Lista de probleme 1171

Se dă un număr natural n. Se construiește o matrice pătratică de dimensiune 2n-1, după următoarele reguli:

• elementul din mijlocul matricii este egal cu n
• elementele de pe linia mediană și cele de pe coloana mediană (exceptând elementul din mijlocul matricii) sunt nule
• folosind linia mediană și coloana mediană, se împarte matricea în alte 4 matrici care se generează similar, dar au dimensiunea 2n-1-1.
  Calculați și afișați suma elementelor din matricea construită conform regulilor de mai sus.

Scrieți un program care citește de la tastatură un număr natural n și construiește în memorie o matrice cu n linii și n coloane, numerotate de la 1 la n, în care fiecare element aflat pe chenarul exterior al matricei este egal cu suma dintre indicele liniei și indicele coloanei pe care se află, iar fiecare dintre celelalte elemente este egal cu suma celor trei “vecini” situați pe coloana următoare.

Antonia, o elevă în clasa a noua, plictisită de testele și de lecțiile de la chimie, se decide să creeze un joc. Ea alege două numere naturale nenule, n și k, cu ajutorul cărora construiește o matrice pătratică n x n în formă de spirală (dinspre exterior înspre interior, ca în figura de mai jos). Apoi, fata umple matricea cu numere naturale nenule consecutive, pornind de la k.

Ajutați-o pe Antonia să calculeze elementele de pe diagonala principală – până să fie prinsă!

Numim secvență încadrată a unui șir de numere naturale un subșir al acestuia, format din termeni aflați pe poziții consecutive în șirul dat, subșir care începe și se termină cu aceeași valoare. Lungimea secvenței este egală cu numărul de termeni ai acesteia.

Să se determine secvențele încadrate dintr-un șir, care au lungimea maximă.

Se dă n un număr natural. Să se afișeze o clepsidră de dimensiune n formată din caractere * iar spațiul spațiul exterior umplut cu caracterul #, ca în exemplu.

Aflaţi câţi divizori ai lui n au mulţimea cifrelor din scrierea lor inclusă în mulţimea cifrelor din scrierea lui n.

Andra este o fetiță pasionată de desen. Pentru a-și îmbunătăți performanțele școlare la geometrie, Andra îmbină pasiunea pentru desen cu rezolvarea problemelor de geometrie. Astfel, pe o foaie de matematică împărțită în pătrățele dispuse pe \(2^N \) linii şi \(2^N \) coloane, Andra desenează în centru o figură de forma unui pătrat de latură \(2^{N-1} \) (figura 1) . Pentru fiecare colț al figurii, Andra desenează alte 4 noi figuri cu latura egală cu jumătate din latura figurii inițiale (Figura 2). Repetă procedeul de desenare pentru fiecare nouă figură obținută, până când ajunge la marginea foii de hârtie, fără a depăși marginile acesteia. Fiecare pătrățel care face parte dintr-o figură desenată este colorat, pentru a se distinge pe foaia de hârtie. Fiecare figură desenată este un pătrat cu laturile paralele cu marginile foii de hârtie.

Scrieţi un program care citește numărul N , corespunzător dimensiunii de \(2^N\) x \(2^N \) a foii de desen şi determină:

1) Numărul de figuri de latură minimă desenate;
2) Numărul total de pătrățele colorate cel puțin o dată de pe foaia de hârtie.

Goe este un copil drăgălaș, dar tare leneș. Nu îi place nici să scrie, nici să numere. Cu greu a fost convins de mama sa să învețe cifrele, dar de scris tot nu poate să le scrie pe toate. Nu îi plac cifrele 2, 4, 5 și 7, iar cifra 6 o încurcă cu 9 și invers. Și asta nu este tot. Când mama sa îi dă să copieze numere, pentru a exersa scrierea cifrelor, el le scrie în oglindă, adică scrie cifrele în ordinea inversă. De exemplu, numărul 138 va fi scris de Goe 831.

Mama lui Goe scrie în fiecare zi, în ordine crescătoare, câte 9 numere naturale, sărind însă peste orice număr divizibil cu 10, ca în Figura 1. Goe copiază zilnic aceste numere. Din păcate, el nu își îndreaptă niciuna dintre greșeli: copiază numerele scriindu-le oglindite, nu scrie numerele care conţin cifrele 2, 4, 5 și 7 și înlocuieşte, în continuare cifra 6 cu 9 și invers (vezi Figura 2).

Gigel vrea să-şi deschidă o firmă de publicitate. Întrucât nu are experiență, s-a decis să înceapă modest închiriind Q panouri publicitare, din care la rândul lui va închiria anumite porțiuni. Astfel el s-a decis să divizeze fiecare panou de înălțime H într-un număr maxim posibil de regiuni/benzi orizontale, toate de înălțime h, deci identice, cu condiția să nu se suprapună. De asemenea, el a făcut o analiză a pieței și a asociat profitul P[h] ce l-ar putea obține pentru o regiune de înălțime h, 1 ≤ h ≤ hmax. Întrucât fiecare client are propria opinie despre dimensiunea reclamei perfecte, profiturile nu sunt corelate cu dimensiunile, astfel fiind posibil ca regiuni mai mici să genereze profit mai mare.
Cunoscând secvența profiturilor, P[1], P[2], …, P[hmax], Gigel își dorește să afle pentru o listă de panouri H[1], H[2], …, H[Q] care vor fi profiturile maxime asociate.

Se consideră operația : {1; 2} → {1; 2}, astfel încât 1 = 2, 2 = 1. Operația se extinde asupra oricărei secvențe formate cu cifre de 1 și 2, de exemplu 1211212121 =2122121212.
Se consideră șirul infinit s format cu cifre de 1 și 2, generat incremental prin extindere după următoarea regulă de concatenare:
s1 = 1221, s2 = 1221211221121221, … , sk+1 = sk sk sk sk, …, pentru orice număr natural nenul k.

Să se scrie un program care pentru un n număr natural nenul cunoscut determină și afișează a n-a cifră a șirului s, astfel încât numărul de pași ai programului să fie proporțional cu log2(n) (complexitate timp logaritmică în funcție de n).