rareş nu poate vedea ce se întâmplă pe linia 2. Trenul de pe linia 2 va putea fi vizibil începând cu minutul următor, adică de la 14:27.

Scrieţi un program care să determine pentru un număr T de trenuri care trec prin gară în perioada de studiu din acea zi:

  • numărul maxim de trenuri Z care au staţionat pe aceeaşi linie;
  • numărul X de trenuri pe care Rareş le vede;
  • durata de timp maximă Y (exprimată în număr de minute consecutive), din perioada de studiu, în care Rareş nu a văzut niciun tren.

OJI 2010, Clasa a V-a

#1083 Sir5

Se generează un şir de numere naturale ai cărui primi termeni sunt, în ordine:

1, 12, 21, 123, 231, 312, 1234, 2341, 3412, 4123, 12345, 23451,...

Deduceţi regula după care sunt generaţi termenii şirului şi scrieţi un program care să citească numerele naturale k, x, a şi b şi care să determine:

a) ultima cifră a sumei tuturor termenilor şirului care sunt formaţi din cel mult k cifre;
b) succesorul termenului x în şirul dat, x fiind un termen al şirului;
c) numărul de termeni ai şirului care au cifra cea mai semnificativă egală cu a şi nu conţin în scrierea lor cifra b.

OJI 2010, Clasa a V-a

#1080 Livada

Norocosul Gigel tocmai a primit în dar de la bunicul său, Nelu, o imensă plantaţie de pomi fructiferi. Fost profesor de geometrie, Nelu a plantat în mod riguros pomii fructiferi pe m rânduri paralele, iar pe fiecare rând a plantat exact câte n pomi fructiferi. Însă, din motive mai mult sau mai puţin obiective, domnul Nelu nu a plantat pe fiecare rând toţi pomii de acelaşi soi, ci din mai multe soiuri diferite. Soiurile de pomi plantaţi în livadă sunt codificate cu numere naturale cuprinse între 1 şi p.

Cuprins de febra rigurozităţii matematice şi de cea a statisticii, Gigel a definit noţiunea de soi majoritar astfel: dacă pe un rând k format din n pomi fructiferi avem cel puţin [n/2]+1 pomi de acelaşi soi x, atunci spunem că soiul x este soi majoritar pe rândul k (prin [y] se înţelege partea întreagă a numărului real y).

Cunoscând numerele m, n şi p, precum şi soiul fiecărui pom de pe fiecare rând al plantaţiei, ajutaţi-l pe Gigel să determine:

  1. pe câte rânduri din livadă există un soi majoritar;
  2. care este cel mai mare număr de pomi de acelaşi soi plantaţi în poziţii consecutive pe un rând.

OJI 2010, Clasa a IX-a

#1081 Numar3

Se dă un număr raţional strict pozitiv q, sub formă de fracţie zecimală.

Să se determine două numere naturale a şi b astfel \( q= \frac{a}{b} \) încât iar modulul diferenţei dintre a şi b să fie minim.

OJI 2010, Clasa a IX-a

La secția de împachetare a produselor dintr-o fabrică lucrează n muncitori. Fiecare muncitor împachetează același tip de produs, și pentru fiecare se cunoaște timpul necesar pentru împachetarea unui obiect. Să se determine durata minimă de timp în care vor împacheta cei n muncitori cel puțin M obiecte.

#1072 Magic

Rămaşi singuri în pădure, Hansel şi Grettel, ştiu că singura lor şansă de supravieţuire este să găsească şi să intre în Castelul de Turtă Dulce. Poarta castelului este închisă şi pentru a intra este nevoie de un cuvânt magic şi de un număr fermecat.

Zâna cea Bună îi vede pe copii şi pentru că vrea să–i ajute le spune:
„Mergeţi tot înainte, iar în drumul vostru o să întâlniţi copaci pe a căror trunchiuri sunt scrise caractere reprezentând litere sau cifre. Cuvântul magic este format din toate caracterele literă în ordinea în care apar, dar scrise toate cu majuscule. Numărul fermecat este cel mai mic număr cu cifre distincte care se poate forma din caracterele cifră.”

Pentru a-i ajuta pe Hansel şi Grettel să intre în Castelul de Turtă Dulce, scrieţi un program care citeşte un număr natural n, apoi n caractere şi determină:

a) cuvântul magic;
b) numărul fermecat;

OJI 2011, Clasa a V-a

#1073 Numerus

La ora de matematică distractivă, domnul profesor Numerus propune elevilor săi să completeze cu numere naturale o grilă cu 6 coloane numerotate cu literele A, B, C, D, E şi F şi cu un număr infinit de linii. Grila va fi completată cu numere naturale, începând cu numărul 1. Pe liniile impare completarea se va face de la stânga la dreapta, iar pe cele pare de la dreapta la stânga. Ultimul număr de pe o linie va fi identic cu penultimul număr (în sensul completării) de pe aceeaşi linie.

În figura alăturată aveţi completate primele 7 linii ale grilei.

Deoarece pe tablă sau pe o foaie de hârtie numărul de linii este limitat, deci grila poate fi efectiv completată doar pentru un număr mic de linii, domnul profesor Numerus doreşte ca elevii săi să determine, cu ajutorul calculatorului, imaginea unei anumite linii a grilei şi locul sau locurile pe care se poate afla un număr natural dat.

Deduceţi regula după care se completează linia k a grilei şi scrieţi un program care să citească numerele naturale k şi n şi care să determine:

a) numerele naturale de pe linia k, vizualizate de la stânga la dreapta;
b) linia pe care se află în grilă numărul natural n;
c) coloana sau coloanele pe care se află în grilă numărul natural n.

OJI 2011, Clasa a V-a

#1076 Grupe

Se consideră un tablou bidimensional cu m linii, n coloane şi elemente numere naturale. Pentru fiecare element se determină numărul de divizori pozitivi. Se formează apoi grupe cu elementele tabloului care au acelaşi număr de divizori, grupe notate G1, G2, …, Gk. Se ordonează descrescător grupele după numărul de elemente ce le conţin. Se ştie că o grupă G1 se află în faţa unei alte grupe G2 dacă G1 are mai multe elemente decât G2 sau, în cazul în care cele două grupe conţin acelaşi număr de elemente, numărul de divizori ai elementelor din grupa G1 este mai mare decât numărul de divizori ai elementelor din grupa G2. După ordonarea descrescătoare a grupelor, notăm prima grupă cu A şi a doua grupă cu B. În cazul în care toate elementele vor avea acelaşi număr de divizori, va exista o singură grupă, grupa A.

Scrieţi un program care citeşte m, n, elementele tabloului şi afişează:
a) numărul de divizori pozitivi pentru grupa A, numărul de elemente din grupă şi cea mai mare valoare din grupă;
b) numărul de divizori pozitivi pentru grupa B, numărul de elemente din grupă şi cea mai mare valoare din grupă; în cazul în care nu există grupa a doua, se va afişa de trei ori valoarea 0.

OJI 2011, Clasa a VII-a

#1075 Grad1

Se consideră un şir x1, x2, …, xn de n numere naturale distincte, două câte două. Pentru o secvenţă de k numere (xp, xp+1, ..., xp+k-1), care începe cu numărul de pe poziţia p din şirul dat, definim gradul său ca fiind numărul de numere din secvenţă, care rămân pe aceleaşi poziţii după ordonarea crescătoare a secvenţei. De exemplu, pentru n=7 şi şirul format din numerele: 1, 5, 7, 4, 6, 2, 9, secvenţa formată din numerele 7, 4, 6, 2 (corespunzătoare lui p=3 şi k=4) are gradul egal cu 2 deoarece, după ordonarea crescătoare a numerelor din secvenţă, aceasta devine 2, 4, 6, 7, numerele 4 şi 6 rămânând pe aceleaşi poziţii.

Scrieţi un program care citeşte numerele n, k, x1, x2, …, xn, cu semnificaţia din enunţ, şi apoi determină:

a) gradul întregului şir de numere;
b) poziţia primului element din prima secvenţă de lungime k ce are gradul maxim, precum şi gradul acestei secvenţe.

OJI 2011, Clasa a VI-a

#1074 Carte

Rareş a primit în dar o carte în care paginile sunt amestecate. Se hotărăşte totuşi să o citească, răsfoind cartea într-un singur sens, de la prima pagină către ultima, în ordinea aşezării lor în carte, respectând următorul algoritm:

Caută la început pagina numerotată cu x=1.

După ce a citit pagina cu numărul x caută printre paginile următoare acestei pagini, răsfoind cartea, pagina cu numărul x+1, fără a căuta printre paginile aşezate înaintea paginii cu numărul x. Dacă o găseşte atunci va continua lectura în acelaşi mod, iar dacă nu o găseşte atunci va închide cartea şi, în ziua următoare, va relua lectura de la pagina cu numărul x+1, pe care mai întâi o va caută răsfoind cartea de la început.

Rareş va proceda la fel şi în zilele următoare până când va citi întreaga carte.

Scrieţi un program care citeşte un număr natural n, reprezentând numărul paginilor din carte şi n numere naturale distincte x1, x2,…, xn, reprezentând ordinea în care sunt aşezate cele n pagini în carte, şi care determină:
a) numărul zilelor în care Rareş citeşte cartea;
b) prima zi în care Rareş a citit cele mai multe pagini şi numărul paginilor citite în acea zi.

OJI 2011, Clasa a VI-a

#1071 OZN

O invazie de N farfurii zburătoare (denumite uzual OZN) dă bătăi de cap autorităţilor. În fiecare astfel de OZN se află extratereştri care au ca misiune distrugerea planetei noastre. Radarul care a detectat invazia are un ecran similar cu planul XOY. Fiecare OZN este reprezentat pe ecran printr-un segment de dreaptă.

Pentru anihilarea OZN-urilor, autorităţile dispun de K arme laser. Armele sunt poziţionate pe sol (ilustrat pe ecranul radarului prin axa OX). Fiecare armă emite o rază laser, ilustrată pe ecran printr-o paralelă cu axa OY. Dacă o rază laser intersectează segmentul de pe ecranul radarului corespunzător unui OZN, raza va omorî toţi extratereştrii aflaţi în OZN-ul respectiv.

Din păcate, în preajmă se află doar un militar specializat în arme laser, aşa că autorităţile doresc să ştie exact ce armă trebuie să folosească acesta pentru a distruge cât mai mulţi extratereştri.

Ajutaţi autorităţile să determine numărul de extratereştri care pot fi anihilaţi cu fiecare armă din dotare.

OJI 2012, Clasa a VIII-a

#705 2d

Gigel îşi imaginează lumea în varianta 2d, adică reprezentată în sistem de coordonate cartezian XOY. Fiecare persoană din grupul celor N prieteni ai săi este reprezentată în plan printr-un punct identificat prin abscisa şi ordonata sa. În lumea sa 2d, plouă ca în Anglia, iar picăturile de ploaie pică paralel cu axa OY, de la o înălţime infinită. Ca să îi ferească pe prietenii săi de ploaie, îşi propune să le construiască apărători pe care le va reprezenta pe hartă prin segmente de dreaptă.

Ştiind că nu poate să deseneze pe hartă decât segmente de lungimi egale, determinaţi care este lungimea minimă a unui segment astfel încât trasând cel mult K segmente, toți cei N prieteni ai săi să fie protejați de ploaie.

Lot Juniori, Baia Mare, 2013

#1070 Deal

Vasilică are la grădiniţă N turnuri cu înălţimile h1, h2, …, hN. Când aşază în linie nişte turnuri, cel puţin două, astfel încât înălţimile lor să fie în ordine crescătoare, Vasilică spune că a construit un deal. Înălţimea dealului este egală cu înălţimea celui mai înalt turn folosit. Iată, de exemplu, că aşezând în ordine turnurile cu înălţimile 2 4 4 7 9 a format un deal cu înălţimea 9.

Vasilică şi-ar dori să aşeze în linie cele N turnuri, formând o succesiune de dealuri astfel încât suma înălţimilor dealurilor formate să fie maximă.

Scrieţi un program care, cunoscând înălţimile celor N turnuri, va determina suma înălţimilor dealurilor ce se pot forma aşezând în linie cele N turnuri, maximă posibil.

OJI 2012, Clasa a VIII-a

#1065 Vase1

Specialiştii chimişti au reuşit crearea în laborator a unei game diversificate de substanţe lichide nemiscibile (care nu se amestecă între ele), de aceeaşi densitate şi de culori diferite.

Acest rezultat a fost utilizat de către specialiştii fizicieni pentru studiul principiului vaselor comunicante. Conform acestui principiu „într-un sistem de vase comunicante nivelul lichidului este acelaşi, indiferent de forma vaselor.“

Experimentele fizicienilor se desfăşoară astfel:

Într-un sistem cu două vase comunicante, gradat identic pe fiecare ramură cu 0, 1, 2, 3,…, fizicienii introduc un număr de n lichide, pe ramura din stânga sau pe ramura din dreapta. Volumele introduse din fiecare lichid, notate cu Vi (1≤i≤n), sunt numere naturale nenule pare astfel încât, la echilibru, orice lichid se va aşeza între două gradaţii de aceeaşi parte a unei ramuri sau pe cele două ramuri ale sistemului de vase comunicante. Lichidele sunt identificate prin intermediul culorii acestora, culori numerotate cu 1, 2, 3, … , n. Introducerea lichidelor în sistemul cu două vase comunicante se face în ordinea crescătoare a numerelor culorilor, începând cu lichidul de culoare 1.

Scopul experimentului este de a determina gradaţia maximă la care se ridică lichidele în sistemul cu două vase comunicante, precum şi între ce gradaţii se găseşte un lichid de culoare x, dintre cele introduse.

De exemplu, dacă în sistemul cu două vase comunicante se introduc n=3 lichide în ordinea: V1=4 lichid de culoare 1 introdus prin ramura din dreapta (operaţie codificată 4 D), V2=4 lichid de culoare 2 introdus prin ramura din stânga (operaţie codificată 4 S) şi V3=2 lichid de culoare 3 introdus prin ramura din stânga (operaţie codificată 2 S) atunci gradaţia maximă la care se ridică nivelul lichidelor în sistemul cu două vase comunicante este 5, iar lichidul de culoare x=2 se găseşte între gradaţiile: 3 pe ramura din stânga (3 S) şi 1 pe ramura din dreapta (1 D), conform figurii alăturate.

Să se scrie un program care cunoscând numărul n de lichide introduse în sistemul cu două vase comunicante, volumul Vi şi ramura prin care se face introducerea lichidului de culoare i (1≤i≤n), precum şi culoarea x, să calculeze gradaţia maximă la care se ridică lichidele în acest sistem la echilibru şi între ce gradaţii se găseşte lichidul de culoare x.

OJI 2011, Clasa a IX-a

#1064 Cri

Furnicuţa şi-a construit un depozit pentru grăunţe pe o suprafaţă de teren dreptunghiulară şi l-a compartimentat în N*M camere identice, de formă pătratică, dispuse câte M pe direcţia Ox şi câte N pe direcţia Oy. Din fiecare cameră se poate intra în orice cameră învecinată cu ea (cameră care are un perete comun cu aceasta).

În fiecare cameră, identificată prin coordonatele sale, ca în desenul alăturat în care N=5 şi M=4, furnica a depozitat o cantitate de grăunţe. De exemplu, în camera de coordonate (I,J) este depozitată cantitatea CIJ de grăunţe.

Atât intrarea cât şi ieşirea din depozit se poate face doar prin cele patru camere din colţurile depozitului, adică cele de coordonate (1,1), (1,M), (N,1) şi (N,M) care comunică cu exteriorul.

Pentru a asigura circulaţia aerului în depozit, furnica a montat un sistem de ventilaţie în camera de coordonate (X,Y).

Văzând ce multe grăunţe are furnica pentru iarnă, vecinul ei, leneşul greieraş Cri, s-a hotărât să fure din ele.

Cri s-a gândit să intre în depozit prin sistemul de ventilaţie din camera de coordonate (X,Y) şi să iasă prin una din cele 4 camere din colţurile depozitului care comunică cu exteriorul.

A studiat planul depozitului şi a împărţit camerele în patru zone:

  • prima zonă, numerotată cu 1, conţine toate camerele de coordonate (I,J) cu 1 ≤ I ≤ X şi 1 ≤ J ≤ Y, cu ieşirea prin camera de coordonate (1,1)
  • a doua zonă, numerotată cu 2, conţine toate camerele de coordonate (I,J) cu 1 ≤ I ≤ X şi Y ≤ J ≤ M, cu ieşirea prin camera de coordonate (1,M)
  • a treia zonă, numerotată cu 3, conţine toate camerele de coordonate (I,J) cu X ≤ I ≤ N şi 1 ≤ J ≤ Y, cu ieşirea prin camera de coordonate (N,1)
  • a patra zonă, numerotată cu 4, conţine toate camerele de coordonate (I,J) cu X ≤ I ≤ N şi Y ≤ J ≤ M, cu ieşirea prin camera de coordonate (N,M)

Cri va intra doar într-una din cele patru zone şi va fura grăunţele doar din camerele conţinute de zona aleasă. Pentru a nu declanşa alarma furnicuţei, el va trebui să treacă cel mult o dată prin fiecare cameră din zonă, să fure întreaga cantitate de grăunţe din aceasta şi să iasă din depozit prin camera ce comunică cu exteriorul, corespunzătoare zonei alese.

Cri va trebui să aleagă zona în care va intra astfel încât cantitatea totală T de grăunţe furate să fie maximă, iar numărul K de camere prin care va trece să fie minim.

Scrieţi un program care să determine numerele naturale Z, T şi K, unde Z reprezintă numărul zonei pe care va trebui s-o aleagă Cri astfel încât cantitatea totală T de grăunţe furate să fie maximă, iar numărul K de camere prin va trece să fie minim.

OJI 2011, Clasa a IX-a

#1062 Flori1

Lizuca are n flori ornamentale de înălţimi h1, h2, …, hn, exprimate în centimetri. Pentru a uda plantele, Lizuca stabileşte următorul program: în prima zi va alege o plantă pe care o va uda, în a doua zi va alege două plante pe care le va uda, în ziua a treia va alege trei plante pe care le va uda şi aşa mai departe. Dacă o plantă este udată într-o anumită zi, atunci creşte 1 centimetru până la sfârşitul acelei zile, iar dacă nu este udată, rămâne la înălţimea pe care o avea la sfârşitul zilei precedente.

Scrieţi un program care determină:

a) un număr natural S, exprimat în centimetri, reprezentând suma înălţimilor finale ale tuturor plantelor, dacă Lizuca le-ar uda după procedeul descris, timp de n zile;
b) un număr natural K, reprezentând numărul maxim de zile în care Lizuca poate uda florile după procedeul descris anterior, astfel ca la sfârşitul celei de a K-a zi, nicio plantă ornamentală să nu atingă înălţimea H.

OJI 2012, Clasa a VI-a

#979 Alice

Într-o zi frumoasă de vară, Alice se juca în parc. Deodată, văzu un iepure cu ceas, numit Iepurele Alb, sărind grăbit în scorbura unui copac. Curioasă, Alice îl urmări şi sări şi ea în scorbură. Spre mirarea ei, ajunse într-o sală mare cu N uşi încuiate. Pe fiecare uşă era scris câte un număr natural. Într-o clipă, lângă ea apăru Iepurele Alb şi-i spuse că doar uşile cu numere magice pot fi deschise dacă are cheile potrivite. Pentru a o ajuta, Iepurele Alb i-a explicat că un număr magic este un număr natural care poate fi redus la o cifră prin complementarea cifrelor acestuia faţă de cifra sa maximă din scrierea zecimală, apoi prin complementarea cifrelor numărului obţinut faţă de cifra sa maximă şi aşa mai departe până când se obţine o cifră. Evident, nu toate numerele naturale sunt numere magice. De exemplu, uşa cu numărul 1234 poate fi deschisă cu cheia inscripţionată cu cifra 1 deoarece 1234 este un număr magic ce poate fi redus la cifra 1 prin complementări repetate (1234→3210→123→210→12→10→1), iar uşa cu numărul 1204 nu poate fi deschisă deoarece 1204 nu este un număr magic (indiferent de câte ori s-ar repeta complementarea nu poate fi redus la o cifră: 1204→3240→1204→3240→1204 ... ).

Înainte să dispară, Iepurele Alb îi dădu o cheie aurie inscripţionată cu cifra K şi o avertiză că poate deschide cu această cheie doar uşile cu numere magice ce pot fi reduse la cifra K.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale N, K şi cele N numere naturale scrise pe cele N uşi, şi care să determine:

a) cel mai mare număr par dintre numerele scrise pe cele N uşi;
b) numărul uşilor care pot fi deschise cu cheia aurie inscripţionată cu cifra K.

OJI 2012, Clasa a V-a

#1061 Cifru1

Costel a descoperit într-o debara servieta cu cifru a tatălui său. Cifrul este compus din 4 discuri metalice pe care sunt inscripţionate cifrele de la 0 la 9. Fiecare disc se poate mişca individual, de sus în jos sau de jos în sus, formându-se combinaţii de cifre. De multe ori, datorită comodităţii, combinaţia ce permite deschiderea servietei este formată numai din cifre identice: 0000, 1111 etc.

Costel îşi imaginează un cifru compus din N discuri metalice, fiecare având inscripţionate cifrele de la 0 la 9, fiecare putând fi deplasat în cele două direcţii specificate anterior. Prin mutare Costel înţelege deplasarea unui disc în sus sau în jos, cu o singură poziţie, adică deplasarea discului până la cifra precedentă, respectiv următoare celei curente.

Realizaţi un program care, cunoscând poziţia iniţială a fiecărui disc dintre cele N discuri ale cifrului, determină şi afişează:

a) cifra cea mai mare care apare pe discurile cifrului în forma iniţială;
b)
b1) numărul minim de mutări necesare pentru ca numărul obţinut pe cifru să fie compus numai din cifre identice, număr necesar deschiderii servietei;
b2) cifra cea mai mică ce se poate obţine în urma efectuării numărului minim de mutări determinat;
b3) numărul de combinaţii formate din cifre identice, care se poate obţine în urma efectuării numărului minim de mutări determinat.

OJI 2012, Clasa a VI-a

#1060 Porumb

Locuitorii planetei Agria, numiţi agri, au hotărât ca în celebrul an 2012 să le explice pământenilor cum trebuie cules „eficient” un rând cu n porumbi, numerotaţi, în ordine, cu 1, 2, 3,..., n.

Cei n porumbi sunt culeşi de mai mulţi agri. Primul agri merge de-a lungul rândului, plecând de la primul porumb şi culege primul porumb întâlnit, al treilea, al cincilea şi aşa mai departe până la capătul rândului.

Atunci când ajunge la capătul rândului, porneşte al doilea agri şi culege porumbi respectând aceeaşi regulă ca şi primul agri.

Metoda se repetă până când toţi porumbii sunt culeşi.

Pământeanul Ionel încearcă să descopere ce ascunde această metodă şi se gândeşte câţi porumbi culege primul agri, câţi agri culeg un rând cu n porumbi, la a câta trecere este cules porumbul cu numărul x şi care este numărul ultimului porumb cules.

Exemplu: Dacă pe un rând sunt n=14 porumbi atunci sunt 4 agri care culeg porumbii:






  • primul agri culege porumbii 1,3,5,7,9,11,13;
  • al doilea agri culege porumbii 2,6,10,14;
  • al treilea agri culege porumbii 4 şi 12;
  • ultimul agri culege porumbul 8.


Pentru a-l ajuta pe Ionel să descopere secretul acestei metode, scrieţi un program care citeşte cele două numere naturale n şi x şi care determină:

a) numărul de porumbi culeşi de primul agri;
b) numărul de agri care culeg şirul de n porumbi;
c) numărul trecerii la care este cules porumbul cu numărul x;
d) numărul ultimului porumb cules.

OJI 2012, Clasa a V-a

Se dau n numere naturale, unde n este număr par. Să se calculeze suma produselor dintre fiecare număr din prima jumătate și fiecare număr din a doua jumătate a șirului de numere date.

#1058 Puncte1

Andrei se descurcă foarte bine la geometrie şi de aceea născoceşte tot felul de jocuri pe care le testează cu Alexandru, colegul său de bancă. Pentru a pregăti noul joc cu trei niveluri, Andrei desenează pe o foaie de matematică reperul cartezian xOy şi mai multe puncte distincte. Fiecare punct desenat are atât abscisa x, cât şi ordonata y, numere întregi.

La primul nivel, Alexandru determină numărul maxim de puncte (dintre cele desenate) aflate pe una dintre axele sistemului cartezian sau pe o dreaptă paralelă cu una dintre cele două axe.
La al doilea nivel, Alexandru consideră toate punctele desenate a căror abscisă x şi ordonată y verifică cel puţin una dintre relaţiile x=y sau x+y=0 şi apoi calculează câte drepte distincte trec prin cel puţin două dintre aceste puncte.

La al treilea nivel, Alexandru numără şi şterge punctele din 3 în 3 (primul, al 4-lea, al 7-lea etc.), începând cu cel mai din stânga punct desenat şi continuând către dreapta. Dacă două sau mai multe puncte au aceeaşi abscisă, el le numără pe acestea de jos în sus (începând de la punctul cu ordonata cea mai mică). Când a ajuns cu număratul la cel mai din dreapta punct continuă cu cel mai din stânga punct rămas.

Alexandru se opreşte cu numărarea şi ştergerea când rămâne un singur punct desenat pe foaie.

Scrieţi un program care citeşte numărul natural nenul N, apoi cele 2*N numere întregi ce reprezintă coordonatele celor N puncte şi determină:

a) NRP, numărul maxim de puncte (dintre cele desenate) aflate pe una dintre axele sistemului cartezian sau pe o dreaptă paralelă cu una dintre cele două axe;
b) NRD, numărul de drepte distincte care trec prin cel puţin două dintre punctele desenate a căror abscisa x şi ordonată y verifică cel puţin una dintre relaţiile x=y sau x+y=0;
c) XP reprezentând abscisa punctului rămas pe foaie la sfârşitul celui de-al treilea nivel al jocului.

OJI 2013, Clasa a VIII-a

#1057 MaxP

Considerăm un şir de numere a1, a2, …, aN. O secvenţă nevidă în acest şir este de forma ai, ai+1, …, aj, unde i ≤ j. De exemplu, pentru N=4 şi şirul 2 3 4 3, secvenţele nevide sunt: 2, 2 3, 2 3 4, 2 3 4 3, 3, 3 4, 3 4 3, 4, 4 3, 3. Definim puterea unui element ai ca fiind numărul de secvenţe care-l conţin pe ai şi în care ai este strict mai mare decât celelalte elemente ale fiecăreia dintre respectivele secvenţe. Astfel în şirul 2 3 4 3 puterea elementului a1 este 1 (fiind maxim doar în secvenţa formată din el însuşi), a elementului a2 este 2 (a2 fiind maxim în secvenţele 2 3 şi 3), a elementului a3 este 6 (fiind maxim în secvenţele 2 3 4, 2 3 4 3, 3 4, 3 4 3, 4 şi 4 3), iar a elementului a este 1.

Scrieţi un program care determină puterea cea mai mare a unui element din şirul dat, precum şi numărul de elemente din şir care au cea mai mare putere.

OJI 2013, Clasa a VIII-a

#1055 Compar

Ana şi Bogdan au inventat jocul “Compar”. Ana scrie pe tablă o secvenţă formată din N numere naturale distincte cuprinse între 1 şi N, apoi compară fiecare două numere învecinate din secvenţă scriind între ele semnul < sau semnul >, după caz.
De exemplu, dacă secvenţa de pe tablă este 6 4 2 1 3 5, după compararea elementelor învecinate şi inserarea semnelor în secvenţă, Ana obţine:
6>4>2>1<3<5
După aceea Ana şterge cele N elemente ale secvenţei şi păstrează numai semnele, astfel:
>>><<
La final, Ana îi arată lui Bogdan şirul semnelor şi îi cere să reconstituie secvenţa de numere naturale scrisă iniţial pe tablă.

Cunoscând şirul semnelor construit de Ana, scrieţi un program care să îl ajute pe Bogdan să reconstituie secvenţa de numere naturale distincte scrisă iniţial pe tablă.

OJI 2013, Clasa a VII-a

#1054 Galbeni

După ce au descoperit ascunzătoarea piratului Spânu, marinarii de pe corabia “Speranţa” au hotărât să ofere sătenilor o parte din comoara acestuia. Întrucât comoara avea un număr nelimitat de bani din aur, numiţi galbeni, singura problemă a marinarilor a fost regula după care să împartă banii.

După îndelungi discuţii au procedat astfel: i-au rugat pe săteni să se aşeze în ordine la coadă şi să vină, pe rând, unul câte unul pentru a-şi ridica galbenii cuveniţi. Primul sătean a fost rugat să îşi aleagă numărul de galbeni, cu condiţia ca acest număr să fie format din exact K cifre. Al doilea sătean va primi un număr de galbeni calculat astfel: se înmulţeşte numărul de galbeni ai primului sătean cu toate cifrele nenule ale acelui număr, rezultatul se înmulţeşte cu 8 şi apoi se împarte la 9 păstrându-se doar ultimele K cifre ale câtului împărţirii. Dacă numărul obţinut are mai puţin de K cifre, atunci acestuia i se adaugă la final cifra 9, până când se completează K cifre.

Pentru a stabili câţi galbeni primeşte al treilea sătean, se aplică aceeaşi regulă, dar pornind de la numărul de galbeni ai celui de-al doilea sătean. Regula se aplică în continuare fiecărui sătean, plecând de la numărul de galbeni primiţi de săteanul care a stat la coadă exact în faţa lui.

Cunoscând numărul de galbeni aleşi de primul sătean, determinaţi numărul de galbeni pe care îl va primi al N-lea sătean.

OJI 2013, Clasa a VI-a

#1053 Cladiri

Având mai multe cuburi la dispoziţie, Crina şi Rareş au hotărât să construiască clădiri prin alipirea a două sau mai multor turnuri. Turnurile au fost obţinute prin aşezarea cuburilor unul peste celălalt. Înălţimea unui turn este dată de numărul de cuburi din care este format.
Clădirile construite au fost aşezate în linie, una lângă alta formând astfel o stradă, pe care cei doi copii se vor plimba.

Pentru numerotarea clădirilor Crina şi Rareş au stabilit următoarele reguli:

  • Crina porneşte dintr-un capăt al străzii, iar Rareş din celălalt capăt al acesteia; fiecare dintre ei traversează strada complet, trecând prin dreptul fiecărei clădiri
  • Crina lipeşte pe fiecare clădire câte un bileţel pe care scrie înălţimea turnurilor din care aceasta este construită, în ordinea în care ea le vede când trece prin dreptul lor (de exemplu, pentru imaginea de mai sus, Crina va lipi pe prima clădire un bileţel pe care va scrie numărul 3112 deoarece, primul turn e format din 3 cuburi, următoarele două turnuri ale acestei clădiri sunt formate din câte un cub iar cel de-al patrulea turn e format din 2 cuburi);
  • Rareş va proceda la fel, dar începe plimbarea din celalalt capăt al străzii. În exemplul din imagine, el va lipi pe prima clădire pe care o întâlneşte un bileţel pe care scrie numărul 2121.
  • La finalul plimbării, Crina şi Rareş îşi dau seama că există clădiri pe care au lipit amândoi bileţele cu numere identice.

a) Care este înălţimea celui mai înalt turn şi care este numărul clădirilor care au în construcţia lor un astfel de turn?
b) Care este numărul clădirilor pe care cei doi copii au lipit bileţele cu numere identice?
c) Care este cel mai mic număr de cuburi necesar pentru a completa clădirile astfel încât, pe fiecare clădire, bileţelul pe care îl va lipi Crina să conţină acelaşi număr cu cel pe care îl va lipi Rareş? Cuburile din care a fost construită iniţial clădirea nu se pot muta.

OJI 2013, Clasa a VI-a

Lui Gigel, elev în clasa a V-a, îi place grozav de tare să se joace cu cifrele, cu numerele şi creează tot felul de probleme pe care apoi încearcă să le rezolve. Acum se joacă cu o cutie de chibrituri şi formează cu ele cifre. Apoi privirea i-a căzut pe cadranul unui ceas electronic şi a văzut că cifrele sunt formate din segmente orizontale şi verticale şi a început să formeze cu chibriturile cifrele care indică ora (vezi figura). Şi imediat şi-a pus o întrebare: “oare dacă am n chibrituri puse vertical şi m chibrituri puse orizontal, care este ora minimă pe care o pot forma cu aceste chibrituri?”

Fiind date un număr n de chibrituri verticale şi un număr m de chibrituri orizontale, să se scrie un program care determină numărul de ore posibile, ora minimă şi ora maximă care se pot forma cu aceste chibrituri, în modul indicat mai sus, utilizând toate chibriturile respective şi nemodificând orientarea acestora.

OJI 2013, Clasa a V-a

#1051 Bete1

Ana şi Bogdan au găsit la bunicul lor o cutie cu N beţe de aceeaşi lungime. După câteva minute de joacă urmează cearta. Bunicul le-a propus să rupă cele N beţe și apoi Ana să primească fragmentele din mâna stângă, iar Bogdan fragmentele din mâna dreaptă. Zis şi făcut. Copiii au luat fragmentele, le-au numerotat fiecare cu numere de la 1 la N, le-au măsurat şi acum îşi doresc să lipească fragmentele primite, dar mai au nevoie de câteva informaţii.

Cunoscând N numărul de beţe, a1, a2,…, aN lungimile fragmentelor primite de Ana şi b1, b2,…, bN lungimile fragmentelor primite de Bogdan, să se scrie un program care să determine:

a) lungimea iniţială a beţelor;
b) lungimea celui mai lung băţ care se poate obţine prin lipirea unui fragment aparţinând Anei cu un fragment care aparţine lui Bogdan;
c) numărul beţelor de lungime maximă care se pot obţine prin lipirea unui fragment aparţinând Anei cu un fragment care aparţine lui Bogdan.

OJI 2013, Clasa a V-a

#1050 TCIF

Avem la dispoziţie patru numere naturale N, A, B, C, precum şi trei cifre c1, c2, c3 distincte două câte două.

Să se determine numărul natural minim, strict mai mare decât N, care are exact A cifre c1, B cifre c2, C cifre c3 şi nu conţine alte cifre.

OJI 2014, Clasa a VIII-a

#1049 Arrows

“Arrows” este un joc care se joacă pe o tablă dreptunghiulară a cărei suprafaţă este împărţită în NxM celule, aranjate pe N linii şi M coloane. În fiecare celulă se află o săgeată (sus, jos, stânga sau dreapta), ca în figura de mai jos:

Când este la mutare, un jucător poate alege o poziţie de start pe care plasează un jeton, apoi deplasează jetonul la celula învecinată în sensul indicat de săgeată. Deplasarea continuă până când jetonul părăseşte tabla de joc, caz în care jucătorul obţine un punctaj egal cu numărul de celule parcurse de jetonul său.

Există însă poziţii de start denumite favorabile, pentru care jetonul nu va părăsi niciodată tabla de joc. De exemplu, toate poziţiile din figură cu fundal gri sunt favorabile. Jucătorul care alege o poziţie de start favorabilă obţine un punctaj egal cu numărul de celule distincte vizitate înmulţit cu 1000.

Scrieţi un program care, cunoscând configuraţia tablei de joc, rezolvă una dintre următoarele cerinţe:

1. determină punctajul pe care îl obţine un jucător care plasează jetonul său pe o poziţie de start specificată;
2. determină numărul de celule favorabile de pe tabla de joc;
3. determină punctajul maxim pe care jucătorul îl poate obţine la o mutare, alegând convenabil poziţia de start.

OJI 2014, Clasa a VIII-a

#1048 Schi

La proba de sărituri cu schiurile din cadrul jocurilor olimpice de iarnă participă N concurenți, numerotați cu numere de la 1 la N.

Regulile de desfășurare a probei sunt următoarele:

  • concurenții evoluează pe rând, în ordine de la 1 la N;
  • fiecare concurent va efectua o singură săritură;
  • după efectuarea săriturii fiecare concurent primește un anumit punctaj;
  • pe tot parcursul concursului, comisia de arbitri are obligația să alcătuiască o listă cu punctajele obținute de concurenți, în ordinea evoluției lor;
  • evoluția unui concurent durează exact un minut;
  • nu se face pauză între evoluțiile a doi concurenți care au numere de ordine consecutive;
  • afișarea punctajului nu necesită timp suplimentar după efectuarea săriturii;
  • proba se încheie la un minut după evoluția ultimului concurent.

Pe tot parcursul concursului se ține în mod neoficial și un clasament parțial, pe baza rezultatelor obținute de concurenții care au evoluat până în acel moment. Asta pentru că șeful comisiei de arbitri are o curiozitate aparte și pune K întrebări sub forma următoare: Câte minute s-a ocupat primul loc din clasament cu un punctaj egal cu X puncte? Dacă nici un concurent nu s-a clasat pe primul loc cu X puncte atunci primește ca răspuns valoarea 0.

Scrieți un program care determină răspunsul pentru fiecare dintre cele K întrebări puse de șeful comisiei de arbitri.

OJI 2014, Clasa a VII-a

#1046 Munte

Se consideră un şir x1, x2,…, xn format din n numere naturale distincte. O secvenţă de număr maxim de elemente vecine în şir, de forma xi, xi+1,…, xk-1, xk, xk+1,…, xj (1≤i<k<j≤n) cu proprietatea că xi < xi+1 < ...< xk-1 < xk > xk+1 > ... > xj, se numeşte munte cu vârful xk. Două secvenţe munte au maxim un element comun în şir. O secvenţă munte are cel puţin 3 elemente. Un exemplu de şir format cu valorile 3 4 6 8 nu conţine nicio secvenţă munte, iar unul format cu valorile 3 4 8 1 2 5 0 conţine 2 secvenţe munte: 3 4 8 1 şi 1 2 5 0.

După determinarea tuturor secvenţelor munte şi a vârfurilor acestora, se elimină din şir vârfurile secvenţelor munte şi procedura continuă repetat cu determinarea noilor secvenţe munte şi a vârfurilor lor din şirul nou obţinut. Procedura se opreşte în momentul în care în şir nu mai există nicio secvenţă munte.

Scrieţi un program care citeşte numerele n, x1, x2, …, xn şi apoi determină:

a) numărul de secvenţe munte din şirul iniţial;
b) numărul total de secvenţe munte obţinute pornind de la şirul iniţial până la cel care nu mai conţine nicio secvenţă munte;
c) numărul de elemente din şirul final care nu mai conţine secvenţe munte.

OJI 2014, Clasa a VI-a

Cif-Oji6 este o imprimantă matriceală numită şi imprimantă cu ace, deoarece tipărirea se realizează prin impactul acelor capului de imprimare pe o bandă cu tuş.
Acele sunt aranjate într-o grilă dreptunghiulară formată din 5 rânduri de ace, pe fiecare rând aflându-se la distanţe egale câte 3 ace, aşa cum se observă în figura alăturată.
Prin acţionarea diferitelor combinaţii de ace din grilă, se defineşte forma fiecărei cifre ce permite tipărirea acesteia prin puncte, în felul următor:

De exemplu, cifra 2 va fi tipărită prin 11 puncte ca rezultat al acţionării a 11 ace din grilă: din primul rând de ace al grilei se vor acţiona toate cele 3 ace, din următorul rând doar acul din dreapta, apoi de pe următorul rând toate cele 3 ace, apoi acul din stânga de pe penultimul rând iar din ultimul rând toate cele 3 ace.

a) Ştiind că imprimanta Cif-Oji6 a tipărit numărul N, determinaţi care este cea mai mare cifră a numărul N pentru care s-a acţionat un număr minim de ace ale grilei.
b) Ştiind că imprimanta mai are tuş pe bandă doar pentru imprimarea a K puncte, determinaţi cel mai mare număr natural ce poate fi tipărit prin exact K puncte.

OJI 2014, Clasa a VI-a

Fascinat de Egiptul Antic, Rareș vrea să construiască cât mai multe piramide din cartonașe pătratice identice. El are la dispoziție N cartonașe numerotate de la 1 la N, albe sau gri, așezate în ordinea strict crescătoare a numerelor.

  • Prima piramidă o va construi folosind primele trei cartonașe. Baza piramidei va fi formată din cartonașele 1 și 2 așezate alăturat, peste care va așeza cartonașul 3 (vârful piramidei).
  • A doua piramidă va avea baza formată din cartonașele 4,@5@ și 6 așezate alăturat, deasupra cărora se vor așeza cartonașele 7 și 8, alăturate, peste care se va așeza cartonașul 9 (vârful piramidei).
  • Mai departe, va construi în ordine piramidele complete cu bazele formate din 4 cartonașe (cu numerele de la 10 la 13), respectiv 5 cartonașe (cu numerele de la 20 la 24), 6 cartonașe (cu numerele de la 35 la 40) etc., cât timp va putea construi o piramidă completă. De exemplu, dacă Rareș are N=75 cartonașe atunci el va construi piramidele complete 1,@2@,@3@,@4@ și 5 din imaginile următoare. Din cele 75 de cartonașe el va folosi doar primele 55 de cartonașe, deoarece ultimele 20 cartonașe nu sunt suficiente pentru a construi piramida 6, cu baza formată din 7 cartonașe.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale N (reprezentând numărul de cartonașe), X (reprezentând numărul unui cartonaș), K (reprezentând numărul de cartonașe albe), numerele celor K cartonașe albe c1, c2, …, cK și care să determine:

a) numărul P al piramidei complete ce conține cartonașul numerotat cu X;
b) numărul M maxim de piramide complete construite de Rareș;
c) numărul C de cartonașe nefolosite;
d) numărul A al primei piramide complete care conține cele mai multe cartonașe albe.

OJI 2014, Clasa a V-a

Gică şi Lică lucrează la o fabrică de jucării, în schimburi diferite. Anul acesta patronul fabricii a hotărât să confecţioneze şi mărţişoare. Mărţişoarele gata confecţionate sunt puse în cutii numerotate consecutiv.

Cutiile sunt aranjate în ordinea strict crescătoare şi consecutivă a numerelor de pe acestea.
Gică trebuie să ia, în ordine, fiecare cutie, să lege la fiecare mărţişor câte un şnur alb-roşu şi apoi să le pună la loc în cutie.

În fiecare schimb, Gică scrie pe o tablă magnetică, utilizând cifre magnetice, în ordine strict crescătoare, numerele cutiilor pentru care a legat șnururi la mărțișoare.

Când se termină schimbul lui Gică, Lică, care lucrează în schimbul următor, vine şi ambalează cutiile cu numerele de pe tablă şi le trimite la magazine. Totul merge ca pe roate, până într-o zi, când, două cifre de pe tablă se demagnetizează şi cad, rămânând două locuri goale. Lică observă acest lucru, le ia de jos şi le pune la întâmplare pe tablă, în cele două locuri goale. Singurul lucru de care ţine cont este acela că cifra 0 nu poate fi prima cifră a unui număr.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale N (reprezentând numărul de numere scrise pe tablă) şi c1, c2, …, cN (reprezentând numerele scrise, în ordine, pe tablă, după ce Lică a completat cele două locuri goale cu cifrele căzute) și care să determine:
a) cele două cifre care au fost schimbate între ele, dacă, după ce au completat locurile goale, acestea au schimbat șirul numerelor scrise de Gică;
b) numărul maxim scris pe tablă de Gică.

OJI 2014, Clasa a V-a

O clepsidră este un dispozitiv folosit pentru a măsura timpul. Clepsidra este alcătuită din două incinte de sticlă, conectate printr-un tub fin. Una dintre incinte este umplută cu nisip, acesta scurgându-se în cea de-a doua incintă, cu o viteză constantă. Clepsidra poate fi întoarsă, pentru a măsura o altă perioadă de timp.

Arheologii au descoperit un dispozitiv, pe care l-au denumit clepsidru, format din n clepsidre identice, suprapuse, numerotate de la 1 la n, prin care nisipul poate circula de la o clepsidră la alta datorită forţei gravitaţionale.

Studiind acest obiect, arheologii au constatat că :

  • dispozitivul poate fi utilizat atât în poziţia 1, când clepsidrele sunt în ordinea 1, 2 ,…, n cu clepsidra n aşezată pe sol, cât şi în poziţia 2, când clepsidrele sunt în ordinea n, n-1,…, 1 cu clepsidra 1 aşezată pe sol;
  • viteza de trecere a nisipului de la o incintă la alta, a aceleiaşi clepsidre, este de 1 bob de nisip/secundă, pentru toate clepsidrele, indiferent de poziţie;
  • trecerea clepsidrului dintr-o poziţie în alta presupune răsturnarea acestuia şi reaşezarea boabelor de nisip;
  • timpul de trecere a boabelor de nisip de la o clepsidră la alta este 0.

Arheologii studiază comportarea clepsidrului realizând două experimente diferite, după cum urmează:

a) Se aşează clepsidrul în poziţia 1, se introduc în incinta de sus a clepsidrei 1 un număr b de boabe de nisip şi se determină după câte secunde vor ajunge toate boabele de nisip în incinta de jos a ultimei clepsidre;
b) Se aşează clepsidrul în poziţia 1, se introduc în incinta de sus a clepsidrei 1 un număr b de boabe de nisip, apoi se aşează clepsidrul în k stări consecutive, o stare fiind caracterizată de valorile si şi pi , 1 ≤ i ≤ k, ce reprezintă numărul de secunde, respectiv poziţia, în care este menţinut nemişcat clepsidrul, iar la final se determină numărul de boabe de nisip din incintele fiecărei clepsidre.

Spre exemplu, dacă clepsidrul este format din n=2 clepsidre, iar în incinta de sus a primei clepsidre se introduc b=3 boabe de nisip, la primul experiment se va obţine valoarea 4.

La al doilea experiment se aşează clepsidrul în k=2 stări, caracterizate prin s1=3, p1=1; s2=1, p2=2.

Numărul de boabe de nisip din clepsidre va evolua ca în figura alăturată.

Să se scrie un program care citeşte valorile n şi b, precum şi valorile k, si, pi , 1 ≤ i ≤ k, şi calculează valorile obţinute de arheologi la realizarea celor două experimente.

OJI 2013, clasa a IX-a

#1039 Betasah

Jocul betaşah se joacă folosindu-se doar piese asemănătoare damelor clasicului şah, numite tot dame. Suprafaţa de joc are o formă triunghiulară şi este formată din N*(N+1)/2 pătrate identice dispuse pe N rânduri şi N coloane. Rândurile se numerotează de sus în jos, de la 1 la N. Coloanele se numerotează de la stânga la dreapta, de la 1 la N. Primul rând conţine un singur pătrat, al doilea rând conţine două pătrate alăturate,…, al N-lea rând conţine N pătrate alăturate, ca în suprafeţele de joc cu N=6 din figurile de mai jos. Din cele N*(N+1)/2 pătrate, K sunt gri, iar restul sunt albe. Poziţia fiecărui pătrat de pe suprafaţa de joc este dată de rândul şi coloana în care acesta este situat.

Pe suprafaţa de joc sunt aşezate D dame în D pătrate albe distincte, ocupându-le. Într-un pătrat alb poate fi aşezată o singură damă, iar într-un pătrat gri nu poate fi aşezată nicio damă. Poziţia unei dame pe suprafaţa de joc este dată de poziţia pătratului alb în care este aşezată dama.

Damele pot accesa orice pătrat alb neocupat situat pe direcţiile: verticală, orizontală sau diagonală, numerotate de la 1 la 8 în figura b). Accesul pe o direcţie se face trecând din pătrat alb în pătrat alb (doar pătrate albe neocupate) până la întâlnirea unui pătrat gri sau a unui pătrat alb ocupat de o altă damă sau până la terminarea suprafeţei de joc.

Numim pătrat accesibil orice pătrat alb neocupat (de pe suprafaţa de joc) care ar putea fi accesat de cel puţin una din cele D dame.

De exemplu, pentru suprafaţa de joc din figura c) numărul de pătrate accesibile (marcate cu X) de pe suprafaţă este 11; pentru suprafaţa de joc cu N=6, D=3 şi K=4 din figura d) numărul de pătrate accesibile de pe suprafaţă este 13. În figura e) sunt marcate cu X pătratele accesibile fiecărei dame de pe suprafaţa de joc din figura d).

Pătratele accesibile damei din rândul 3 şi coloana 2 Pătratele accesibile damei din rândul 5 şi coloana 2 Pătratele accesibile damei din rândul 5 şi coloana 4 Pătratele accesibile de pe suprafaţa de joc
Figura e)

Scrieţi un program care să citească numerele naturale N, D, K, poziţiile damelor şi ale pătratelor gri pe suprafaţa de joc şi care să determine:
a) numărul maxim M de pătrate albe conţinute de un rând al suprafeţei de joc;
b) numărul P de pătrate accesibile de pe suprafaţa de joc.

OJI 2013, clasa a IX-a

#617 Piese

Considerăm o tablă de șah pătratică formată din 2n linii și 2n coloane, unde n este un număr natural nenul, formată din 2n*2n zone. Aceasta poate fi acoperită, cu excepția unei singure zone, cu piese în formă de L, fiecare piesă acoperind 3 zone. De exemplu, pentru n=2, o acoperire este următoarea, în care zona neagră este cea neacoperită de piese:

Pentru n dat, determinați o modalitate de acoperire a tablei cu piese, astfel încât să nu se suprapună piesele și să rămână o singură zonă neacoperită.

#1034 Roata

Una dintre atracţiile celebrului parc de distracţii Prater din Viena este Marea Roată Vieneză. Din ea se poate admira priveliştea întregii Viene.

Roata are n cabine, numerotate de la 1 la n în sens orar şi dispuse simetric pe circumferinţa roţii. Îmbarcarea clienţilor se face în cabina în care roata este tangentă cu solul, iar rotirea începe cu cabina 1 aflată în poziţia de îmbarcare şi se face în sens antiorar. Un client plăteşte pentru o rotire 1 EUR şi poate cumpăra un număr oarecare de rotiri.

Cei p clienţi care doresc utilizarea roţii trebuie să respecte următoarea procedură: clientul cu numărul de ordine i îşi cumpără un bilet pe care sunt înscrise numărul său de ordine şi numărul de rotiri ci, 1≤ i ≤ p, apoi se aşează la rând. Când în poziţia de îmbarcare este o cabină liberă sau se eliberează o cabină, roata se opreşte şi urcă următorul clientul. Un client coboară după ce se efectuează numărul de rotiri înscris pe bilet.

Să se scrie un program care, cunoscând numărul n de cabine al roţii, numărul p de clienţi, precum şi numărul de rotiri cumpărate de fiecare client, ci, 1≤ i ≤ p, să calculeze:

  • suma totală încasată de administratorul roţii de la clienţi;
  • ordinea în care coboară clienţii din roată;
  • numărul cabinei din care coboară ultimul client.

OJI 2012, clasa a IX-a

#1033 Elicop

Un teren de fotbal este folosit pentru aterizarea elicopterelor. Gazonul de pe stadion este parcelat în pătrăţele de aceeaşi dimensiune, cu laturile paralele cu marginile terenului. Liniile cu pătrăţele de gazon sunt numerotate de sus în jos cu numerele 1, 2, …, m, iar coloanele cu pătrăţele de gazon sunt numerotate de la stânga la dreapta cu numerele 1, 2, …, n. Din cauza tipului diferit de iarbă se ştie care dintre pătrăţele de gazon sunt afectate sau nu de umbră. Acest lucru este precizat printr-un tablou bidimensional a cu m linii şi n coloane, cu elemente 0 şi 1 (aij = 0 înseamnă că pătrăţelul aflat pe linia i şi coloana j este afectat de umbră, iar aij = 1 înseamnă că pătrăţelul aflat pe linia i şi coloana j nu este afectat de umbră). Fiecare elicopter are 3 roţi pe care se sprijină. Roţile fiecărui elicopter determină un triunghi dreptunghic isoscel. Elicopterele aterizează, astfel încât triunghiurile formate să fie cu catetele paralele cu marginile terenului. În exemplul următor avem patru elicoptere.

Pentru a preciza poziţia unui elicopter pe teren este suficient să cunoaştem linia şi coloana vărfurilor ipotenuzei şi poziţia vârfului deasupra (codificată prin 1) sau dedesubtul ipotenuzei (codificată prin -1). Pentru exemplu, elicopterul din stânga sus este dat prin (1,1), (3,3) şi -1, cel din dreapta sus prin (1,9), (5,5) şi 1, cel din stânga jos prin (5,1), (6,2) şi 1, iar cel din dreapta jos prin (5,9), (6,8) şi 1.

Un elicopter se consideră că a aterizat greşit, dacă triunghiul format sub el (definit mai sus) are mai mult de jumătate din pătrăţele afectate de umbră.

Administratorul terenului de fotbal doreşte să determine numărul N1 de elicoptere, care nu afectează nici un pătrăţel din teren şi numerele de ordine al elicopterelor, care au aterizat greşit în ordine crescătoare: e1, e2, …, eN2, ştiind că există k elicoptere codificate prin numerele 1, 2, …, k.

Scrieţi un program care să determine, pentru fişierul cu datele din enunţ: numărul de elicoptere N1, care nu afectează nici un pătrăţel din teren şi numerele de ordine al elicopterelor, care au aterizat greşit în ordine crescătoare, precedate de numărul lor N2.

OJI 2012, clasa a IX-a

Să se scrie un program care determină minimul a trei numere întregi.

#1010 produs

Se dau două șiruri cu câte n, respectiv m elemente. Dacă înmulțim fiecare element din primul șir cu fiecare element din al doilea șir, să se afle câte produse sunt mai mici decât p.

Se dau n numere naturale, un n este un pătrat perfect. Să se construiască în memorie o matrice pătratică cu toate cele n numere, în spirală, în sens invers acelor de ceas astfel: pe prima coloană, începând cu linia 1, se vor trece primele elemente din şir (de sus în jos), apoi pe ultima linie, începând de la prima coloană până la ultima (de la stânga la dreapta), apoi pe ultima coloană, de la ultima linie la prima (de jos în sus), apoi pe prima linie, de la ultima coloană la prima (de la dreapta la stânga) şamd.

Se consideră o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Să se modifice matricea în felul următor: toate elementele egale cu valoarea maximă din matrice se înlocuiesc cu valoarea minimă de pe coloana lor.

Să se afișeze pe ecran, în ordine crescătoare, toate palindroamele de tip munte cu exact 9 cifre.

Un palindrom este de tip munte dacă cifrele sale sunt în ordine strict crescătoare până la jumătatea numărului.

#1005 Numere8

Se dă o listă cu numere naturale. Să se determine numerele naturale nenule cu cel mult patru cifre care nu apar în lista dată.

Pentru numerotarea paginilor unei serii enciclopedice formate din unul sau mai multe volume se presupune că se folosesc n cifre. Fiecare volum are 300 de pagini, eventual cu excepţia ultimului volum care ar putea avea mai puţine.

Pentru n dat, să se determine numărul de volume din serie V şi numărul de pagini P ale ultimului volum. Dacă nu este posibilă numerotarea paginilor folosind n cifre, se va afişa mesajul IMPOSIBIL.

Se dau două numere naturale diferite. Afişaţi cel mai mic număr care poate fi scris folosind toate cifrele celor două numere date.

Se consideră o matrice pătratică cu n linii şi n coloane şi elemente numere naturale. Să se modifice matricea în felul următor: toate elementele de pe liniile care conţin valoare maximă din matrice vor fi mărite cu valoarea minimă din matrice.

Se dau două mulțimi de numere naturale. Să se afișeze reuniunea lor.

Se dau două numere naturale diferite. Afişaţi cel mai mare număr care poate fi scris folosind toate cifrele celor două numere date.

Se dau n cifre zecimale. a1, a2, … , an. Determinaţi suma: \( S = a_1 a_2 … a_n + a_n a_1 … a_{n-1} + a_2 a_3 … a_n a_1 \), în care fiecare termen este obţinut prin permutarea spre dreapta a cifrelor cu o poziţie.

Fiind date n numere naturale, aflați câte dintre acestea se pot scrie ca sumă de puteri distincte ale unui număr natural k.

Se dă un șir cu n elemente, numere reale. Să se determine câte dintre elemente se află în afara intervalului închis determinat de primul și ultimul element.

Se dau n numere naturale și se cer: aflarea celui mai mare număr din șir cu suma cifrelor minimă, aflarea numărului minim cu număr maxim de cifre consecutive în scrierea sa și aflarea cifrei comune cât mai multor numere din șir.

#465 OglPP

Se dau 2 numere naturale a b, a < b. Determinați câte numere din intervalul [a,b] sunt pătrate perfecte și au proprietatea că oglinditul lor este pătrat perfect.

Să se scrie un program care citeşte de la tastatură un număr natural n şi apoi un şir de n numere naturale şi determină cel mai mare număr prim din șir și de câte ori apare.

Se dă un şir cu n elemente, numere naturale. Să se verifice dacă toate elementele şirului au toate cifrele distincte.

#980 Sir4

Se consideră şirul de numere naturale:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,...

Se grupează numerele din şir astfel încât prima grupă, numerotată cu 1, este formată din primul număr din şir (1), a doua grupă, numerotată cu 2, este formată din următoarele două numere din şir (3,5), a treia grupă, numerotată cu 3, este formată din următoarele trei numere din şir (7,9,11),…, a n-a grupă din şir, numerotată cu n, este formată din următoarele n numere din şir, etc.

Deduceţi regula după care sunt generaţi termenii şirului şi scrieţi un program care să citească numerele naturale p, n şi k şi care să determine:

a) al câtelea număr din şir are valoarea p;
b) cel mai mare număr natural palindrom care poate fi obţinut folosindu-se cifrele tuturor numerelor din grupa a n-a a şirului dat, nu neapărat toate aceste cifre;
c) numărul grupei cu proprietatea că suma tuturor numerelor conţinute de aceasta este egală cu numărul k, dacă există o astfel de grupă.

ONI 2008, Clasa a V-a

Se generează un şir de numere naturale ai cărui primi termeni sunt, în această ordine:

1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4,...

Deduceţi regula după care sunt generaţi termenii şirului şi scrieţi un program care să citească numerele naturale n, k şi p şi care să determine:

a) suma tuturor numerelor prime aflate printre primii n termeni ai şirului din enunţ;
a) numărul de apariţii ale cifrei k printre primii n termeni ai şirului din enunţ;
b) cel de-al p-lea termen al şirului din enunţ.

OJI 2008, Clasa a V-a

#976 Sir3

Se consideră şirul de numere naturale ai cărui primi termeni sunt, în această ordine:

1, 5, 3, 7, 9, 11, 19, 17, 15, 13, 21,...

Se grupează numerele din şir astfel:

  • prima grupă, numerotată cu 1, conţine primul termen al şirului (1)
  • a doua grupă, numerotată cu 2, conţine următorii doi termeni ai şirului (5,3)
  • a treia grupă, numerotată cu 3, conţine următorii trei termeni ai şirului (7,9,11)
  • ……………………….
  • a n-a grupă din şir, numerotată cu n, conţine următorii n termeni ai şirului
    etc.

Deduceţi regula după care sunt generaţi termenii şirului şi scrieţi un program care să citească numerele naturale p, n şi k şi care să determine:

a) termenul de pe poziţia p din şirul din enunţ;
b) cel mai mare număr natural palindrom care poate fi obţinut folosindu-se cifrele tuturor numerelor din grupa a n-a a şirului dat, nu neapărat toate aceste cifre;
c) numărul grupei ce conţine un număr maxim de termeni şi are proprietatea că suma acestor termeni este cel mult egală cu k.

Olimpiada de Informatică, etapa pe sector, București, 2010

Să se afle suma resturilor împărțirii tuturor numerelor naturale de la 1 la n printr-un număr k.

#971 Max

În zorii zilei, harnicele albinuţe se pregătesc să zboare la cules de nectar. În apropierea stupului, se află o grădină fermecată cu N flori, numerotate 1, 2,… N. Pentru fiecare floare se cunoaște numărul de petale.

Anumite flori din grădină pot fi flori capcană. O astfel de floare are un număr prim de petale. Dacă o albină s-ar aşeza pe corola florii capcană, atunci floarea i-ar fura o cantitate de nectar egală cu numărul ei de petale.

Alte flori pot fi florile abundenţei. Numărul de petale ale florii abundenţei are un număr impar de divizori. Dacă o albină s-ar aşeza pe corola unei astfel de flori, atunci ea i-ar dărui albinuţei o cantitate de nectar egală cu triplul numărului ei de petale.

Celelalte flori pot fi flori obişnuite. Dacă o albină s-ar aşeza pe corola unei flori obişnuite, atunci floarea i-ar dărui albinuţei o cantitate de nectar egală cu numărul ei de petale.

Regina stupului, le-a poruncit albinuţelor să adune cea mai mare cantitate de nectar care se poate culege din grădină, altfel … vor fi alungate din stup.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale N și numărul de petale ale fiecărei flori şi care să determine cantitatea maximă C de nectar pe care albinuţele o pot aduna din grădina fermecată.

Concursul National Grigore Moisil, Lugoj, 2007, clasele V-VI

#970 Gen

Pe planeta Marte, marţienii folosesc în calculele aritmetice doar cifrele 0, 1, 2 şi 3. Ei au inventat un nou sistem binar de numeraţie. Pornind de la numărul 23, ei generează numere binare speciale aplicând de un număr finit de ori regulile din tabelul de mai jos:

  1. Cifra 2 se poate înlocui cu succesiunea: 12
  2. Cifra 3 se poate înlocui cu succesiunea: 03
  3. Cifra 2 se poate înlocui cu succesiunea: 01
  4. Cifra 3 se poate înlocui cu succesiunea: 10

Marţienii au început să genereze un astfel de număr, aplicând succesiv (în această ordine): de n ori regula 1); de k ori regula 2); o singură dată regula 3) şi o singură dată regula 4). Nefiind atenţi, ei nu au reuşit să ducă la capăt generarea şi au nevoie de ajutor. Ajutaţi-i să genereze numărul binar dorit.

Scrieţi un program care citeşte numerele naturale nenule n şi k şi care afişează numărul binar obţinut în urma aplicării succesive a regulilor cerute de marţieni.

Olimpiada de Informatică, etapa pe sector, Bucureşti, 2007, clasa a VI-a

Într-o cameră sunt aşezate n*m acvarii identice, pe n rânduri, câte m pe fiecare rând, unul lângă altul. În fiecare acvariu se află un singur peşte. Peştele poate fi de culoare roşie (culoare codificată cu r) sau albastră (codificată cu a). La fiecare moment de timp t=1,2,3,.., peştii îşi modifică simultan culoarea astfel: fiecare peşte se colorează în culoarea pe care au avut-o la momentul t-1 majoritatea peştilor din acvariile învecinate (ca în desenul de mai jos, sunt cel mult 8 acvarii vecine notate cu V1, V2, V3,…, V8). În cazul în care numărul peştilor vecini roşii este egal cu numărul peştilor vecini albaştrii, peştele studiat îşi va păstra culoarea.

Scrieţi un program care să citească numerele naturale n, m, t şi cele n*m coduri ale culorilor peştilor (cele de la momentul iniţial t=0) şi care să determine şi să afişeze codurile culorilor peştilor de la momentul t.

OJI 2008, Clasa a VII-a

#968 Copac

În grădina din palatul lui Făt-Frumos a răsărit tulpina fragedă a unui copăcel. Impresionat de gingăşia lui, Făt-Frumos dădu fuga la izvorul fermecat şi aduse nişte apă vie cu care udă copăcelul.

A doua zi, surpriză mare! Copăcelului i-au crescut trei ramuri minunate: una de argint, una de aur şi alta de rubin. Făt-Frumos, fericit, dădu din nou fuga la izvorul fermecat şi aduse apă vie pentru copăcel.

A treia zi, surpriză şi mai mare! Ramura de argint s-a trasformat în trei ramuri noi: una de argint, una de aur şi una de rubin. Ramura de aur s-a transformat în două ramuri noi: una de argint şi alta de rubin. Ramura de rubin s-a transformat în două ramuri noi: una de aur şi una de rubin.

Şi în a patra zi, Făt-Frumos observă că fiecare ramură de argint s-a trasnformat în trei ramuri noi: una de argint, una de aur şi una de rubin; fiecare ramură de aur s-a transformat în două ramuri noi: una de argint şi alta de rubin; fiecare ramură de rubin s-a transformat în două ramuri noi: una de aur şi una de rubin.

Copăcelul era mai bogat şi mai frumos. Strălucea ca un soare, lumina lui ajungând până la palatul Zmeului-Zmeilor.

Zmeul-Zmeilor se îndreptă ca fulgerul spre palatul lui Făt-Frumos. Vroia copacul. Dar cum să facă? Dacă s-ar lupta cu Făt-Frumos, ar pierde lupta. Mereu s-a întâmplat aşa. Se gândi, se gândi… şi exact când a ajuns în faţa lui Făt-Frumos i-a venit o idee spunându-i acestuia:
- Făt-Frumos, dacă îmi vei spune câte ramuri de argint, câte ramuri de aur şi câte ramuri de rubin va avea copacul peste n zile începând din ziua asta, atunci copacul va rămâne al tău. De nu, al meu va fi!

Ştiind că ramurile copacului se transformă şi în zilele următoare la fel ca în ziua a patra, ajutaţi-l pe Făt-Frumos să găsească răspunsul la întrebare astfel încât copacul să rămână al lui.

Olimpiada de Informatică, etapa pe sector, Bucureşti, 2007, clasa a V-a

Fie c o cifră, iar s un şir de n numere naturale. Utilizând toate cifrele impare ale unităţilor numerelor din s, se construieşte un nou şir de numere naturale v cu proprietăţile următoare:

  1. toate numerele din şirul v au acelaşi număr de cifre
  2. fiecare număr din v este format doar din cifre identice
  3. şirul v este format din cel mai mic număr de valori naturale care au proprietăţile 1. şi 2.

Scrieţi un program care să citească numerele c, n şi şirul s, şi să determine:
a) suma tuturor numerelor din şirul s care au proprietatea că sunt numere prime
b) numărul de apariţii ale cifrei c în scrierea zecimală a tuturor numerelor din şirul s
c) numărul minim de numere din şirul v

Olimpiada de Informatică, etapa pe sector, București, 2008

#966 xmin

Fie X un număr natural format din exact K cifre, toate nenule, iar S suma cifrelor lui X. Pornind de la aceste numere, se construiește mulțimea M a tuturor numerelor naturale care:

  • au suma cifrelor egală cu S
  • sunt formate fiecare din exact K cifre, toate cifrele fiind nenule.

Pentru fiecare număr din mulțimea M se calculează produsul cifrelor sale. Fie P valoarea maximă a produselor calculate.

Cel mai mic număr din mulțimea M care are produsul cifrelor egal cu P îl vom denumi elementul primar al mulțimii.

Scrieţi un program care să citească numerele K și X (cu semnificația din enunț) şi care să determine elementul primar al mulțimii M.

#965 Joc3

Rareş şi Bogdan vor să facă mişcare în aer liber aşa că s-au gândit la un nou joc.
Pe terenul de fotbal, ei au desenat două cercuri concentrice (cu acelaşi centru) şi au împărţit pista cuprinsă între cele două cercuri în n sectoare congruente, ca în desenul de mai jos unde n=16.

Ei au etichetat cele n sectoare cu numerele distincte de la 1 la n, în ordinea acelor de ceasornic. Au stabilit ca jocul să se desfăşoare astfel:

  • Se vor aşeza amândoi în sectorul numerotat cu 1, spate în spate.
  • Prin sărituri executate simultan în anumite sectoare, copii se vor deplasa pe pistă în sensuri contrare. Bogdan se va deplasa în sensul acelor de ceasornic iar Rareş în sensul contrar. Copii vor executa un număr egal de sărituri.
  • O săritură a lui Bogdan are efect deplasarea acestuia din sectorul curent, în sensul acelor de ceasornic, direct în cel de-al x-lea sector de pe pistă. De exemplu, dacă n=16 şi x=2 atunci, pornind din sectorul 1, Bogdan se va deplasa sărind succesiv, în această ordine, în sectoarele etichetate cu: 3,5,7,9,...
  • O săritură a lui Rareş are efect deplasarea acestuia din sectorul curent, în sens contrar acelor de ceasornic, direct în cel de-al y-lea sector de pe pistă. De exemplu, dacă n=16 şi y=3 atunci, pornind din sectorul 1, Rareş se va deplasa sărind succesiv, în această ordine, în sectoarele: 14,11,8,5,...
  • Jocul se termină când cei doi copii ajung în urma săriturilor într-un acelaşi sector de pe pistă sau dacă unul din cei doi copii ajunge pentru a doua oară într-un acelaşi sector.

Scrieţi un program care să citească cele trei numere naturale nenule n, x şi y, şi apoi să determine:
a) numărul t al sectoarelor de pe pistă prin care nu trece niciunul din cei doi copii în urma săriturilor executate până la terminarea jocului;
b) numărul s de sărituri executate de fiecare copil până la terminarea jocului;
c) etichetele b şi r ale sectoarelor în care ajung cei doi copii la terminarea jocului (Bogdan ajunge la finalul jocului în sectorul cu eticheta b, iar Rareş în cel cu eticheta r).

ONI gim 2011, clasa a VI-a

Adminul unei rețelei de n*n calculatoare așezate sub forma unei matrici n linii și n coloane dorește să cripteze calculatoarele pentru a securiza rețeaua.

#960 sirk

La testul de selecție la Centrul de Excelentă în Informatică din acest an, prima problemă ne cere să studiem un șir S de numere naturale nenule ai cărui primi termeni sunt:
1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3...
să deducem regula prin care a fost construit și apoi să descoperim cel de-al K-lea termen al șirului S.

Știe cineva cum se rezolvă această problemă?

Scrieţi un program care să determine cel de-al K-lea termen al șirului S.

#955 Miny

Fie N un număr natural nenul şi N numere naturale nenule: x1, x2,…, xN.
Fie P produsul acestor N numere, P=x1•x2•...•xN.

Scrieţi un program care să citească numerele N, x1, x2,…, xN şi apoi să determine:
a) cifra zecilor produsului P;
b) cel mai mic număr natural Y, pentru care există numărul natural K astfel încât YK=P.

Concursul National Grigore Moisil, Lugoj, 2013

Se generează un şir de cifre ai cărui primi termeni sunt, în această ordine:
1, 1, 2, 4, 7, 3, 4, 4, 1, 9, 4, 4, 7, 5, 6, 8,...

Deduceţi regula după care sunt generaţi termenii şirului şi scrieţi un program care să citească numerele naturale n, k şi p şi care să determine:

a) numărul de apariţii ale cifrei k printre primii n termeni ai şirului din enunţ;
b) cel de-al p-lea termen al şirului din enunţ.

Olimpiada de Informatică, etapa pe sector, Bucureşti, 2014

Deedee a descoperit în parc un şotron triunghiular construit din N*(N+1)/2 dale de piatră dintre care K au culoarea gri iar restul sunt albe. Dalele sunt numerotate cu numerele distincte de la 1 la N*(N+1)/2 şi sunt dispuse pe N rânduri, una lângă alta, ca în desenul de mai jos realizat pentru un şotron cu N=6 şi K=5, astfel:

  • pe rândul 1, dala cu numărul 1
  • pe rândul 2, dalele cu numerele: 2 şi 3
  • pe rândul 3, dalele cu numerele: 4, 5 şi 6
  • …………..
  • pe rândul N, dalele cu numerele: N*(N-1)/2+1, N*(N-1)/2+2 , … , N*(N+1)/2

Pornind de pe dala iniţială, adică dala cu numărul 1, sărind din dală în dală, Deedee trebuie să ajungă pe dala finală, adică dala cu numărul N*(N+1)/2, respectând regula următoare: de pe dala curentă, numerotată cu X şi situată pe rândul Y, ea poate să sară doar pe o dală albă situată pe rândul Y şi numerotată cu X+1 (dacă aceasta există) sau pe rândul Y+1 pe aceeaşi coloană cu dala curentă.

Nefiind o bună sportivă, Deedee vrea să descopere mai întâi dalele pe care ar trebui să sară pornind de la dala iniţială astfel încât să execute un număr minim de sărituri până la dala finală, respectând la fiecare săritură regula.

Scrieţi un program care să determine:

a) numărul R al rândului care conţine cele mai multe dale gri, iar dacă sunt mai multe rânduri cu această proprietate atunci R va fi egal cu numărul cel mai mic al unui astfel de rând;
b) numărul minim D de dale pe care trebuie să sară Deedee pornind de la dala iniţială astfel încât să ajungă pe dala finală, respectând la fiecare săritură regula din enunţ.

Olimpiada de Informatică, etapa pe sector, Bucureşti, 2012

#944 rest

Un număr natural se împarte la toate numerele obținute din el prin eliminarea unei cifre. Care este restul maxim care se poate obține?

#945 baze

Se dă un număr n scris în baza b și trebuie afișat în baza c.

#943 Suma4

Se dă n un număr natural nenul. Să se afle ultima cifră a sumei S=14 + 24 + 34 + ... + n4.

Se dă o matrice cu n linii și m coloane și elemente numere naturale. Să se determine câte dintre elementele situate pe coloane cu indici impari sunt prime.

Se dă un număr natural format din cifrele 2 sau 3. Aflaţi cifra care apare de cele mai multe ori în scrierea numărului .

#941 Urare

În preajma Crăciunului toţi suntem sau redevenim copii.

Scrie un program care afişează pe ecran o urare pentru cei dragi ţie!

Se dă un vector cu n elemente, numere naturale. Verificați dacă vectorul are un element majoritar. Numim element majoritar o valoare pentru care numărul de apariții în vector este mai mare decât n/2.

Se citesc două numere naturale a și b. Să se determine cel mai mic și cel mai mare număr din intervalul [a,b] cu număr maxim de divizori pari şi numărul maxim de divizori pari.

Se dau n numere naturale mai mici decât 1.000.000. Determinaţi câte dintre ele sunt prime.

#152 sir

GM are un şir de N numere naturale a1 , a2 ,…, aN , cu proprietatea ai ai+1 2*ai pentru orice i, 1 ≤i < N. El doreşte să scrie în faţa fiecărei valori din şir un semn + sau - astfel încât valoarea S a expresiei obţinute să aibă proprietatea 0 ≤ S ≤ a1 .

Scrieţi un program care să-l ajute pe GM să determine un mod de a scrie cele N semne.

Urmasii lui Moisil, Iasi, 2013

#151 drum

Oraşele Nordemos şi Suderim sunt separate de un munte foarte înalt. Inginerul Negrimon a fost desemnat să construiască un drum prin munte care să unească cele două oraşe. Harta care i s-a pus la dispoziţie descrie muntele ca o matrice cu N linii şi M coloane numerotate de la 1 la N, respectiv de la 1 la M . Un drum reprezintă o succesiune de elemente din matrice cu proprietatea că oricare două elemente consecutive sunt alăturate, pe linie sau pe coloană. Un drum uneşte oraşul Nordemos (linia 1) şi oraşul Suderim (linia N). Valorile din matrice reprezintă densităţile rocilor din munte în acele zone. Pentru fiecare drum posibil se poate calcula valoarea dmax, egală cu densitatea maximă a rocilor pe care le traversează. Negrimon trebuie să construiască un drum pentru care valoarea dmax este cea mai mică.

Ajută-l pe Negrimon să afle cea mai mică dintre densităţile dmax corespunzătoare drumurilor care unesc Nordemos şi Suderim în condiţiile de mai sus.

Urmasii lui Moisil, Iasi, 2013

Se consideră o încăpere de lungime m și lățime n împărțită în n*m zone pătrate, sub forma unei matrice cu n linii și m coloane. Încăperea este acoperită în totalitate cu p covoare de diferite dimensiuni și culori astfel încât acestea nu se suprapun și încăperea este acoperită în totalitate. Mai mult fiecare zonă pătrată a încăperii este acoperită cu un singur covor.

Gigel, administratorul clădirii, este responsabil cu spălarea covoarelor. Astfel el a notat, în ordine, dimensiunile și culoarea fiecărui covor, în ordine, de sus în jos și de la stânga la dreapta. Covoarele au fost scoase și spălate, dar acum Gigel vă cere ajutorul.

Cunoscând dimensiunile încăperii, numărul de covoare precum și dimensiunile și culoarea fiecărui covor, să se refacă așezarea inițială a acestora.

Se citește de la tastură un număr natural n, apoi n numere naturale. Să se calculeze suma obținută prin adunarea primei cifre a fiecărui număr.

Să se scrie un program care citeşte de la tastatură trei numere naturale și determină diferenţa dintre cel mai mare şi cel mai mic.

#103 Curte

Să se determine aria curţii bunicului, dacă se cunosc dimensiunile.

#815 Lazi

Câte cutii cubice de latură l pot fi suprapuse într-o încăpere de înălțime h.

Se dă un șir cu n elemente, numere naturale și un număr k. Determinați numărul minim de secvențe disjuncte în care trebuie împărțit șirul astfel încât fiecare element al șirului să aparțină unei secvențe și fiecare secvență să conțină cel mult k elemente impare.

Scrieți un program care înlocuiește în numărul n toate aparițiile cifrei c1 cu c2.

Se dă un vector cu n elemente, numere naturale și două numere t și k. Să se determine câte secvențe din șir au lungimea k și sunt formate din valori mai mici sau egale cu t.

Pe poarta unei fabrici ies în ordine n pachete fiecare având un volum cunoscut. Pachetele sunt transportate folosind camioane. Toate camioanele au aceeași capacitate C, iar procedura este următoarea: fiecare pachet scos din fabrică este imediat încărcat într-un camion, și nu este posibil ca la încărcare să fie mai mult de un camion.

Determinați numărul minim de camioane necesar pentru a transporta cele n pachete.

Gigel are o livadă împărțită în n*m sectoare, dispuse pe n linii, numeroate de la 1 la n și m coloane, numerotate de la 1 la m. În fiecare sector se află un cireș, care conține o cantitate de cireșe cunoscută. Gigel va culege toate cireșele din cireșii dispuși într-o zonă dreptunghiulară din livadă. El poate să aleagă între k zone și dorește să culeagă cât mai multe cireșe.

Scrieți un program care determină cantitatea maximă de cireșe pe care o poate culege Gigel din una dintre cele k zone date.

Gigel a descoperit planul unei piramide magice. Planul este reprezentat sub forma unei matrice pătratice de dimensiune n, unde n este impar, în care elementele nule nu aparțin piramidei, iar elementele nenule reprezintă înălțimea piramidei în punctul respectiv. Vezi exemplul pentru detalii!

Pentru n dat, construiți o matrice care să reprezinte planul unei piramide magice.

Fiind date vârstele a doi copii afișați care dintre ei este cel mai mare și cu cât.

#832 Nota

Fiind dată nota unui elev să se afișeze dacă acesta este corigent sau promovat.

Se consideră următoarele operații, care se aplică numerelor naturale:

  • op 1 – se adaugă la număr cifra 4 – din 13 se obține 134
  • op 2 – se adaugă la număr cifra 0 – din 13 se obține 130
  • op 3 – dacă numărul este par, se împarte la 2 – din 20 se obține 10

Dându-se un număr natural n, să se determine un șir de operații dintre cele de mai sus prin care, pornind de la valoarea 4, se ajunge la n.

Fiind date două numere naturale x și y determinați valoarea care trebuie adunată la x pentru a obține triplul lui y.

Într-un brad sunt a globuri albe, de două ori mai multe globuri roșii și globuri verzi cu 3 mai puține ca numărul de globuri roșii. Câte globuri sunt în total ?

Determinați câte sticle de x litri cu apă trebuie deschise pentru a umple un vas de y litri.

Scrieţi un program care citeşte de la tastatură un număr natural n şi construieşte în memorie o matrice cu n linii şi n coloane în care:

  • toate elementele de pe prima coloană au valoarea 1;
  • ultima linie conţine, în ordine strict crescătoare, numerele naturale din intervalul [1, n];
  • oricare alt element este obţinut prin însumarea celor două elemente vecine cu el, aflate pe linia imediat următoare şi pe aceeaşi coloană cu el, respectiv pe aceeaşi linie cu el şi pe coloana anterioară.

Variante Bacalaureat 2012

Fișierul de intrare conține cel puțin 3 și cel mult 1 000 000 de numere naturale. Se cere să se afișeze în fișierul de ieșire, separate printr-un spaţiu, două numere distincte, anume cel mai mic număr par cu două cifre și cel mai mare număr par cu două cifre care NU fac parte din şir.

Se consideră şirul definit mai jos:

în care nu există doi termeni cu aceeași paritate aflați pe poziții consecutive: 1, 2, 3, 4, 7, 8, 15, 16 .....

Pentru un număr natural x, termen al şirului dat, se cere să se afișeze pe ecran, în ordine strict descrescătoare, separați prin câte un spațiu, toţi termenii şirului care sunt mai mici sau egali cu x.

Variante Bacalaureat 2013

Se dă o matrice cu m linii şi n coloane şi elemente numere naturale cu cel mult 4 cifre fiecare. Să se determine coloanele matricei care au toate elementele egale cu aceeași valoare.

Variante Bacalaureat 2013

Fiind date două numere a şi b, îl numim pe a sufix al lui b dacă a este egal cu b sau dacă b se poate obţine din a prin alipirea la stânga a unor noi cifre.

Se dă un număr natural x și un șir de numere naturale. Să se determine ultimul număr din șir care îl care ca sufix pe x.

Variante Bacalaureat 2013

Un număr natural x, format din exact două cifre, este numit sub-număr al unui număr natural y dacă cifrele lui x apar, în aceeași ordine, pe ranguri consecutive, în numărul y.

Să se determine, pentru mai multe numere date, sub-numerele care apar de cele mai multe ori în scrierea acestora.

Se dă o matrice cu m linii și n coloane și elemente numere naturale cu cel mult patru cifre. Să se modifice matricea, eliminând penultima linie și penultima coloană.

Variante Bacalaureat 2014

Într-o clasă sunt n elevi, numerotați de la 1 la n, băieți și fete, pentru fiecare dintre ei cunoscându-se înălțimea, exprimată în centimetri. Să se determine câte fete sunt mai scunde decât cel mai scund băiat și câți băieți sunt mai înalți decât cea mai înaltă fată.

Se dă o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente numere naturale. Să se afișeze elementele prin parcurgerea șerpuită a matricei, începând din elementul de pe prima linie și prima coloană, ca în exemplu.

Se dau trei numere naturale a b c. Să se determine cea mai mare valoare care se poate obține prin înmulțirea a două dintre numere și adunarea rezultatului cu al treilea.

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Să se determine cea mai mare valoare care apare în matrice de cel puțin două ori.

Banda piraţilor din Caraibe a pus la cale o nouă aventură! Căpitanul Jack se trezeşte prins într-o intrigă care îi va solicita din plin abilităţile şi inteligenţa. Deoarece el are o datorie de sânge faţă de legendarul Davey Jones, căpitanul corabiei fantomatice Olandezul Zburător, este
nevoit să-i cedeze acestuia o parte din ultima captură de diamante. Diamantele sunt depozitate în cufere şi trebuie să fie păzite foarte bine până în momentul în care Jack îşi va achita datoria.
El hotărăşte ca fiecare cufăr să fie păzit de câte doi piraţi şi pentru aceasta îşi organizează oamenii astfel:

  • piraţi care vor forma rânduri;
  • piraţi aşezaţi în formaţiuni circulare.

În ambele situaţii va fi aşezat câte un cufăr între oricare doi piraţi alăturaţi. În momentul în care corabia lui Davey Jones acostează la ţărm, acesta îi cere lui Jack să-şi plătească datoria astfel: „Alege N dintre piraţii tăi. Aceştia vor încărca pe corabie toate cuferele păzite doar de ei. Ai grijă ca numărul cuferelor să fie cel mai mare posibil! ”

Cunoscând numărul piraţilor şi modul lor de organizare în formaţiuni, scrieţi un program care să determine numărul maxim de cufere care pot fi încărcate pe corabie de cei N piraţi aleşi.

Lot Juniori, Botosani, 2012

După ce au învăţat la şcoală numerele, Maria si Mihai au început sa se joace cu ele. Maria şi-a ales numărul 3 şi a spus că îi plac toate numerele ce se pot scrie ca sumă de una sau mai multe puteri distincte ale lui 3. De exemplu: 1 = 30, 91 = 34 + 32 + 30, 27 = 33, sunt numere care îi plac Mariei. Numărul 6 = 32 + 32 nu îi place Mariei (32 apare de 2 ori). Mihai, căruia îi place mereu să intre în competiţie cu Maria, a ales numărul 5 şi a zis că îi plac numerele ce se pot scrie ca sumă de una sau mai multe puteri distincte ale lui 5 (aceeaşi regulă ca la numerele care îi plac Mariei, dar folosind numărul 5). Jucându-se pe calculator, au găsit un fişier puteri35.in în care era scris un număr natural nenul n. Imediat, copii s-au gândit să scrie fiecare într-un fişier (pe care de comun acord l-au numit puteri35.out), fiecare, primele n numere care îi plac. Aici a apărut din nou discuţia: în ce ordine le vor scrie. În sfârşit, au căzut de acord să scrie toate cele 2·n numere în ordine crescătoare.

Dându-se un număr natural nenul n, obţineţi în ordine crescătoare toate cele 2·n numere, primele n numere care îi plac Mariei şi primele n care îi plac lui Mihai.

Lot Juniori, Focsani, 2010

Fie un număr natural a având n cifre. Scrieţi un program care să determine un număr natural x cu proprietatea că este cel mai mic număr mai mare decât a, care are exact aceleaşi cifre ca şi numărul a.

Lot Juniori, Bistrita, 2009

#740 Horse

Se consideră o tablă de şah cu n linii şi n coloane, şi n=4k+1. Liniile acestei table sunt numerotate de sus în jos începând cu linia 1, iar coloanele sunt numerotate de la stânga la dreapta începând cu 1. În fiecare dintre câmpurile acestei table se scrie câte un număr natural din mulţimea {1, 2, …, n2} după următoarele reguli:

a) se porneşte din colţul aflat în poziţia stânga sus al tablei şi se avansează utilizând săritura calului
b) se merge orizontal către dreapta şi în continuare, pe chenarul format din primele două linii, primele două coloane, ultimele două linii şi ultimele două coloane, în sensul acelor de ceasornic;
c) se efectuează mai multe tururi ale tablei, până ce se umple întregul chenar, fără să se sară de două ori în aceeaşi căsuţă, fără să se sară în afara acestui chenar şi fără să rămână vreun câmp liber;
d) din poziţia finală în care s-a ajuns, trebuie să fie posibilă săritura în colţul din stânga sus al pătratului rămas neacoperit;
e) se continuă deplasarea în interiorul pătratului rămas neacoperit, folosind regulile a), b), c), d) până ce se ajunge la pătratul interior de latură 1 care va conţine valoarea n2.

Amintim că o săritură a calului constă într-o deplasare de două căsuţe pe orizontală urmată de o deplasare de o căsuţă pe verticală sau într-o deplasare de două căsuţe pe verticală urmată de o deplasare de o căsuţă pe orizontală. Calul din figura următoare poate ajunge printr-o săritură în oricare dintre cele 8 poziţii haşurate:

De exemplu, pentru n=5, după un tur al tablei, se obţine următoarea acoperire parţială:

Iar după al doilea tur, se obţine acoperirea parţială:

Pentru n=9, acoperirea se realizează ca mai jos. Se observă mai întâi umplerea completă, apoi umplerile parțiale.


Cerința:

Cunoscând valoarea lui n ce reprezintă dimensiunea tablei şi un număr p, să se determine linia şi coloana căsuţei din tabelă unde este scris numărul p, după regulile de mai sus.

Lot Juniori, Bistrita, 2009

Se consideră două numere naturale nenule N şi K. Numim K-şir un şir de numere naturale cu K termeni.

Determinaţi numărul format din ultimele 4 cifre ale numărului de K-şiruri distincte cu proprietatea că fiecare dintre ele are cel mai mic multiplu comun al termenilor egal cu N.

Lot Juniori, Cluj Napoca, 2009

#748 Bile

Firma de transport la care lucrează Napocan trebuie să transporte un joc de biliard. Sarcina lui Napocan este să se ocupe de transportul celor 2n+1 bile ale jocului. Aceste bile sunt numerotate cu numere naturale distincte de la 1 la 2n+1. Pentru transportul lor se folosesc n+1 cutii numerotate de la cu numere naturale distincte de la 1 la n+1. În fiecare cutie încap exact două bile. Lui Napocan i se cere să distribuie bilele în cutii astfel încât:

în cutiile numerotate de la 1 la n să se afle câte două bile iar în cutia cu numărul n+1 să se afle o singură bilă

  • pentru fiecare cutie numerotată de la 1 la n, modulul diferenţei dintre numerele celor două bile aflate în ea să fie egal cu numărul cutiei respective.

Determinaţi o modalitate de dispunere a celor 2n+1 bile în cele n+1 cutii care să corespundă cerinţelor impuse.

Lot Juniori, Cluj Napoca, 2009

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Să se oglindească toate liniile matricei care încep cu un număr prim și apoi să se afișeze matricea.

Se dă o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente numere naturale. Să se construiască o matrice care să fie simetrica față de diagonala secundară a matricei date.

Se dă o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente numere naturale. Să se construiască o matrice care să fie simetrica față de diagonala principală a matricei date.

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale distincte două câte două. Să se elimine din matrice linia și coloana pe care se află elementul maxim și linia și coloana pe care se află elementul minim.

Se dă o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente numere naturale. Să se determine câte elemente ale matricei se află pe linii și coloane de sumă egală.

Se dă o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente numere naturale. Să se determine suma elementelor de pe cele două diagonale vecine cu diagonala principală.

#782 Zona1

Se dă o matrice pătratică cu n linii și n coloane și elemente numere naturale mai mici decât 1000. Să se afișeze în ordine strict crescătoare valorile care apar sub diagonala principală și sub diagonală secundara de cel puţin 2 ori. Fiecare valoare se va afişa o singură dată.

#781 Zone1

Se dă o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente numere naturale. Să se afişeze, în ordine crescătoare, sumele elementelor din cele patru zone delimitate de diagonale.

Se dă o matrice cu n linii şi n coloane şi elemente numere naturale. Calculaţi cel mai mare divizor comun al sumei elementelor de deasupra diagonalei principale și al sumei elementelor de sub diagonala principală.

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Să se determine câte elemente din matrice au toți vecinii numere pare.

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Să se determine mulțimea formată din elementele distincte ale chenarului matricei.

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Să se determine câte coloane ale matricei au elementele distincte două câte două.

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Să se determine câte linii ale matricei au toate elementele egale.

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Să se elimine din matrice toate coloanele care conțin elemente nule și apoi să se afișeze matricea.

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Să se elimine din matrice toate liniile care încep cu un număr prim și apoi să se afișeze matricea.

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Să se determine elementul cu număr maxim de apariții în matrice. Dacă există mai multe elemente cu număr maxim de apariții se va afișa cel mai mare dintre ele.

#772 MaxAp

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Să se determine elementul cu număr maxim de apariții în matrice. Dacă există mai multe elemente cu număr maxim de apariții se vor afișa toate, în ordine crescătoare.

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Să se ordoneze liniile matricei crescător după suma elementelor.

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Să se permute coloanele matricei circular spre stânga cu o poziție.

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Să se ordoneze coloanele matricei astfel încât elementele de pe prima linie să fie ordonate crescător.

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Determinați suma valorilor pare distincte din matrice. Dacă o valoare pară apare în matrice de mai multe ori, se va aduna o singură dată.

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Determinați suma valorilor pare din matrice.

Se dă o matrice cu n linii şi m coloane şi elemente numere naturale. Determinați indicele liniei care conține număr maxim de elemente pare. Dacă există mai multe linii cu număr maxim de elemente pare, se vor afișa toți indicii, în ordine crescătoare.

Gigel are o livadă împărțită în n*m sectoare, dispuse pe n linii, numeroate de la 1 la n și m coloane, numerotate de la 1 la m. În fiecare sector se află un cireș, care conține o cantitate de cireșe cunoscută. Gigel va culege toate cireșele din cireșii dispuși într-o zonă dreptunghiulară din livadă. El poate să aleagă între k zone și dorește să culeagă cât mai multe cireșe.

Scrieți un program care determină cantitatea maximă de cireșe pe care o poate culege Gigel din una dintre cele k zone date.

#729 Zona

Se dă o matrice pătratică cu n linii și n coloane și elemente numere naturale mai mici decât 1000. Să se afișeze în ordine strict crescătoare valorile situate sub diagonala principală și deasupra diagonalei secundare. Dacă o valoare apare în zona respectivă de mai multe ori, se va afișa o singură dată.

Se dă o matrice cu n linii și m coloane și elemente numere naturale. Să se determine câte perechi de linii din matrice sunt identice.

Se dă o matrice cu n linii și m coloane și elemente numere naturale și k valori naturale. Determinați pentru fiecare dintre cele k valori dacă apare pe fiecare linie a matricei.

#750 smin

Ana are un joc nou. Pe o tablă pătrată este trasat un grid format din celule pătratice de dimensiune 1. În oricare dintre colţurile oricărei celule, Ana poate înfige câte un beţişor perpendicular pe tablă. După ce a plasat n beţişoare, Ana ia dintr-o cutie (cu un număr suficient de mare de corzi elastice circulare) câte o coardă cu care înconjoară trei sau mai multe beţişoare. Fiecare coardă este bine întinsă şi formează pe tablă un contur poligonal.
În figura alăturată este folosită o coardă ce formează un contur poligonal cu 4 laturi cu care sunt înconjurate 5 dintre cele 8 beţişoare de pe tablă.

Jocul se încheie când au fost plasate atâtea coarde încât toate beţişoarele de pe tablă să se afle pe marginea sau în interiorul a cel puţin unul dintre contururile poligonale formate. Scopul jocului este ca amplasarea corzilor să fie făcută convenabil astfel încât totalul ariilor contururilor poligonale formate să fie minim.

Cunoscând coordonatele celor n beţişoare (x[1], y[1]), (x[2], y[2]), …, (x[n], y[n]) măsurate faţă de unul dintre colţurile gridului, Ana doreşte să găsească suma minimă a ariilor poligonale obţinute prin amplasarea convenabilă a coardelor, astfel încât fiecare beţişor să se găsească în interiorul sau pe conturul a cel puţin un astfel de poligon.

Lot Juniori, Cluj Napoca, 2009

#749 Cerc2

N puncte numerotate de la 1 la N sunt aşezate pe cerc, în sensul acelor de ceasornic, în ordine strict crescătoare.

Există M segmente de dre