Se consideră aranjamentul piramidal de numere cunoscut și sub denumirea de triunghiul lui Pascal. În vârful și pe marginile laterale ale piramidei se află numărul 1. Restul numerelor din acest triunghi se formează ca suma celor două numere de deasupra. Definim un tripas(r,c,L) ca fiind un triunghi echilateral de numere din interiorul triunghiului lui Pascal, pentru care se precizează poziția (r, c) a vârfului și L, lungimea laturii (r=rând, c=coloană, L=lungime latură). Exemplu: tripas(3,1,4) – reprezintă triunghiul de numere cu vârful poziționat pe rândul al treilea, primul element și care are lungimea laturii de 4 elemente, adică numerele (1), (1,3), (1,4,6), (1,5,10,10) – scrise de sus în jos și de la stânga la dreapta. Pe figura de mai sus, tripas(3,1,4) are elementele încadrate în dreptunghiuri. Notăm cu S suma elementelor unui tripas(r,c,L).

În Japonia trenurile pot suporta un număr de vagoane și marfă. Toate vagoanele au încărcături egale. Calculați încărcătura din fiecare vagon.

Costică este alergător la un maraton. El parcurge un traseu sub forma unei matrice cu n linii şi m coloane linie cu linie şi pe fiecare linie, de la stânga la dreapta. Matricea conţine numere naturale.

Dacă Costică întâlneşte un număr prim, el este penalizat, fiind trimis pe linia şi coloana anterioară, iar dacă acesta întâlneşte un număr perfect, poate avansa pe linia şi coloana următoare. Dacă mişcarea pe linie şi pe coloană depăşeşte limitele matricei, atunci se va efectua numai mişcarea care nu trece de aceste limite sau nu se va efectua nici o mişcare.

Afişaţi timpul t în care parcurge Costică traseul, ştiind că deplasarea dintr-un element al matricei în oricare altul durează o secundă, iar fiecare penalizare sau avansare durează o secundă.
Penalizările sau avansările care nu schimbă poziţia lui Costică durează tot o secundă.

Un număr este perfect dacă suma cifrelor lui este un număr prim.

Dacă un număr este şi prim şi perfect, atunci el va fi considerat prim.

După penalizare sau avansare, numerele prime sau perfecte îşi pierd proprietățile.

2 numere puse în aşa fel încât rezultatul aX – aY să fie divizibil cu n. X și Y sunt numerele de pe inelele porumbeilor pe care îi va trimite la concurs.

Realizați un program care determină numărul maxim K de elemente pe care îl are o submatrice constantă a lui A și numărul submatricilor constante formate din K elemente.

Să ne imaginăm faptul că la un anumit liceu există doar două clase per generație: una de Real și una de Uman. În prezent au loc înscrierile pentru clasa a IX-a. Cele două clase au fiecare câte M locuri disponibile, atât la Real, cât și la Uman. Dacă lista de elevi înscriși la o anumită clasă conține mai mult de M elevi, vor fi admiși acei M elevi care au notele cele mai mari. Ambele clase au deja M elevi înscriși, iar pentru fiecare se știe nota cu care a fost înscris la clasa respectivă.

Mai există însă N elevi, singurii încă neînscriși, care sunt privilegiați în acest proces (fiindcă au terminat gimnaziul la acest liceu). Privilegiul lor constă în următorul fapt: ei se pot înscrie acum, după ce înscrierile publice au fost încheiate, și se cunosc notele de înscriere la ambele clase. Fiecare din cei N elevi are câte două note: nota cu care ar fi înscris la Real și nota cu care ar fi înscris la Uman (acestea pot fi diferite, deoarece examenele de admitere de la cele două clase diferă). Fiecare din cei N elevi va alege să se înscrie în maxim o clasă. Ei își vor coordona alegerile astfel încât să maximizeze numărul de elevi admiși. Deoarece calculele devin destul de complicate, aceștia s-ar putea folosi de ajutorul vostru. Ei doresc răspunsul la două întrebări.

(1) Care este numărul maxim de elevi privilegiaţi care pot fi admiși dacă se pune restricția suplimentară ca toți elevii privilegiați admiși să fie admiși la aceeași clasă?
(2) Care este numărul maxim de elevi privilegiaţi care pot fi admiși dacă aceștia se pot înscrie la clase diferite?

Cu toții știm că popcornul este o adevărată delicatesă culinară. În pregătirile tale pentru lotul de anul acesta (și pentru petrecerile de după), ai făcut comandă de N tipuri de floricele de porumb pentru microunde. Fiecare tip are asociate 3 valori:

• A[i] = Timpul (în secunde) la care orice floricică de acel tip “pocnește”;
• B[i] = Timpul (în secunde) la care orice floricică de acel tip “se arde”;
• C[i] = Cantitatea (în floricele) a respectivului tip.

Mai ai la dispoziție M pungi pentru floricele de unică folosință de capacitate foarte mare (practic, infinită) și un cuptor cu microunde. Cum, bineînțeles, nimănui nu îi plac floricelele nefăcute sau cele arse, îți dorești să le partiționezi convenabil în cele M pungi și apoi să le introduci pe rând în cuptorul cu microunde, setându-i un timp de preparare prep[i] corespunzător, astfel încât după cele M tranșe să obții cât mai multe floricele comestibile.

Formal, o floricică de tipul i introdusă în punga j , setată la timpul (în secunde) de preparare prep[j] este comestibilă dacă și numai dacă A[i] ≤ prep[j] < B[i].

Fiind date cele N tipuri de floricele și numărul de pungi disponibile, trebuie să găsești o partiție convenabilă și timpii optimi de preparare pentru fiecare pungă, astfel încât la final să obții numărul maxim de floricele comestibile, pe care să îl afișezi în fișierul de ieșire. Prea ușor!

Pe o zonă în formă de dreptunghi cu laturile de lungimi N și M se găsesc NxM pătrate de latură 1. În centrul fiecărui pătrat se găsește înfipt câte un ac de grosime neglijabilă. Fiecare ac este descris de înălțimea sa. Această zonă se poate reprezenta ca un tablou bidimensional de dimensiuni N și M, iar fiecare element din matrice reprezintă înălțimea (număr natural nenul) fiecărui ac. În centrul pătratului (N,M) există o cameră de luat vederi de ultimă generație, mobilă, care se poate roti cu 360⁰ în orice plan, situată la nivelul solului. Dimensiunile camerei sunt neglijabile.

Pentru direcția N, camera va vedea acul de coordonatele (3,4) – în totalitate, iar acul (2,4) se va vedea doar parțial . Acul (1,4) nu se vede pentru că este acoperit total de (2,4). În direcția V, camera va vedea doar acul (4,3), deoarece (4,2) și (4,1) sunt acoperite total de (4,3). Pentru celelalte direcții se vor vedea parțial sau în totalitate acele (3,3), (3,2), (3,1), (2,3), (1,3), (2,2), (2,1), (1,2). Acul (1,1) nu se vede din cauza acului (2,2), care îl acoperă total. Acul (2,2) se vede doar parțial, pentru că o parte din el este acoperit de acul (3,3).

1. Câte ace vede camera de luat vederi dacă se poate roti în plan vertical, doar în direcțiile N și V?
2. Câte ace vede camera de luat vederi dacă se poate roti în orice plan și în orice direcții?

Acum iarna s-a terminat și, apropiindu-se sezonul de vară, gospodarii din orașul de pe malul fluviului doresc să pregătească faleza pentru a primi cum se cuvine turiștii. Faleza este sub formă dreptunghiulară cu lungimea de n metri și lățimea de 2 metri. În toamnă ea era pavată cu 2*n dale pătrate cu latura de un metru, lipite una de alta și care acopereau complet zona falezei. În urma iernii grele, unele dale s-au deteriorat și acum se dorește înlocuirea lor.Cum de multe ori oamenii fac treaba doar “pe jumătate”, gospodarii au hotărât să cheltuie cât mai puțin pentru reamenajarea falezei, așa că au decis că nu trebuie neapărat să înlocuiască toate dalele deteriorate, ci doar un număr minim dintre acestea astfel încât să fie posibil să se parcurgă faleza de la un capăt la altul pășind doar pe dale bune (nedeteriorate). De pe o dală pe alta se poate păși doar dacă ele au o latură comună.

Scrieţi un program care să determine numărul minim de dale deteriorate ce trebuie înlocuite astfel încât faleza să
poată fi parcursă de la un capăt la altul.

În timpul activităților din “Săptămâna Altfel” elevii clasei a VII-a doresc să ajute la organizarea cărților din biblioteca școlii. Fiecare carte este etichetată cu un cod care este exprimat printr-un un șir de caractere distincte. Acestea pot fi cifrele 0, 1,..,9 și primele zece litere mici ale alfabetului englez a, b,..,j. Codul identifică în mod unic fiecare carte, adică nu vor exista două cărți cu același cod, dar şi genul literar din care acestea face parte. Cărțile din acelaşi gen literar au codul de identificare format din aceleaşi caractere, distincte, dispuse în altă ordine.

Numim coduri pereche două coduri de identificare care au același număr de caractere și care diferă printr-un
caracter. De exemplu, codurile 42a8 și 2c8a sunt coduri pereche. Pe de altă parte, codurile 42a8 și 248a,
respectiv 42ab și 248c, nu sunt coduri pereche.

Fiind dat șirul celor N coduri de identificare, scrieţi un program care să rezolve următoarele cerinţe:

1. determină numărul de cărți din cel mai numeros gen literar și numărul de genuri literare care au acest număr maxim de cărți.
2. determină numărul de coduri, din șirul celor N, care sunt coduri pereche cu ultimul cod din șir

Scrat și Scratte sunt două veverițe devoratoare de ghinde. Ele trăiesc într-un stejar înalt și culeg ghinde din cele N ramuri ale acestuia. Veverițele vor organiza un concurs: cine culege cele mai multe ghinde în K ture. Într-o tură,
fiecare veveriță se va deplasa de la vizuină până la o ramură a stejarului, de unde va culege cât mai multe ghinde, dar
nu mai mult de M ghinde, după care va reveni în vizuină. Veverițele vor efectua alternativ fiecare câte K ture, prima
care începe fiind Scratte.

Supărat că la concurs nu va începe primul, Scrat decide să se antreneze separat și să vadă câte ghinde ar culege în K
ture, dacă ar fi singur

Să se realizeze un program care determină:

1. Câte ghinde culege Scrat în timpul antrenamentului;
2. Câte ghinde a cules fiecare veveriță pe durata concursului.

Avem o jucărie formată din NxN pătrate de latură 1 dispuse ca într-o matrice cu N linii și N coloane. Liniile și coloanele matricei sunt numerotate de la 1 la N, iar N este mereu impar. Pătrățelele pot fi albe și le vom codifica 0, sau negre și le codificăm 1. Împărțim matricea în zone concentrice astfel: zona 1 este formată din linia 1, coloana N, linia N și coloana 1; zona 2 este formată din linia a doua, coloana N-1, linia N-1, coloana 2 etc. Sunt [N/2] astfel de zone. În mijlocul matricei este, evident, un singur element, N fiind impar. Asupra oricărei zone putem aplica o operație de rotire, doar spre stânga.

Dată fiind codificarea jucăriei, precum și “lungimea” maximă permisă pentru o rotire în oricare zonă, să se determine numărul de posibilități de a aplica rotiri asupra zonelor așa încât să rezolvăm jucăria. Evident, unei zone i se poate aplica o singură rotire, de lungime cuprinsă între 0 și valoarea maximă permisă.

Se consideră un șir de N numere naturale nenule ordonate crescător a[1]≤a[2]≤…≤a[N]. În legătură cu acest șir de numere ne interesează perechile de poziții (i,j) cu 1≤i<j≤N și a[i]≠a[j] sau ne interesează suma elementelor anumitor secvențe.

Se cere să se scrie un program care să citească un număr C reprezentând tipul cerinței, un șir de N numere naturale nenule ordonate crescător a[1]≤a[2]≤...≤a[N] și T perechi de numere naturale (p[k],q[k]) cu 1≤p[k]<q[k]≤N și 1≤k≤T și apoi:

(1) Dacă C=1, atunci trebuie să se determine pentru fiecare pereche dată de numere naturale (p,q) suma a[p]+a[p+1]+...+a[q].
(2) Dacă C=2, atunci trebuie să se determine pentru fiecare pereche dată de numere naturale (p,q) numărul de perechi (i,j) care respectă simultan condițiile p≤i<j≤q și a[i]≠a[j].

Se consideră două șiruri de numere naturale, ambele de lungime n, a=(a[1],a[2],...,a[n]) și b=(b[1],b[2],...,b[n]). Se știe că elementele din cele două șiruri sunt numere naturale, nu neapărat distincte, din mulțimea {1,2,…,n}. Cu cele două șiruri se poate face următoarea operație: se aleg doi indici i și j, cu 1≤i≤j≤n, apoi prin interschimbarea secvențelor a[i],a[i+1],...,a[j] cu b[i],b[i+1],...,b[j] se obțin șirurile:

• a[1], a[2], ...,a[i-1], b[i],b[i+1],…, b[j], a[j+1],a[j+2], …, a[n] și
• b[1], b[2], ...,b[i-1], a[i], a[i+1],…, a[j], b[j+1],b[j+2], …, b[n].

Dacă măcar unul din șirurile obținute este permutare a mulțimii {1,2,…,n}, atunci spunem că s-a obținut un mixperm.

Să se determine în câte moduri se poate obține un mixperm.

Dorel și-a achiziționat o fermă cu n plantații și o mașină de transport cu o capacitate c, pentru transportul de îngrășăminte la toate plantațiile. Îngrășămintele se află într-un depozit, în cantitate suficientă pentru scopul propus. Plantațiile și depozitul sunt dispuse sub forma unui cerc. Există drumuri doar între plantația i și plantația i+1 (1≤i≤n-1), precum și între depozit și plantația 1 și depozit și plantația n, ca în figură.

La o plantație i se poate ajunge de la depozit trecând prin plantațiile 1, 2,…, i-1 sau prin plantațiile n, n-1, …, i+1, alegerea făcându-se în funcție de traseul cel mai scurt. Se cunosc aceste distanțe, precum și cantitatea de îngrășăminte necesară pentru fiecare plantație. La fiecare încărcare, Dorel ia din depozit exact cantitatea c. Dorel vrea să-și organizeze bine munca la fermă și să consume cât mai puțină benzină prin alegerea celor mai scurte trasee de parcurs. Plantațiile trebuie să fie aprovizionate obligatoriu în ordinea următoare: mai întâi plantația 1, apoi plantația 2, plantația 3,…, plantația n. În plus, și-a propus să încarce o nouă cantitate de îngrășământ doar după ce a folosit toată cantitatea încărcată anterior. Transportarea îngrășămintelor pe plantații se face deci, începând cu plantația 1. După ce se transportă toată cantitatea necesară pentru această plantație, se trece la plantația 2, și tot așa în ordine la 3, 4 etc. până se deservește ultima plantație. Dacă după ce s-au transportat îngrășămintele necesare pentru plantația i în mașină au mai rămas încă îngrășăminte, acestea trebuie utilizate în continuare pentru alte plantații, alese în ordinea impusă (începând cu plantația i+1, apoi i+2 etc.), până se epuizează toată cantitatea transportată de mașină. Astfel, dacă de la plantația i trebuie să ajungă la plantația i+1, va alege cel mai scurt traseu dintre traseul direct de la plantația i la i+1 și traseul care trece prin plantațiile i-1, i-2, …, 1, depozit, n, n-1, …, i+1. La final, mașina trebuie să se întoarcă la depozit, goală sau cu cantitatea rămasă după aprovizionarea cu îngrășăminte a plantației n.

Ajutați-l pe Dorel să calculeze distanța parcursă pentru a transporta îngrășăminte la toate cele n plantații, conform cerințelor.

Aflaţi dacă N este divizibil cu 2 la puterea X şi dacă N este divizibil cu 5 la puterea X.

Determinati lungimea maximă a unui platou care poate să apară în şir în urma efectuării operatiunilor de maxim k ori sau elementul din care este format platoul.

Cu ocazia Olimpiadei Naţionale de Informatică, toate drumurile care duceau la Roma, duc acum la Braşov. Drumarii, sub atenta îndrumare a lui Dorel, s-au întrecut pe sine şi s-au hotărât să monteze borne “kilometrice” din 100 în 100 metri. Peste noapte însă, din motive paranormale, unele borne au dispărut. Cunoscând numerele de pe bornele rămase pe fiecare drum spre Braşov, să se determine, pentru fiecare drum, un set de borne dintre cele care lipsesc astfel încât suma numerelor de pe borne să fie divizibilă cu 2017.

Pentru fiecare număr A trebuie să găsiți cel mai mare K cu proprietatea că există un șir B de numere naturale, nu neapărat distincte, astfel încât: (B1 + 1)(B2 + 1)...(BK + 1) = A

Determinați numele pe care îl va purta animăluțul lui Arpsod

Alexandru este foarte pasionat de cuburi. Într-o zi, acesta a creat un zid format din N turnuri de cuburi, turnul i fiind alcătuit din H[i] cuburi puse unul peste altul. Având acest zid, el își pune următoarea întrebare: Dacă aș porni de la un zid “gol” cu N turnuri (gol înseamnă ca H[i] = 0 pentru orice 1 ≤ i ≤ N) iar singura operație pe care o pot face este să aleg doi indici i și j cu 1 ≤ i ≤ j ≤ N și să pun câte un cub peste fiecare turn în intervalul i și j, care este numărul minim de astfel de operații ce trebuie efectuate pentru a obține zidul inițial?

Alexandru, mare informatician, a decis să își impresioneze prietenii cu următoarea problemă: Dându-se un vector cu N numere naturale nenule, se întreabă care este numărul minim de mulțimi cu numere consecutive de forma {1...K} în care acesta poate fi împărțit. Spre exemplu vectorul A = {1, 3, 2, 2, 1, 4} poate fi împărțit în număr minim de partiții astfel {1, 2, 3, 4}, {1, 2}.

Alexandru este elev în clasa a V-a și este foarte pasionat de informatică. Într-o zi acesta a descoperit un vector A cu N elemente și a început să se joace cu ele. Tatăl său, profesor de matematică, îi admiră ingeniozitatea și îi pune M întrebări de forma: “Câte valori din vectorul A sunt divizibile cu numărul x?”.

Se dă un şir format din n numere naturale nenule. Aflaţi cel mai mic număr natural, diferit de 1, care divide un număr maxim de numere din şir.

Ana a calculat suma numerelor naturale mai mici sau egale cu n, iar Andreea suma numerelor naturale mai mici sau egale cu m. Doamna de mate a calculat apoi diferenţa celor două sume şi a obţinut rezultatul S.

Pentru o valoare S dată, aflaţi toate perechile (n,m), cu n>m, scriindu-le în ordine descrescătoare după n astfel încât doamna de mate să obţină rezultatul S.

Se dau n valori naturale. Stabiliți dacă există o progresie aritmetică cu rația număr natural mai mare decât 1 din care să facă parte toate aceste valori.

Dorel trebuie să repare reţeaua de alimentare cu apă din oraşul lui. Pentru fiecare din cele n străzi Dorel şi-a notat două numere naturale, raportul lor fiind lungimea conductei care trebuie înlocuită pe acea stradă. Pentru a destrăma mitul “Dorel, instalatorul dezastru”, el vă roagă să aflaţi lungimea totală a conductei de care are nevoie pentru a repara toate străzile, cu 20 de zecimale exacte.

Se dă un șir cu n elemente, reprezentând cifrele numărului a. Să se afle suma cifrelor lui a, suma sumei, etc., până când se ajunge la un număr cu o singură cifră.

Se cere să se afișeze în ordine crescătoare toate numerele fabuloase de pe linia k a triunghiului.

Să se răspundă la Q întrebări de forma: “Care este numărul natural minim x astfel încât cifra c să apară de cel puțin K ori în reprezenatrea tuturor numerelor naturale nenule mai mici sau egale cu x?”

Cei n copii din clasa a V-a şi-au ales câte un număr natural dintre numerele de la 1 la n, neavând doi copii acelaşi număr. Fiecare copil a calculat suma numerelor naturale mai mici sau egale cu numărul ales, apoi doamna de mate a calculat suma pătratelor rezultatelor obţinute de copii. Voi trebuie să aflaţi rezultatul obţinut de doamna de mate.

Numerele naturale nenule se scriu pe linii într-un triunghi de forma de mai jos:

1
2 3
4 5 6 
7 8 9 10
...

Cerința

Se dau două numere natural n și m. Determinați:

1. Suma numerelor de pe linia cu numărul n din triunghiul construit ca mai sus.

2. Linia pe care se află numărul m precum și pe ce poziție se află el pe această linie.

Profesorul de informatică îi dă ca temă lui Cosmin să creeze un program care citește numărul natural n și afișează pe ecran primele n zecimale ale lui xn, în ordinea în care apar, unde \( x = 5 \cdot \sqrt {2} – 7 \).

Un număr natural de cel puțin două cifre se numește accesibil dacă este format din cifre consecutive în ordine strict crescătoare. (23 și 6789 sunt numere accesibile, în timp ce 7, 2334 și 654 nu sunt numere accesibile)

Scrieți un program care să citească numerele k, n și un șir de n numere naturale și să afișeze:

a) cele mai mari 3 numere accesibile, nu neapărat distincte, din șirul de n numere;
b) câte dintre numerele din șirul dat care nu sunt accesibile, devin accesibile prin eliminarea exact a unei cifre;
c) cel mai mic și cel mai mare număr accesibil format din k cifre;
d) numărul numerelor accesibile pare de k cifre și numărul numerelor accesibile impare de k cifre.

Un copil construiește un triunghi cu numerele naturale nenule astfel:

• în vârful triunghiului scrie valoarea 1;
• completează liniile triunghiului de sus în jos, iar căsuțele de pe aceeași linie de la stânga la dreapta cu numere naturale consecutive, ca în figurile următoare.

În figura 1 este ilustrat un astfel de triunghi având 5 linii, conținând numerele naturale de la 1 la 15.
În acest triunghi copilul începe să construiască drumuri, respectând următoarele reguli:

• orice drum începe din 1;
• din orice căsuță se poate deplasa fie în căsuța situată pe linia următoare în stânga sa (deplasare codificată cu 1), fie în căsuța situată pe linia următoare în dreapta sa (deplasare codificată cu 2);
• orice drum va fi descris prin succesiunea deplasărilor efectuate.

De exemplu, drumul ilustrat în figura 2 poate fi descris astfel: 1 2 2 2.

Scrieţi un program care rezolvă următoarele două cerințe:

1. citește descrierea unui drum și afișează numărul la care se termină drumul;
2. citește un număr natural nenul K, determină un drum care se termină cu numărul K pentru care suma numerelor prin care trece drumul este maximă și afișează această sumă.

Se consideră un şir format din n numere naturale nenule. Să se determine lungimea maximă a unei secvenţe strict crescătoare din şirul dat.

Vânătorul şef al regelui Arthur a primit însărcinare să vâneze primele raţe ce se întorc din ţările calde. Regele fiind un tip cu idei fixe i-a cerut vânătorului să vâneze raţele albe cu săgeţi albe, iar raţele negre cu săgeţi negre.
Raţele vin în stoluri din ce în ce mai mari: mai întâi una, apoi două, trei , cinci, opt ş.a.m.d. Raţele fiind nişte creaturi ordonate zboară în rânduri lungi, în care nu vei putea găsi două raţe de aceeaşi culoare alăturate, fiecare rând începînd cu o raţă albă. Vânătorul ştie că dacă a început să doboare un rând de raţe trebuie să le doboare pe toate deoarece supravieţuitoarele vor alerta celelalte raţe şi ele nu se vor mai întoarce niciodată, iar vânătorul nostru îşi va pierde slujba.

Scrieţi un program care să citească numărul natural N şi care să determine:

a. cifra minimă din numărul N;

b. numărul obținut după prima transformare a numărului N;

c. numărul obținut după toate transformările până se obține o singură cifră din N.

Alina este mare iubitoare de teatru. Directorul teatrului i-a oferit șansa să joace în mai multe spectacole, ca figurant, deocamdată. Costumiera de scenă a decis să-i dea C costume diferite dintre cele care sunt destinate acestei stagiuni. Alina va duce costumele acasă și le va ajusta ca să-i vină bine. Stagiunea durează Z zile consecutive și în fiecare zi se joacă câte o piesă. Aceeași piesă se va juca, desigur în una sau mai mai multe zile ale stagiunii. Fiecărei piese i se asociază un unic costum de figurant, deci pentru fiecare piesă în care joacă, Alina trebuie să îmbrace un singur costum, acela asociat piesei respective. Costumele de figuranți sunt identificate prin literele mari ale alfabetului englez: A, B, C, …, X, Y, Z. Alina are voie să-și aleagă cele C costume diferite.

Cunoscând costumul asociat fiecărei zile a stagiunii, ajutați-o pe Alina să-și aleagă cele C costume diferite, în așa fel încât să poată juca într-un număr cât mai mare de piese consecutive.

Se dă următorul șir de numere naturale:

1, 3, 9, 25, 65, 161, 385, 897, 2049, 4609, 10241, 22529, 49153, 106497…

Pentru un număr natural n, citit de la tastatură, afișati numărul de divizori pentru fiecare dintre primii n termeni din șir.

În camera copiilor problema spațiului este esențială. De aceea locul unde sunt depozitate jucăriile este asemănător unei matrici pătratice, dispuse vertical, fiecare jucărie ocupând un locație bine stabilită.

Entuziasmul și bucuria copiilor în a se juca este bine cunoscută, dar și ”disponibilitatea” acestora de a ordona (reașeza) jucăriile la locul prestabilit este proverbială. Cum, după o rundă de joacă, întotdeauna urmează un episod din serialul de desene animate preferat, copii așează la întâmplare jucăriile.

Cunoscând numărul M de jucării, iar pentru fiecare jucărie locația în care copii au pus jucăria (linie, coloană), precum și locația unde trebuie corect pusă aceasta (linie, coloană), ajutați bona să reașeze jucăriile astfel încât numărul de mutării să fie minim. În cazul în care locația unde trebuie mutată o jucărie este ocupată, atunci bona depozitează temporar jucăria într-o locație specială, dacă este liberă, până când locația unde trebuie mutată se va elibera.

Să se determine:

• numărul minim de mutări ce nu necesită folosirea locației speciale
• numărul minim de mutări necesar rearanjării tuturor jucăriilor

Tânărul Pagnad își dorește foarte mult să se poată juca jocul lui preferat, dar pe mama lui a apucat-o curățenia prin casă. După ce s-au împărțit sarcinile el a rămas să facă curat la papuci. Acesta are papucii așezați pe două etajere, fiecare papuc are pereche. Acesta poate efectua două tipuri de operații asupra papucilor, poate să ridice un papuc și să-l pună într-un anumit loc sau să împingă un papuc.
Pagnad trebuie să aranjeze papucii astfel încât fiecare papuc să aibe perechea lângă el. Deoarece acesta este un leneș, își dorește să ridice greutăți cât mai mici, deoarece fiecare papuc este caracterizat printr-o greutate. Aflați care este greutatea maximă pe care trebuie să o ridice Pagdan. Se consideră că fiecare pereche are greutăți diferite și că nu există două perechi asemănătoare.

Fie a un număr natural scris în baza 10. Notăm cu b, baza minimă în care poate fi scris a. Astfel, dacă a=21756, atunci baza minimă în care acesta poate fi scris este b=8.
Definim cifra de control a numărului a scris în baza b, notată cu c=digit(a)b, ca fiind numărul de o cifră obținut prin adunarea în baza b a cifrelor numărului a. Dacă rezultatul obținut este de o cifră, atunci acesta reprezintă valoarea lui c, dacă nu, se aplică repetat asupra rezultatului procedeul de însumare a cifrelor în baza b până când se obține o cifră.

De exemplu:

• c=digit(21756)₈=digit(2+1+7+5+6)₈=25, întrucât c>8 procedeul continuă
• c=digit(25)₈=digit(2+5)₈=7.

Se consideră un interval închis [x,y]. Să se determine:

• a – primul număr prim mai mare sau egal ca x
• b – baza minimă în care poate fi scris numărul prim a
• c – cifra de control a numărului prim a
• n – numărul de numere prime din intervalul [x,y] ce pot fi scrise în baza b și au cifra de control egală cu c.

Să se afle al n-lea termen al şirului 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 31112221,...

Șcuțu este un mare matematician. Într-o seară acesta a inventat operația ∆. Operația ∆ se aplică pe 2 numere naturale, astfel:

• 290 ∆ 345 = 290345
• 21 ∆ 12 = 2112
• 456 ∆ 0 = 4560

Mygo și Seba sunt la rândul lor foarte buni informaticieni. Aceștia au un vector A cu N elemente, numere naturale, indexate de la 1. Ei vor construi un nou vector V, acesta la rândul său indexat de la 1, ce conține fiecare valoare A[i] ∆ A[j] (1 ≤ i, j ≤ N) pe care îl vor sorta crescător.

Acum Șcuțu le va pune celor 2 câte două întrebări:

1. Câte valori din V sunt mai mici sau egale cu X ?
2. Pentru X dat, ce valoare se află pe poziția X ?

Cifrele de la 1 la K se scriu într-un şir, iar secvenţa obţinută se repetă la nesfârşit. De exemplu, pentru K=9 se obţine şirul: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …. Asupra unui asemenea şir se aplică succesiv operaţia de rostogolire de lungime P, ce presupune ca blocul format cu cifrele de pe primele P poziţii să se rotească cu 1800 şi să se scrie deasupra următoarei secvenţe de lungime P.
Astfel pe primele P poziţii se formează un bloc având la bază P cifre şi înălţimea N+1, unde N este numărul de rostogoliri de lungime P.
Pentru K, P şi N date se cer următoarele:
a) Suma elementelor blocului după N rostogoliri de lungime P.
b) Suma maximă a elementelor de pe o coloană a blocului după N rostogoliri de lungime P.
c) Dacă liniile blocului le privim ca pe nişte numere cu P cifre, să se afle cel mai mic dintre aceste numere ale blocului obţinut după N rostogoliri de lungime P.

Să se determine dacă a se poate scrie că suma de b numere naturale consecutive.

Andreea a primit de ziua ei un joc cu cifre de plastic, din fiecare cifră nenulă având 30 de exemplare. Cifrele se aflau într-un săculeţ, iar Andreea s-a gândit să scoată la întâmplare un număr oarecare de cifre din săculeţ, să efectueze produsul lor, şi dacă obţinea un număr mai mic decât 1.000.000.001 pe care nu-l mai obţinu-se până atunci, îl scria pe un cartonaş, punând apoi cifrele înapoi în săculeţ. Astfel, după o muncă asiduă, a scris toate numerele posibile pe cartonaşe. Prietena ei, Ana, făcându-i o vizită, a văzut cartonaşele, a luat la întâmplare unul dintre ele şi a calculat cel mai mare divizor comun al numărului de pe cartonaşul luat cu fiecare număr de pe cartonaşele rămase, scriind pe fiecare dintre cartonaşele rămase rezultatul obţinut. Dacă se cunosc numerele aflate pe N cartonaşe dintre cele scrise de Andreea şi Ana, aflaţi numărul de pe cartonaşul luat de Ana.

Să se afișeze o matrice pătratică cu n linii și n coloane după regulă.

Se dă un şir format din N numere naturale nenule. Spunem că un număr e fericit dacă se poate scrie ca suma pătratelor a două numere naturale. Notăm cu K numărul numerelor fericite din şir şi cu P produsul acestora. Aflaţi numărul K precum şi două numere naturale care au suma pătratelor egală cu PE, unde E este un număr natural dat.

Se consideră matricea A ale cărei elemente pot avea doar valorile 0 sau 1 și în care numerotarea liniilor și numerotarea coloanelor începe de la 1. Pentru un element oarecare al matricei, definim noţiunea de vecin ca fiind acele elementele din matrice aflate în imediata sa apropiere, pe una dintre direcțiile orizontală, verticală sau pe cele două diagonale. Un vecin bun al elementului A[i][j] este un vecin care are aceeaşi valoare cu A[i][j].

Dându-se matricea A, să se determine numărul maxim de vecini buni pe care îi are unul dintre elementele matricei precum și numărul de elemente care au acest număr maxim de vecini buni.

Se dă un șir de n numere naturale nenule. Pentru fiecare element din șir se va afișa valoarea 1 dacă acesta este perfect sau 0 în caz contrar.

Georgiana nu are clipă de răgaz. Profesorul de info îi cere acum să afle cel mai mic număr natural de n cifre care împărţit la b dă restul r. Poate o ajutaţi să treacă şi peste acest hop.

Fibonacci, un celebru matematician italian din Evul Mediu, a descoperit un șir de numere naturale cu multiple aplicații, șir ce-i poartă numele:

\( Fibonacci(n)=\begin{cases} 1& \text{dacă $n=1$ sau $n=2$ }\\Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2)& \text{dacă $n>2$}\end{cases} \)

Fascinat de șirul lui Fibonacci, și mai ales aplicațiile acestui șir în natură, Iccanobif, un matematician în devenire, a creat un șir si el un care-i poartă numele:

\( Iccanobif(n)=\begin{cases} 1& \text{dacă $n=1$ sau $n=2$ }\\răsturnat(Iccanobif(n-1))+răsturnat(Iccanobif(n-2))& \text{dacă $n>2$}\end{cases} \)

Obținându-se astfel șirurile:

• Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
• Iccanobif: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 39, 124, 514, 836, …

Iccanobif, se întreabă acum, ce număr are mai mulți divizori numere naturale: al n-lea termen din șirul Fibonacci sau al n-lea termen din șirul său.

Scrieți un program care să citească un număr natural n și să afișeze:

a) al n-lea termen din șirul lui Fibonacci și numărul său de divizori
b) al n-lea termen din șirul lui Iccanobif și numărul său de divizori

Se dau două numere naturale S şi K. Să se afle cel mai mic număr natural A care are suma cifrelor egală cu S, precum şi restul împărţirii lui A la K.

Se dă un şir format din n numere naturale . Un număr din şir se numeşte special de ordin k dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9, iar cele k numere situate înaintea sa în şir şi cele k numere situate după el în şir sunt prime. Se cere să se afle câte numere speciale de ordin 0 şi câte numere speciale de ordin 1 sunt în şir, precum şi ordinul maxim al unui număr special din şir.

Un celebru rezolvitor de pe pbinfo împlinește venerabila vârstă de n ani. Ceilalți rezolvitori s-au gândit să îi facă o surpriză și să comande un tort special.

Într-o matrice pătratică, pentru fiecare poziție identificată prin linia i și coloana j, se adună toate elementele care se găsesc pe linia i sau pe coloana j sau pe diagonalele care trec prin a[i][j] și sunt paralele cu diagonala principală sau cu diagonala secundară, cu precizarea că în această sumă, elementul a[i][j] apare o singură dată.

Să se determine suma maximă care se obține prin procedeul prezentat mai sus precum și poziția corespunzătoare (linia și coloana) sumei maxime. Dacă există mai multe poziţii pentru care se obţine suma maximă, se va alege prima dintre acestea, în ordinea parcurgerii matricei pe linii.

Pentru cei elevi din clasa a VI-a competiția este foarte importantă și, pentru a se pregăti suplimentar, aceștia lucrează de pe site-ul www.PROBLEMEINFORMATICA.RO.

Pentru a-i încuraja, profesoara de informatică le promite câte o notă de 10 primilor k elevi, cei mai harnici și sârguincioși.

Dacă observă că mai sunt elevi care au același număr de probleme rezolvate ca și cel de pe poziția k, atunci profesoara, echidistantă, mai pune în plus note de 10 la toți aceștia.

Să se scrie un program care, citind numărul N de elevi ai clasei, numărul k de elevi notați cu 10 și N valori reprezentând numărul de probleme rezolvate de fiecare elev, rezolvă cerințele:

1. Afișează în ordine descrescătoare numărul de problem lucrate de elevii care vor primi nota 10.
2. Afișează în ordinea descrescătoare a numărului de probleme rezolvate, numerele de ordine ale tuturor elevilor care primesc nota 10.

Gigel, mare pasionat de jocuri merge cu tatăl său în excursie. Pe drum acesta adoarme și devine personaj principal
într-o cursă de mașini. În visul său este pilot de formula 1 în jocul Need for Speed!

Observă că benzina e pe sfârșite! Trebuie să alimenteze urgent de la o benzinărie dar acestea “apar” numai când kilometrajul mașinii este un număr palindromic (citit în ambele sensuri este la fel).

Se uită spre kilometraj și trebuie să decidă repede: merge înainte spre următoarea stație de benzină sau se întoarce spre stația de benzină anterioară. Dacă benzinăriile sunt la distanțe egale, Gigel va merge înainte. Dacă kilometrajul mașinii indică deja un număr palindromic, ratează această benzinărie, nemaiputând opri la timp (are viteză mare) și caută o soluție: altă benzinărie.

Presat de timp, Gigel vă roagă să îl ajutați să găsească distanța minimă până la cea mai apropiată benzinărie (numărul palindromic cel mai apropiat) și cât va indica kilometrajul atunci când va sosi la benzinărie.

La ultima oră de matematică, Ionel a învățat despre numere speciale. Acestea sunt numere naturale cu număr impar de cifre care au prima cifră egală cu ultima. Ionel a primit ca temă să analizeze un șir format din numere având număr impar de cifre. El trebuie să determine suma cifrelor din mijloc, de la numerele speciale care se găsesc în șirul dat.

Se citește numărul natural n și apoi se citesc n numere naturale având fiecare număr impar de cifre. Să se calculeze suma cifrelor din mijlocul numerelor speciale din șirul dat.

O echipă de arheologi a descoperit o hartă străveche a Ținutului de Nord, care era locuit de o civilizație condusă după reguli matematice foarte riguroase. Conform acestei hărți, Ținutul de Nord era împărțit în n rânduri a câte m comitate, fiecare comitat ocupând o suprafață pătrată de un hectar.

Însă descoperirile au mai arătat că această civilizație a fost atacată de la sud-vest de o bacterie periculoasă, ce a acționat astfel: în primul an, a infectat comitatul din colțul din stânga jos al hărții, în al doilea an a infectat cele două comitate vecine cu primul, în al treilea an a infectat cele trei comitate vecine cu anterioarele două și așa mai departe, infecția oprindu-se când bacteria a ajuns la marginea de sus sau la marginea din dreapta a hărții.

Scrieţi un program care să determine numărul de comitate rămase neinfectate după oprirea expansiunii bacteriei.

Războiul intergalactic a început, iar extratereștrii au invadat deja planeta noastră. Misiunea ta este să salvezi toți locuitorii planetei cât mai repede cu putință!

Într-un hambar vechi, ai găsit un robot proiectat special pentru amplasarea de bombe nucleare și totodată o hartă a planetei sub formă de dreptunghi împărțită în N x M zone pătratice dispuse pe N linii și M coloane, de dimensiune 1. Pe hartă sunt reprezentate și pozițiile extratereștrilor (xi,yi), unde xi reprezintă indicele de linie, iar yi reprezintă indicele de coloană al extraterestrului i. De asemenea, robotul poate amplasa bombe în orice poziție de pe hartă, iar la declanșarea lor, acestea distrug orice extraterestru de pe aceeași linie sau de pe aceeași coloană cu ele.

Din păcate, robotul nu este echipat decât cu o singură bombă. Datoria ta este să-i transmiți robotului coordonatele x y unde să amplaseze bomba, astfel încât toți extratereștrii să fie distruși. Poți să salvezi planeta? Timpul se scurge! Tic, tac, tic, tac…

Pe o tablă de joc cu N linii și M coloane se află un roboțel pe poziția 1,1. El știe să meargă doar pe conturul tablei (prima și ultima linie, respectiv prima și ultima coloană). Robotul dorește să ajungă pe poziția N, M dar nu este așa simplu. Pe tabla de joc se află Q bare de lungimi infinite. Barele sunt fixate în colțul din dreapta jos a unor căsuțe. La început, o bară se poate afla fie în poziție verticală, fie în poziție orizontală. Robotul poate schimba orientarea acestor bare din poziție verticală în poziție orizontală și invers. El nu poate trece printr-o bară.
De exemplu, dacă avem N=4, M=4, Q=1 și bara se află la coordonatele 3,3 în poziție verticală, robotul nu poate ajunge la căsuțele de pe coloana 4. Dar dacă el învârte bara poate merge pe coloana 4, apoi pentru a merge pe linia 4 poate să învârtă bara din nou.

Această soluție nu este optimă deoarece robotul putea ajunge în poziția 4,4 învârtind o singură dată bara. Mai întâi se poziționează pe linia 4, apoi învârte bara și se duce pe coloana 4.

Să se afle numărul minim de rotiri ale barelor pentru ca robotul să ajungă din poziția 1,1 în poziția N,M, mergând numai în dreapta și în jos.

Pentru un număr oarecare X, natural, să se calculeze a X-a zecimală a numărului rațional \( \frac {1} {2 ^ X} \).

Gigel se plimbă pe o stradă pe care a mai fost de mai multe ori. El se plictisește și se gândește să citească numerele caselor și în ordinea inversă a cifrelor. Nu trece mult timp și Gigel observă că unele numere au o proprietate specială, sunt identice oricum ar fi citite. Astfel el se gândește să afle câte numere de pe acea stradă sunt citite identic din ambele sensuri (de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga).

Fiind dat n numărul de case şi un șir de n valori naturale, reprezentând numerele inscripţionate pe cele n case, aflați numărul de numere care au proprietatea specială.

În regatul lui Cătălin și al lui Sebi există 3 elfi magici, fiecare având vârsta formată dintr-o singură cifră. Fie aceste cifre x, y, z. Ei au aflat că se ține un sfat al bătrânilor în care pot participa doar elfii ale căror vârste sunt numere de 3 cifre. Pentru a fi şi ei prezenţi, cei trei elfi magici își folosesc puterile pentru a-și uni vârstele într-un singur număr de 3 cifre. Transformarea lor este perfectă doar dacă obţin, alăturând vârstele lor, un număr par de 3 cifre.

Să se afișeze câte transformări perfecte pot avea loc, alăturând cele trei vârste și cea mai mare valoare de trei cifre dintre aceste transformări perfecte. Dacă nu pot forma nici un număr par de trei cifre, elfii nu pot participa la sfat și se va afișa mesajul Poate data viitoare!.

Fie N un numar natural și un șir de N numere naturale V[1], V[2], …, V[N]. Pentru M întrebări de forma (i,j), să se calculeze suma termenilor V[i], V[i + 1], …, V[j].

Gigel vrea un calculator nou care are prețul x. Tatăl acestuia, fiind profesor de matematica, i-a spus ca îi va cumpăra calculatorul dacă prețul x al acestuia este norocos. Un număr x este norocos dacă pătratul acestuia se poate scrie ca sumă de x numere consecutive. De exemplu, x = 7 este număr norocos deoarece, 7 * 7 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

Gigel a obţinut T oferte de preț și dorește să știe pentru fiecare dintre acestea dacă prețul este corespunzătoare restricției pe care i-a impus-o tatăl său.

Definim un număr ca fiind fantastic dacă numărul de numere la care acesta se împarte exact este un număr prim.

Dându-se un șir cu n numere întregi strict pozitive, să se afișeze numărul de numere fantastice din șir.

Se dă un vector cu n elemente, numere naturale nenule. Afișați termenii în ordine crescătoare.

Termenii care apar de mai multe ori se vor afișa o singură dată.

Afişaţi, în ordine crescătoare, toate numerele dintr-un anumit interval care au toate cifrele egale.

Se citește un număr natural n cu cel mult 16 cifre. Fie q numărul de cifre ale numărului n. Prin eliminarea unei singure cifre din scrierea numărului n se obține un șir de q numere. Să se afișeze în ordine crescătoare, numerele nenule din acest șir care sunt prime cu numărul n.

Se dă un vector cu n elemente, numere naturale. Afișați în ordine crescătoare elementele iar după fiecare element, inserați indicele poziției pe care acesta se afla înainte ca vectorul să fie sortat.

Georgiana a mai primit o problemă de la doamna profesor. Se dau n triplete de forma m, b, r, iar pentru fiecare triplet Georgiana trebuie să afle care este cel mai mic număr natural format cu m cifre, care împărţit la b dă restul r.

Chris vă propune un joc cu becuri.

• în joc sunt n becuri
• inițial toate cele n becuri au culoarea albastru
• fiecare bec poate avea doar două culori: roșu sau albastru
• se efectuează n parcurgeri, pentru k de la 1 la n. La parcurgerea de rang k, se schimbă culoarea fiecărui bec situat pe poziţii având indicii multipli de k, din roşu în albastru şi invers.

Știind numărul n de becuri, să se afișeze numărul de becuri care au culoarea roșie după terminarea jocului.

Dându-se şirul de fracţii 1/N, 2/N, 3/N, ...,N/N, să se afle câte fracţii sunt ireductibile.

Dându-se un numerele n și k, să se afle cel mai mic număr de n cifre, cu restul împărţirii la 9 egal cu k.

Agentul 007 a uitat cifrul seifului în care păstra documentele, însă ştie cum poate fi aflat. Are nişte cartonaşe pe care sunt notate n numere naturale distincte din intervalul [ a,b ]. Mai are o listă cu m numere naturale distincte care reprezintă anumite poziţii din şirul ordonat crescător al numerelor de pe cartonaşe. Însumând numerele aflate pe poziţiile din listă se determină un număr natural care reprezintă cifrul seifului. Cum Agentul 007 nu a mai programat din liceu, vă roagă pe voi să găsiţi cifrul în schimbul a 100 de … puncte.

Dan și Paul și-au propus să învețe să joace snooker și la sfârșitul jocului cei doi prieteni studiază tabela de scor care arată în felul următor: apare valoarea 1 dacă un jucător a introdus o bilă roșie, o valoare cuprinsă între 1 și 6 dacă introduce corect o bilă colorată și valoarea -5 dacă jucătorul comite fault. Când un jucător ratează pe tabelă apare valoarea 0.

După joc, cei 2 prieteni vor să afle răspunsul la următoarele întrebări:
care dintre ei a câștigat partida și care este numărul maxim de bile introduse consecutive de un jucător fără a comite fault?

Andrei a făcut într-o zi un șir de N numere. În a doua zi a lăsat în acel șir doar numerele prime. În a treia zi a calculat pentru fiecare număr rămas în șir suma cifrelor, iar apoi a adunat toate aceste sume în S. După ce a obținut numărul S a început să adune toate cifrele din care este format S și tot așa până când ajunge la o cifră terminală C.

Calculaţi suma cuburilor cifrelor tuturor numerelor dintr-un şir.

Dându-se numărul de laturi ale unui poligon convex, calculați:

1. Numărul de diagonale
2. Suma măsurilor unghiurilor poligonului convex

Primele 2017 numere naturale, având fiecare exact 2017 divizori naturali, s-au gândit la început de nou an să-şi pună divizorii împreună, în ordine crescătoare, astfel se vor amesteca şi vor mai socializa şi ei în mod democratic. Marele conducător KWI s-a gândit să bage zâzanie între ei şi a început să le pună n întrebări de genul “-Domnule x, faci cumva parte din societatea secretă a divizorilor celor 2017 numere cu câte 2017 divizori?”. Să sperăm că până în anul 2017 va primi toate răspunsurile şi toată lumea va fi fericită.

O floare abia plantată se notează cu 0. În fiecare lună, aceasta crește cu un rând de petale, separate prin spațiu, notate cu cifra vârstei sale în acea lună.
Se dă un număr natural n. Construiți și afișați o matrice ce reprezinta floarea dupa n luni.

Moş Crăciun s-a dus la Polul Nord Shopping City să cumpere n cadouri pentru copiii din întreaga lume. Fiecare cadou avea un cod de bare pentru identificarea produsului, corespunzător unui număr format din nouă cifre, prima cifră fiind nenulă. La plecare şi-a amintit că-i promisese unui copil isteţ un cadou special, care să fie diferit de toate celelalte. Moş Crăciun vă roagă să găsiţi un cadou care să aibă codul de bare diferit de toate celelalte.

Un număr natural nenul n se numește norocos dacă pătratul lui se poate scrie ca sumă de n numere naturale consecutive.

Se dă un număr natural n. Dacă numărul este norocos afișați cele n numere consecutive care adunate dau pătratul acestuia.

Se dă un șir cu n elemente, numere naturale. Să se afișeze, pentru fiecare element din șir, valoarea din șir aflată după acesta și mai mare decât acesta. Dacă o asemenea valoare nu există, se va afișa -1.

Se consideră o expresie aritmetică fără paranteze, în care operanzii sunt cifre, iar operatorii sunt + sau −. Să se evalueze expresia dată.

Se consideră un şir s format din numere întregi. Să se determine numărul de termeni ai şirului obţinut prin eliminarea din cele două extremităţi ale lui s a unui număr minim de termeni, astfel încât şirul rezultat să înceapă şi să se termine cu câte un număr par.

Se consideră un şir format din n numere întregi. Șirul conține cel puțin un număr pozitiv. Să se determine lungimea maximă a unei secvenţe din şir care are proprietatea că este formată doar din valori strict pozitive.

Se consideră un șir ai cărui termeni sunt numere naturale nenule, de o singură cifră. Numim număr asociat al acestui șir un număr natural format cu termenii șirului, în ordinea în care aceștia apar în șir.
Se cere determinarea unui șir obținut prin eliminarea a doi termeni situați pe poziții consecutive în șirului dat, astfel încât numărul asociat șirului obținut să fie maxim.

Se consideră un șir de cifre. Să se determine lungimea maximală a unei secvențe din șir formată din cifre egale.

Se dă un şir de numere naturale nenule. Să se afle numărul secvenţelor din şir care au produsul elementelor egal cu 2k, unde k este un număr dat.

Să se determine cel mai mic număr natural care poate fi descompus ca sumă de două sau mai multe numere naturale consecutive în exact N moduri şi care sunt acele moduri.

Anul acesta unele magazine din România s-au hotărât să organizeze BlackFriday joia, altele de luni până joi, iar altele sâmbătă şi duminică. Ele au afişat n preţuri înainte de ieftinire şi cele n preţuri după ieftinire. Aflaţi ce produs s-a ieftinit cu cel mai mare procent.

Pentru un număr natural m numim rest mare cel mai mare rest pe care îl obţinem împărţind numărul m la toate numerele naturale de la 1 la m. Fiind dat un număr natural n, se determină pentru fiecare număr de la 1 la n numărul rest mare, iar aceste resturi mari se însumează. Se cere aflarea acestei sume.

Se dau n numere naturale, fie acestea A1, A2,..., An și Xi cel mai mic număr care are aceiași factori primi in descompunere ca şi Ai, unde 1≤i≤n. Aflați produsul X1 * X2 *...* Xn.

Se dă un șir de N elemente, numere întregi. Pe acest șir se aplică operații de două tipuri :

• Tip 1: st dr val – elementele de pe pozițiile din intervalul [st, dr] cresc cu valoarea val
• Tip 2: poz – să se afișeze valoarea elementului de pe poziția poz .
  Dându-se șirul de elemente și operațiile, aplicați operațiile pe șir.

Se citeste o cifra nenula n. Sa se afiseze figura, ca in exemplu.

Se dau n numere naturale nenule. Ordonați descrescător cele n numere după numărul lor de divizori.

Un număr natural nenul se numeste “p-prim” dacă el se descompune în p moduri ca produs de doi factori primi între ei. De exemplu, numărul 60 este 4-prim deoarece 60 se decompune în 4 moduri ca produs de doi factori primi între ei 60=1*60=4*15=5*12=20*3, iar numărul 7 este 1-prim. Pentru un interval închis [a,b] să se determine câte numere p-prime aparţin intervalului. De exemplu intervalul [7, 20] conţine numerele 2-prime: 10,12, 14,18,20.

Pe un teren dreptunghiular de dimensiuni m şi n, din loc în loc sunt plantaţi copaci. Pentru fiecare copac se cunosc rândul şi coloana pe care este plantat, între ei fiind spaţii neplantate. Doi copaci se consideră consecutivi dacă mergând pe coloane, numai de la nord către sud, între ei sunt doar spaţii neplantate.

Să se determine cea mai mare distanţă dintre doi copaci consecutivi şi toate perechile de copaci între care există această distanţă.

Programel a fost invitat să dea o proba de angajare la cea mai mare companie de jocuri din Catania – Brain Games. Sarcina pe ca a primit-o a fost următoarea:

Scrie un program care identifică mulţimea numerelor bine aşezate dintr-un şir, apoi identifică cel mai mare număr care se poate obţine ca sumă de numere distincte din mulţimea determinată şi cel mai mic număr natural nenul, care nu se poate obţine ca sumă de numere distincte din mulţimea determinată. Un număr bine aşezat este un număr a cărui valoare coincide cu indicele poziţiei sale în ordinea citirii.

Ionel a învăţat recent la Informatică reprezentarea numerelor în baza 2. Pentru a-și aprofunda cunoştinţele, profesorul său a inventat următoarea problemă: Dintr-un fişier text se citeşte un şir de N valori de 1, 0 şi -1. Valoarea -1 are semnificaţia de terminare a unui număr, iar valorile de 0 şi 1 reprezintă cifrele în baza 2 a câte unui număr natural. Să se determine primele NR valori codificate, cu numerele de apariţii cât mai mari.

La geometrie, domnul profesor de matematică le-a vorbit elevilor săi despre unghiuri. Pentru a fi sigur că aceștia au înțeles noțiunile predate, le-a dat o listă cu n probleme.

Fiind date numărul de ore în variabila h și numărul de minute în variabila m, să se determine câte grade avea unghiul dintre orarul și minutarul unui ceas clasic, la ora h şi m minute?

Shaka, regele zuluşilor, a dat ordin să se realizeze un sistem de comunicaţii bazat pe tobe (tamtam)care să acopere întreaga ţară. Pentru aceasta el a dispus instruirea celor ce vor urma să transmită mesajele. Problema intervenită este aceea că o parte din cursanţi nu pot face distincţie între sunete şi nu pot reda cu fidelitate succesiunea de sunete pe hârtie. S-a făcut următoarea convenţie de notare: un sunet lung va fi reprezentat prin +, unul scurt prin -, iar unul nedecis (receptorul nu e sigur de lungimea sunetului) prin *.

Spre finalul stagiului Shaka a mers să verifice nivelul de pregătire al cursanţilor. Pentru aceasta el a adunat n cursanţi pe care i-a pus să recepţioneze şi să noteze un mesaj format din m sunete. După transmiterea mesajului s-a constatat că mulţi dintre cursanţi au scris şiruri foarte diferite, ceea ce ducea la o alterare semnificativă a mesajului original, chiar dacă nici cel mai slab pregătit cursant nu a fost indecis la mai mult de jumătate din sunete. Supărat Shaka l-a chemat pe instructorul şef şi, ca să-l pedepsească, i-a cerut ca să determine câte mesaje distincte se pot forma din şirurile scrise de cursanţi.

Cel mai mare observator astronomic din România și din Europa de Est, aflat la Galați, a captat o imagine a boltei cerești, ce surprinde toate stelele vizibile în acel moment. Imaginea este în format digital, codificată sub forma unui tablou bidimensional, cu N linii și M coloane. Fiecare element al tabloului conține un număr natural care reprezintă intensitatea luminoasă a unei stele.

Numim stea strălucitoare o stea care are intensitatea luminoasă mai mare decât a tuturor stelelor învecinate direct cu ea, pe orizontală, verticală sau diagonală. Numim constelație pătrată patru stele strălucitoare care se află plasate în colțurile unui pătrat cu laturile paralele cu marginile tabloului. Lungimea laturii unei constelații pătrate este egală cu numărul de stele din care este formată latura. O stea strălucitoare poate face parte din mai multe constelații pătrate.

Scrieți un program care să determine:

a) Numărul stelelor strălucitoare;
b) Numărul constelațiilor pătrate;
c) Lungimea laturii pătratului care reprezintă cea mai mare constelație pătrată.

Ursuleţul Grizzlyuță are de parcurs zone de diferite altitudini, care sunt numere întregi. Atunci când trece dintr-o zonă în alta oboseala ursuleţului creşte cu o valoare egală cu altitudinea zonei în care trece. Să se determine zonele în care acesta acumulează oboseală maximă.

Se dă un număr natural n, par, mai mare decat 2. Scrieţi-l pe n ca sumă de 2 numere prime în toate modurile posibile.

Se dă o matrice pătratică cu N linii şi N coloane care iniţial are toate elementele egale cu 0. Pe această matrice se execută 4 tipuri de operaţii:

1 LIN VAL: toate elementele de pe linia LIN cu valoarea mai mică decât VAL iau valoarea VAL.
2 COL VAL: toate elementele de pe coloana COL cu valoarea mai mică decât VAL iau valoarea VAL.
3 LIN COL: să se afişeze valoarea elementului de pe linia LIN şi coloana COL.
4: să se afişeze suma elementelor de pe diagonala principală.

Afișați rezultatele operațiilor 3 și 4 în ordinea citirii.

Fie \( X = \overline{X_1 X_2 X_3…X_N} \) un număr natural din N cifre.

Definim secvență în numărul X orice număr format dintr-un grup de cifre situate pe poziții consecutive în X. De exemplu, pentru X=12543644 pot fi secvențe numerele: 5436, 12, 1, 364, 12543644, etc.

Definim secvență-maxim în șirul \(X\) o secvență \( \overline{X_K X_{K+1}…X_P…X_T} \) în care există o singură cifră \( X_P \) astfel încât \( X_K < X_{K+1} <…< X_P > X_{P+1} >…> X_T \) ( \(1≤K<P<T≤N\) și \(K,P,T\) sunt numere naturale). De exemplu, pentru X=12543644 secvențele-maxim sunt: 1254, 12543, 254, 2543, 364.

Scrieți un program care citește numărul N, cele N cifre ale numărului X și care determină numărul total de secvenţe-maxim din numărul X.

O persoana are de urcat n trepte. Aflaţi in câte moduri poate urca cele n trepte.

Dandu-se un sir, sa se afle cate din primele n numere sunt divizibile cu 3.

Să se scrie un program care pentru un şir cunoscut determină pentru câte subsecvenţe ale şirului suma elementelor care le alcătuiesc are un anumit rest dat la împărţirea cu 3.

De Ziua Îndrăgostiţilor Vali a hotărât să organizeze o petrecere mare pe stadionul oraşului. La petrecere pot participa numai şi numai îndrăgostiţi care şi-au procurat biletele din timp. Biletele oricărui cuplu sunt aproape identice. Ele au proprietatea că numărul de serie are prima cifră 1 pentru băieţi şi *prima cifră 2 pentru fete, continuarea celor două numere este identică. De exemplu, dacă prietenul are biletul cu numărul 134, atunci prietena lui are biletul 234, iar dacă prietena are biletul 2234567890, atunci prietenul ei are biletul 1234567890.
Bineînțeles, că și Vali are bilet și speră să câștige un cadou. Biletul lui Vali are aceeași proprietate ca celelalte bilete, cu o singură excepție: Vali nu va participa cu pereche la acest eveniment.

Pe parcursul desfășurării petrecerii, biletele de intrare vor avea şi rolul de bilet de tombolă. Acestea vor fi introduse într-o urnă şi câteva dintre ele vor fi extrase, iar norocoşii proprietari ai biletelor vor primi cadouri valoroase. Se mai știe că există probabilitatea ca unii participanți să vină la petrecere cu bilete falsificate, având numere identice cu cele de pe un bilet original. Acest fapt se va depista cu ușurință în momentul extragerii.

De Ziua Îndrăgostiţilor Vali a hotărât să organizeze o petrecere mare pe stadionul oraşului. La petrecere pot participa numai şi numai îndrăgostiţi care şi-au procurat biletele din timp. Biletele oricărui cuplu sunt aproape identice. Ele au proprietatea că numărul de serie are prima cifră 1 pentru băieţi şi *prima cifră 2 pentru fete, continuarea celor două numere este identică. De exemplu, dacă prietenul are biletul cu numărul 134, atunci prietena lui are biletul 234, iar dacă prietena are biletul 2234567890, atunci prietenul ei are biletul 1234567890.
Bineînțeles, că și Vali are bilet și speră să câștige un cadou. Biletul lui Vali are aceeași proprietate ca celelalte bilete, cu o singură excepție: Vali nu va participa cu pereche la acest eveniment.

Pe parcursul desfășurării petrecerii, biletele de intrare vor avea şi rolul de bilet de tombolă. Acestea vor fi introduse într-o urnă şi câteva dintre ele vor fi extrase, iar norocoşii proprietari ai biletelor vor primi cadouri valoroase. Se mai știe că există probabilitatea ca unii participanți să vină la petrecere cu bilete falsificate, având numere identice cu cele de pe un bilet original. Acest fapt se va depista cu ușurință în momentul extragerii.

Cunoscând numerele de serie ale tuturor biletelor de intrare la acest eveniment, aflaţi:
a) dacă pe Vali o cheamă Valentina sau îl cheamă Valentin;
b) numărul biletului lui Vali.

Fiind dat un şir de numere, denumim secvenţă a acestuia o parte dintre termenii şirului luaţi de pe poziţii consecutive. Denumim platou al acestui şir o secvenţă formată din valori identice. Lungimea unui platou este egală cu numărul de elemente care îl formează.

De exemplu, în şirul de numere 1 1 1 7 7 3 4 4 4 7 7 avem:

• platourile 1 1 1 şi 4 4 4 ambele având lungimea 3;
• platourile 7 7 (cel care începe în poziţia a patra) şi 7 7 (cel care începe pe poziţia a zecea), ambele având lungimea 2;
• platoul 3 care are lungimea 1.

În schimb nu avem platoul 7 7 7 7 deoarece cele patru elemente egale cu 7 nu sunt pe poziţii consecutive!

Se dă un şir de n numere. Fiecare dintre aceste numere aparţine intervalului [0,1000000]. Asupra acestui şir se pot efectua o singură dată următoarele două operaţiuni în această ordine:

1. se extrage un platou la alegere;
2. se inserează platoul extras la pasul anterior într-o poziţie la alegere din şirul rezultat după extragere.

De exemplu, dacă avem următorul şir inițial: 2 2 5 0 5 8 8 8 4 9 9 9 0 0 2 2 8 extragem platoul 2 2 format din elementele aflate în penultima şi antepenultima poziţie şi obţinem şirul: 2 2 5 0 5 8 8 8 4 9 9 9 0 0 8

În şirul rezultat inserăm platoul 2 2 (pe care l-am extras în pasul anterior) în poziţia a doua şi obţinem şirul: 2 2 2 2 5 0 5 8 8 8 4 9 9 9 0 0 8

Să se scrie un program care pentru un şir dat determină:

1. Lungimea maximă a unui platou din şirul dat iniţial precum şi valoarea cea mai mare a elementelor care formează un platou de lungime maximă.
2. Lungimea maximă a unui platou care poate să apară în şir în urma efectuării celor două operaţiuni precum şi valoarea cea mai mare a elementelor care ar putea forma un astfel de platou.

După o amorţeală care durase mai bine de 3 luni, Mama Natură îşi dădu seama că primăvara stătea să vină şi florile cu care trebuia curând să umple câmpiile nu erau încă pregătite. Înainte de începerea iernii, a lucrat să combine nuanţe din care să creeze flori pline de culoare, iar acum are camera plină de discuri de diferite culori, care aşteaptă să fie asamblate în flori viu colorate, fie pe post de mijloc, fie ca şi petale.

Pentru a forma o floare, Mama Natură alege un mijloc de orice culoare şi cel puţin K petale. Totodată, ea nu îşi doreşte să strice ordinea firească a lucrurilor şi de aceea nu va folosi niciodată două culori diferite de petale pentru aceeaşi floare. Ea admite, în schimb, flori cu petalele și mijlocul de aceeași culoare.

Deoarece timpul e scurt şi Mama Natură are lucruri mai importante de făcut decât să stea să asambleze flori, ea îşi cheamă în ajutor toate prietenele şi doreşte să îi dea fiecăreia ceva de lucru. Pentru aceasta, ea are la dispoziţie un şir D de N numere, unde numărul de pe poziţia i din șir reprezintă câte discuri de culoarea i a pregătit. Apoi, Mama Natură îşi pune M întrebări de forma x y, prin care doreşte să afle care este numărul maxim de flori care se pot forma folosind doar discuri de culori din intervalul [x, y] din şirul D.

Se dă un șir P de lungime N cu elemente distincte din mulțimea {1,2..,N}. Pentru fiecare poziție i din șirul P se cere să aflați cea mai mică poziție j, astfel încât P[j] < P[i] și j < i. În caz că o astfel de poziție nu există se consideră -1 ca soluție.

Se dau două numere naturale w şi h reprezentând lungimile laturilor dreptunghiului ABCD, un număr natural n şi n numere naturale x1, x2,… xn cu propietatea din enunt. Punctul P se plasează, pe rând, în toate punctele interioare dreptunghiului ABCD care sunt colţuri ale unor pătrate de latură 1. Pentru fiecare valoare x[i] (1 ≤ i ≤ n), determinaţi numărul de segmente distincte care trec prin exact x[i] pătrate
2-intersectate.

Se dau două numere naturale n și m, m fiind prim. Să se afle cel mai mare număr natural x, astfel încât numărul \(\frac{n!}{m^{x}}\) să fie natural.

Lui Ionci ii place foarte mult matematica si informatica, asa ca s-a gandit sa creeze o operatie. Aceasta a numit-o "Happy", notata cu semnul ☺. Operatia se aplica doar numerelor naturale si dau ca rezultat tot un numar natural, conform exemplelor de mai jos:

• 2010 ☺ 2005 = 5
• 78 ☺ 54 = 6
• 999 ☺ 543 = 3
• 4 ☺ 9 = 1
• 5 ☺ 6 = 1
• 32 ☺ 24 = 8
• 10 ☺ 2 = 2

Profesorul de matematica, Vasy, i-a promis nota 10 pe invenție dacă pentru mai multe perechi de numere naturale veți determina cel mai mic număr rezultat cu număr par de divizori al operației Happy aplicată perechilor date și cel mai mare număr rezultat al operației Happy cu număr impar de divizori.

Sergiu trebuie să răspundă la T întrebări de forma: Care este cel mai mic număr strict mai mare decât n, divizibil cu k?

Ionuţ a învăţat la şcoală să lucreze cu numere mari. El are la dispoziţie un şir de N numere naturale nenule. Din fiecare număr el şterge exact trei cifre, fără să schimbe ordinea cifrelor rămase, astfel încât să obţină cel mai mic număr natural nenul posibil. De exemplu, din numărul 20731049 se obţine numărul 20049, iar din numărul 13004 se obţine numărul 10. Înlocuind fiecare număr citit cu numărul obţinut prin operaţia de mai sus, Ionuţ obţine un nou şir şi scrie termenii acestuia pe feţele unor cuburi astfel: primele şase numere din şir le scrie pe primul cub şi îl notează pe acesta cu 1, următoarele şase numere din şir le scrie pe un alt cub pe care îl notează cu 2 ş.a.m.d.
Aceste cuburi au fost distribuite în piramide după modelul din figura de mai sus.

Piramidele au fost numerotate cu numere naturale consecutive. Piramida cu numărul de ordine 1 este formată numai din cubul cu numărul de ordine 1 şi are un singur nivel, piramida cu numărul de ordine 2 are pe primul nivel cuburile 2, 3 şi 4 iar pe ultimul nivel cubul 5 ş.a.m.d.

Două niveluri alăturate în cadrul unei piramide diferă prin exact două cuburi. Primul nivel al unei piramide conţine cu două cuburi mai mult decât primul nivel al piramidei precedente. Piramida se consideră completă dacă pe ultimul nivel are un singur cub.

Scrieţi un program care citeşte numerele naturale nenule N şi K, apoi cele N numere naturale ce fac parte din şirul iniţial, şi determină:
a) Numărul de piramide complete construite de Ionuţ.
b) Numerele scrise pe cuburile din primele K piramide.

Cunoscându-se numărul N de punguțe și numărul de bomboane din fiecare punguță, să se stabilească numărul de bomboane pe care le va aduna Georgel.

Chip şi Dale s-au plictisit de jocurile de până acum şi au hotărât că este timpul să îmbine culesul alunelor cu un joc care să le stimuleze inteligenţa. Chip propune: “eu pun alunele culese de mine într-un şir de C scorburi, iar tu pui alunele culese de tine într-un alt şir, de D scorburi”.
Dale a ascultat, a fost de acord şi a propus ca jocul să continue astfel: „dacă la împărţirea numărului de alune din prima scorbură a şirului meu la numărul de alune din fiecare scorbură a şirului tău se obţine acelaşi rest, atunci consider că scorbura mea este umplută corect şi scriu pe hârtie cifra 1, altfel o consider umplută incorect şi scriu cifra 0. Verific apoi, aplicând aceeaşi regulă, dacă a doua scorbură din şirul meu este umplută corect, adică dacă la împărţirea numărului de alune din aceasta la numărul de alune din fiecare scorbură din şirul tău, se obţine acelaşi rest. Notez pe hârtie, în continuare, rezultatul verificării (0 sau 1). Încheiem jocul atunci când terminăm de verificat, după această regulă, toate cele D scorburi ale mele.”
Scrieţi un program care citeşte din fişierul alune.in numerele naturale nenule C şi D şi numărul de alune din fiecare scorbură din şirul lui Chip, respectiv al lui Dale. Programul determină şirul de cifre notat de Dale pe hârtie.

Matei a inventat un nou joc cu bile. Terenul de joc este o tablă dreptunghiulară aşezată vertical. Tabla este împărţită în m*n celule, aşezate în m linii şi n coloane. În unele dintre celule se află obstacole.

De sus, din celulele aflate pe prima linie, sunt lăsate să cadă bile. Bilele cad vertical până la întâlnirea unui obstacol sau până în celula cea mai de jos din coloana pe care se află. Prima bilă care loveşte un obstacol se deplasează pe orizontală în coloana alăturată din stânga, apoi îşi continuă căderea. Fiecare dintre celelalte bile care lovesc acelaşi obstacol se deplasează pe orizontală, în coloana alăturată, dar în direcţie opusă faţă de bila care a lovit acest obstacol exact înaintea lor, apoi îşi continuă căderea.

Cunoscând numărul de bile lăsate să cadă de pe fiecare celulă a primei linii şi poziţia obstacolelor, determinaţi numărul de bile ajunse în fiecare celulă a ultimei linii. Poziţiile obstacolelor sunt indicate prin linia şi coloana lor (colţul din stânga sus corespunde liniei 1 şi coloanei 1).

Arpsod are în curtea sa N copaci foarte bătrâni, așezați în linie și numerotați de la 1 la N. Fiecare copac are o înălțime cunoscută, Hi. Există riscul ca la un vânt mai puternic aceștia să cadă, provocând stricăciuni. Astfel Arpsod a angajat doi muncitori pentru a-i tăia copacii. Primul muncitor va începe să taie copacii în ordinea 1, 2, 3, ... ,N iar cel de-al doilea în ordinea N, N-1, N-2, ... 1. Fiind un tărâm democratic, fiecare muncitor dorește să fie plătit pentru fiecare metru pe care îl taie. Muncitorul 1 are un tarif de T1 pe metru iar muncitorul 2 un tarif de T2 pe metru. Dacă un muncitor a început să taie un copac, acesta îl va tăia integral. Din motive de protecție a muncii, muncitorilor nu le este permis să lucreze simultan. De aici apare următoarea pretenție: dacă după tăierea unui copac, muncitorul nu este înlocuit de colegul său, acesta va cere un cost suplimentar C pentru a rămâne să taie în continuare.
De exemplu, dacă avem 3 copaci: 1, 2, 3 și muncitorul 1 taie singur toți copacii, acesta va cere un cost suplimentar de 2 ori (pentru copacul 2 și copacul 3).

Arpsod vă cere să determinați costul minim pe care îl poate plăti astfel încât toți cei N copaci să fie tăiați.

Vrăjitorul Arpsod își dorește să își reamenajeze habitatul. În habitatul acestuia există N munți, fiecare cu o înălțime cunoscută. Fiind un tip cu un foarte dezvoltat simț estetic, el își dorește să remodeleze cei N munți astfel încât să obțină un număr maxim de munți cu aceeași înălțime.

Arpsod are la îndemână o magie ce funcționează astfel: alege oricare doi munți, pe primul îl crește cu o unitate iar pe al doilea îl scade cu o unitate. Un munte poate ajunge la înălțimi negative ( practic se transformă într-o groapă ).

Arpsod își poate folosi magia de un număr infinit de ori.

Vrăjitorul vă cere să determinați numărul maxim de munți ce pot fi aduși la o înălțime egală.

După un rezultat slăbuț la un concurs de informatică, Cristina s-a cam supărat. Dan vrea să-i ridice moralul și știe că cel mai bun mod în care poate face asta este ciocolata. Totuși, Dan nu este dispus să-i ofere Cristinei toată ciocolata pe care o are (și el a avut un rezultat slab la concurs, deci.. și el trebuie să-și ridice moralul).

Astfel, îi propune Cristinei următoarea ofertă: ”Desenează pe o hârtie un caroiaj format din N linii și M coloane pe care îl umple cu valori întregi. Cristina va primi un număr de pătrățele de ciocolată egal cu suma valorilor dintr-un dreptunghi ales de ea.”

Deoarece Cristina este prea bosumflată ca să rezolve această “provocare” și prea obosită ca să-l convingă pe Dan să-i dea ciocolata pur și simplu, vă roagă pe voi să o ajutați. (Poate primiți și voi niște ciocolată dacă rezolvați problema. Poate…)

Cunoscându-se configurația caroiajului, determinați numărul maxim de pătrățele de ciocolată pe care Cristina îl poate obține alegând un dreptunghi din matrice, precum și coordonatele celor patru colțuri ale acestuia

Arpsod adoră două lucruri: matematica și clătitele bunicii sale. Într-o zi, aceasta s-a apucat să prepare clătite. Arpsod mănâncă toate clătitele începând de la a N-a clătită preparată, până la a M-a clătită preparată (inclusiv N și M). Pentru că el vrea să mănânce clătite cu diferite umpluturi și-a făcut următoarea regulă:

“Dacă numărul de ordine al clătitei este prim atunci aceasta va fi cu ciocolată. Dacă numărul de ordine este pătrat perfect sau cub perfect aceasta va fi cu gem. Dacă suma divizorilor numărului este egală cu însuși numărul de ordine atunci aceasta va fi cu înghețată. (se iau în considerare toți divizorii în afară de numărul în sine, inclusiv 1).

În cazul în care o clătită îndeplinește simultan mai multe condiții, se respectă prioritatea sortimentelor: ciocolată > gem > înghețată.
Dacă niciuna dintre condițiile de mai sus nu este îndeplinită, pentru cele cu numărul de ordine par, clătita va fi cu zahar, iar pentru numărul de ordine impar, clătita va fi simplă.”

Cunoscându-se N și M, numere naturale, să se determine câte clătite a mâncat Arpsod în total și numărul de clătite din fiecare tip.

Vrăjitorul informatician Arpsod a făcut un farmec asupra unui șir de N numere naturale, fiecare număr având exact 8 cifre (doar vrăjitorul știe de ce a ales cifra 8). În urma farmecului, numerele au început să prindă sentimente. Un număr X se numește bosumflat dacă există un alt număr Y, printre cele N, cu proprietatea că, numărul format din cifrele de pe poziții impare ale lui X este strict mai mic decât numărul format din cifrele de pe poziții pare ale lui Y și numărul format din cifrele de pe poziții pare ale lui X este strict mai mare decât numărul cifrele de pe poziții impare ale lui Y.

Vom defini gradul de bosumflare al unui număr X ca fiind egal cu numărul de numere dintre cele N, care îl bosumflă pe X.

Pentru că vrăjitorul este prea ocupat cu alți bosumflați, vă roagă pe voi să determinați gradul de bosumflare pentru fiecare dintre cele N numere.

Cunoscându-se N, numărul de numere precum și numerele efective, determinați gradul de bosumflare pentru fiecare număr în parte.

La un concurs de programare s-au înscris n elevi. Concursul se desfăşoară pe două secţiuni, secţiunea 1 pentru începători şi secţiunea 2 avansaţi. Proba de concurs se desfăşoară pe parcursul a 3 ore şi elevii au de rezolvat 2 probleme.
Fiecare problemă poate avea punctajul minim de 0 puncte şi punctajul maxim de 100 de puncte. Punctajul final al concurentului este format din suma punctajelor celor două probleme. Să se scrie un program care citeşte numărul de elevi înscrişi şi apoi date despre fiecare elev înscris (secţiunea la care s-a înscris, punctajul obţinut pentru prima problema şi punctajul obţinut pentru a două problemă) și rezolvă următoarele cerinţe:

1. Afișează mesajul DA dacă toţi cei N elevi înscrişi au reuşit să obţină un punctaj nenul la ambele probleme propuse, respectiv NU” în caz contrar.
2. Afişează pentru fiecare secţiune numărul de elevi înscrişi. Afişarea se va face în ordinea crescătoare a numărului secţiunii, prin perechi de numere de forma nr_secţiune nr_elevi.
3. Afişaţi pentru fiecare secţiune punctajul maxim obţinut şi numărul de elevi care au obţinut acest punctaj. Afişarea se va face în ordinea crescătoare a numărului secţiunii, prin triplete de numere de forma nr_secţiune punctaj_maxim nr_elevi. Ştiind ca premiile se acordă doar celor care au luat punctaj maxim, afişaţi şi numărul de premii care vor fi acordate.

Se da un vector cu n elemente. Sa se afișeze pe ecran elementele din vector care divid factorialul numărului de elemente n.

Leneşul este un animal foarte leneş. El se deplasează numai în linie dreaptă, dar face din când în când câte un popas. În această problemă leneşul trebuie să traverseze de la nord la sud şi înapoi un teren reprezentat de o matrice de dimensiuni M×N cu valori numere naturale. Valorile reprezintă efortul cerut pentru traversarea zonei respective. Leneşul va alege o coloană pentru traversarea matricei, iar pentru popasuri, în număr de k1, va alege zone alăturate drumului din coloana din stânga sau cea din dreapta. În cazul în care se va întoarce va proceda la fel, dar va face k2 popasuri. Regulile problemei cer ca cele două drumuri să nu aibă zone comune.

Cunoscând dimensiunile M, N ale terenului, numărul de popasuri k1, k2 și efortul pentru traversarea fiecărei zone a terenului, să se determine:

1. Efortul minim de parcurgere a terenului de la Nord la Sud, folosind k1 popasuri.
2. Efortul minim de parcurgere a terenului de la Nord la Sud și înapoi de la Sud la Nord, folosind k1 popasuri la deplasarea Nord – Sud, respectiv k2 popasuri la deplasarea Sud – Nord.

În această poveste este vorba despre o casă cu mai multe camere. O cameră are forma unui pătrat de latură 1. Dacă două camere au un perete comun, atunci se poate trece dintr-o cameră în alta. Casa nu are neapărat formă dreptunghiulară.

O asemenea casă poate fi descrisă în povestea noastră în două moduri:

• prin matricea minimală: o matrice cu elemente 0 şi 1 în care există N valori egale cu 1, ce corespund camerelor, iar prima linie, ultima linie, prima coloană şi ultima coloană au cel puţin un element egal cu 1.
• prin construcţie: un şir de N-1 perechi (a[i], b[i]) 1≤i<n în care a[i] din {1,2,…,i} şi b[i] din {N, S, E, V}. Camerele vor fi numerotate de la 1 la n. Perechea (a[i], b[i]) precizează poziţia camerei i+1 faţă de camera a[i]: E înseamnă la dreapta (est), N deasupra (nord), V la stânga (vest), S dedesubt (sud). Observaţi că pentru prima cameră nu există nicio precizare!

De exemplu, casa de mai sus poate fi descrisă de şirul (1 E) (2 E) (2 S) (3 S), adică a doua cameră e “lipită” la est de prima cameră, următoarea (a treia) la est de camera 2, a patra la sud de camera 2, iar ultima la sud de camera 3.

Cerința

1. Se dă descrierea unei case prin construcţie şi se cere descrierea acesteia prin matricea minimală.
2. Se dă descrierea unei case prin matricea minimală şi se cere descrierea acesteia prin construcţie.

Se consideră un triunghi alcătuit din numere naturale scrise pe n linii ca în figura alăturată. Liniile triunghiului sunt numerotate de la 1 la n, începând cu linia de la baza triunghiului (linia de jos), iar poziţiile pe linie sunt numerotate începând cu 1 de la stânga la dreapta.
Fiecare număr din triunghi, exceptând pe cele de pe linia 1, este egal cu suma numerelor aflate imediat sub el, în stânga şi respectiv în dreapta lui.

Cunoscând câte un număr de pe fiecare linie a triunghiului, determinaţi toate numerele de pe linia 1.

Fișierul de intrare conține cel mult 1.000.000 de numere întregi. Se cere să se afișeze în fișierul de ieșire cel mai mic număr din intervalul [-100,100] care nu apare în fișierul de intrare.

În oraşul Iaşi, cele N firme IT derulează în prezent M proiecte din acest domeniu (printre care şi ONI 2012). Firmele sunt identificate prin numere naturale de la 1 la N, iar proiectele sunt identificate prin numere naturale de la 1 la M. Fiecare proiect are una sau mai multe etape, o etapă fiind executată de o singură firmă IT. Spunem că o firmă coordonează un proiect dacă execută mai mult de jumătate din etapele proiectului.
Cunoscând numărul firmelor IT, numărul proiectelor, numărul de etape ale fiecărui proiect şi firmele ce execută fiecare etapă, să se determine firma/firmele care coordonează cel mai mare număr de proiecte.

Se dă un vector cu n elemente și un număr k.

Se construiește un nou vector, cu n-1 elemente, ale cărui elemente vor fi diferenţa dintre suma și modulul diferenţei a două elemente alăturate din primul vector.

Apoi se construiește un alt vector, după aceeași regulă, ș. a. m. d.

Afișați suma elementelor celui de-al k-1-lea vector construit prin această metodă.

Pentru un număr dat cu k cifre \(c_1c_2…c_k\), se numeşte algoritm de deplasare circulară spre dreapta de la o cifră iniţială \(c_i\), la o cifră finală \(c_j\), deplasarea din cifră în cifră spre dreapta de \(c_i\) ori (1≤i,j≤k). Dacă pe parcursul deplasării s-a ajuns la cifra \(c_k\), se continuă deplasarea circulară spre dreapta cu cifra \(c_1\).
Un număr cu k cifre se numeşte număr „circular” dacă îndeplineşte următoarele două cerinţe:

• toate cifrele sunt nenule;
• pornind de la cifra \(c_1\), aplicând algoritmul de deplasare circulară spre dreapta de exact k ori, se ajunge din nou la \(c_1\), fiecare dintre cifrele numărului fiind exact o singură dată cifră iniţială.

Scrieţi un program care citeşte numărul natural nenul n, apoi numerele naturale \(x_1, x_2, …, x_n\), şi determină:
a) cel mai mare număr din şir în care există cel puţin o cifră care apare de minimum două ori, iar în cazul în care în şir nu există un astfel de număr, se va afişa cel mai mare număr din şir;
b) un şir \(a_1, a_2, …, a_n\) de n numere naturale pentru care un element \(a_i\)(1≤i≤n)se calculează astfel:

• este egal cu \(x_i\) , dacă \(x_i\) este număr circular;
• este numărul cel mai apropiat de \(x_i\) (număr mai mare sau mai mic decât \(x_i\)), cu proprietatea că este număr circular; dacă pentru un număr din şir se identifică un număr circular y, \( y > x_i\) şi un număr circular z, z<\(x_i\), pentru care \( y – x_i\) = \(x_i – z\), atunci se va alege numărul y.

Numim număr sstabil orice număr natural care este format dintr-o singură cifră sau care are suma oricăror două cifre vecine strict mai mare decât nouă.

Asupra oricărui număr care nu este sstabil se pot efectua operaţii de înlocuire a oricăror două cifre vecine care au suma strict mai mică decât zece cu o cifră egală cu suma lor.

Operaţiile de înlocuire pot fi aplicate, în acelaşi condiţii, şi asupra numerelor rezultate după fiecare înlocuire, de câte ori este nevoie, până când se obţine un număr sstabil.

De exemplu, 291 este număr sstabil deoarece 2+9>9 şi 9+1>9, iar 183 nu este sstabil pentru că 1+8<10. Din numărul 2453, efectuând o singură înlocuire, putem obţine 653 sau 293 (număr sstabil) sau 248. Numărul 653, nefiind sstabil, permite o nouă operaţie de înlocuire, obţinând astfel numărul 68, care este sstabil. Analog, din numărul 248 se poate obţine numărul sstabil 68.

Scrieţi un program care să determine cel mai mare număr natural sstabil care se poate obţine dintr-un număr natural dat, aplicând una sau mai multe operaţii de înlocuire de tipul menţionat.

Fiecare dintre cei N copii, numerotați de la 1 la N, primește câte un cartonaș colorat. Doamna dirigintă îi așează în cerc, în ordinea numerotării, în sens orar. Astfel, fiecare copil are doi vecini, așezați în stânga, respectiv în dreapta lui.
Andrei, pasionat de informatică, asociază fiecărei culori distincte un cod, reprezentat printr-un număr natural nenul, și inscripționează fiecare cartonaș cu codul corespunzător culorii acestuia.
Scrieţi un program care citeşte două numere naturale N şi K şi determină pentru Andrei:
a) numărul copiilor din cerc care au cartonaşe de aceeaşi culoare cu cartonaşele vecinilor;
b) numărul maxim de cartonaşe de aceeaşi culoare ce sunt deţinute de copiii aşezaţi pe K poziţii consecutive în cercul format.

O culegere de probleme are P pagini, numerotate de la 1 la P. Problemele din culegere sunt numerotate cu 1,2,3,...,etc, în ordinea apariţiei lor în culegere. Pe prima pagină a culegerii este scrisă o singură problemă (cea cu numărul 1). Pe a doua pagină sunt scrise exact două probleme (cele cu numerele 2 şi 3, în această ordine). Pe cea de a P-a pagină sunt scrise exact P probleme.
Scrieţi un program care citeşte numerele naturale P şi N şi determină valorile:
a) T, numărul total de cifre care au fost utilizate în numerotarea tuturor problemelor din culegere;
b) M, numărul minim de pagini pe care ar trebui să le aibă culegerea, astfel încât aceasta să conţină şi problema numerotată cu N.

Se consideră un număr natural par N și șirul ordonat crescător X format din primele N numere naturale nenule:

X[1] = 1, X[2] = 2, …., X[N] = N.

Pozițiile numerelor din șir se pot modifica doar conform regulii A,după cum urmează:

• dacă X[1] este număr impar, atunci se interschimbă X[1] cu X[2], X[3] cu X[4], …, X[N-1] cu X[N];
• dacă X[1] este par atunci se interschimbă X[2] cu X[3], X[4] cu X[5], …, X[N-2] cu X[N-1], iar X[N] cu X[1].

Aplicând de R ori regula A șirului X se transformă șirul dat într-un șir “A sortat”.

Cunoscându-se numerele naturale N, R, K și T, scrieți un program care să determine:
1) Numărul situat pe poziția K în șirul “ A sortat” obținut prin aplicarea de R ori a regulii “ A ” șirului X.
2) Predecesorul și succesorul numărului T în șirul “ A sortat” .

Cunoscând cele 2 numere de pe al doilea rând al Triunghiului lui Pascal Generalizat, n si m ,să se determine suma elementelor de pe linia L.

Amicul nostru, Zoli, a învățat la scoală despre pătrate perfecte și numere piramidale. Al n-lea număr piramidal înseamnă suma primelor n pătrate perfecte, începând de la 1.

Ajutați-l pe Zoli sa afle primele n numere piramidale.

Se dă un șir de n numere reale, în ordine strict crescătoare. Să se determine un număr natural x, cu proprietatea că în orice interval deschis având drept capete oricare două valori din șir se află cel puțin x numere întregi.

Pasionată de astronomie, Teodora dorește să țină evidența numărului de stele din galaxii. Pentru a face lucrurile mai interesante, ea codifică aceste numere într-un sistem propriu, transformându-le într-o înșiruire de litere și cifre după algoritmul următor:

• notează fiecare putere a lui 2, strict mai mică decât 226, cu o literă a alfabetului, astfel:

• reprezintă fiecare număr ca un șir de cifre și litere obținut din scrierea acelui număr ca sumă de puteri ale lui 2; dacă o putere este folosită de mai multe ori în descompunerea numărului atunci ea va fi precedată în șir de numărul de utilizări.

Un număr poate fi reprezentat astfel în mai multe moduri. De exemplu, pentru numărul 100 printre variantele de reprezentare avem:

• 100 = cfg = 22+25+26 = 4+32+64 = 100
• 100 = 2ab2cde2f = 2*20+21+2*22+23+24+2*25 = 2*1+2+2*4+8+16+2*32 = 100
• 100 = 16bcg = 16*21+22+26 = 16*2+4+64 = 100

Scrieți un program care rezolvă următoarele cerinţe:

1. cunoscând s numărul de stele dintr-o galaxie, determină o reprezentare codificată a acestui număr formată doar din litere mici distincte ordonate alfabetic;
2. cunoscând g, reprezentând numărul de galaxii și g numere în scriere codificată, reprezentând numărul de stele din fiecare galaxie, determină scrierea zecimală a numărului total de stele din cele g galaxii.

Un grup de N cercetași, numerotați de la 1 la N, se află în tabără la munte. Pentru ei, organizatorii au pregătit N scaune, de asemenea numerotate de la 1 la N, așezate în cerc, astfel încât fiecare cercetaș să aibă locul său (locul cercetașului i este pe scaunul i, 1≤i≤N).

Pentru desfășurarea următoarei activități, organizatorii au decis ca M dintre cercetași să prezinte diferite exerciții. Numărul M este egal cu cea mai mare putere a lui 2 cu proprietatea că numărul N de cercetași aflați în tabără se poate scrie ca sumă de M numere consecutive în mulțimea numerelor impare. Cei M cercetași care vor prezenta sunt cei numerotați cu numerele impare consecutive a căror sumă este N. De exemplu, dacă N=8, atunci M este 2, iar exercițiile vor fi prezentate de cercetașii numerotați cu 3, respectiv cu 5.

Din joacă, micii cercetași s-au așezat pe scaune la întâmplare. Organizatorii au nevoie pentru a desfășura activitatea ca cel puțin cei M cercetași care vor prezenta exercițiile să se afle pe locurile lor. Pentru aceasta, o parte dintre cercetași trebuie să-și schimbe locul și organizatorii invită micii cercetași să participe la jocul numit ”Mutare”. Acest joc se desfășoară astfel: unul dintre cercetașii care nu se află pe locul lor se ridică și merge în interiorul cercului. Cercetașul numerotat cu numărul scaunului rămas liber își va ocupa locul, iar locul ocupat de el anterior rămâne astfel liber. Jocul continuă până când scaunul cercetașului aflat în interiorul cercului se eliberează și el se așază pe locul său.

Fiind dat numărul N, precum și ordinea în care s-au așezat cercetașii pe scaunele numerotate de la 1 la N, scrieți un program care să determine:

• numărul M de cercetaşi care vor prezenta exerciţii în cadrul activităţii;
• numerele de identificare ale celor M cercetaşi care vor prezenta exerciţiile, în ordine strict crescătoare;
• numărul minim de cercetași care își vor schimba locul, astfel încât toţi cei M cercetași care vor prezenta exercițiile să se afle pe locurile lor.

Pietrele preţioase au fascinat omenirea încă din timpuri străvechi iar cele mai renumite dintre ele, cristalele, au devenit atât simbolul durităţii cât şi al eternităţii. În urma unui studiu ştiinţific, pe un eşantion de formă dreptunghiulară se pot observa diferite tipuri de molecule, dispuse într-o geometrie perfectă, pe M rânduri a câte N molecule fiecare, aliniate una lângă alta. O formaţiune cristalizabilă este alcătuită din 3 molecule de acelaşi tip, învecinate două câte două, având una dintre cele patru forme din imaginea alăturată (fig.1).

Fiecare formaţiune este înconjurată de jur-împrejur, ca în fig.2, de un înveliş special format şi el din molecule identice, de alt tip decât cele din formaţiunea cristalizabilă pe care o înconjoară şi o izolează de restul formaţiunilor moleculare. În acest fel, fiecare moleculă din formaţiunea cristalizabilă se învecinează la Nord, Sud, Est şi Vest cu o moleculă din aceeaşi formaţiune cristalizabilă sau cu o moleculă din învelişul special.

Fiecare formaţiune cristalizabilă se bombardează cu raze X şi în acest fel are loc cristalizarea, proces prin care învelişul special se extinde peste formaţiunea cristalizabilă pe care o înconjoară, formând o singură structură din care se va dezvolta cristalul.

Cerințe

1. Determinaţi numărul formaţiunilor cristalizabile ce pot fi identificate pe eşantionul analizat.
2. Afişaţi eşantionul rezultat după cristalizare.

Arhi şi-a propus să extindă clădirea de birouri pe care a proiectat-o iniţial pe un singur nivel numerotat cu 1, împărţit în n*n zone pătratice de latură 1, fiecare corespunzând unui birou, prin construirea mai multor niveluri. În colţurile tuturor birourilor se construiesc grinzi de rezistenţă. Pentru a asigura rezistenţa întregii clădiri, Arhi va proiecta niveluri noi, numerotate cu 2, 3,… atât timp cât conțin cel puțin un birou și sunt respectate următoarele patru reguli:

• R1: fiecare nivel nou va fi proiectat sub forma unui dreptunghi sau pătrat de arie maximă pentru nivelele cu număr impar, respectiv, sub forma unui pătrat de arie maximă pentru nivelele cu număr par;
• R2: fiecare dintre colţurile zidurilor unui nivel nou trebuie plasat pe câte o grindă de rezistenţă dintre două sau mai multe birouri de pe nivelul precedent;
• R3: oricare două dintre colţurile zidurilor unui nivel nou vor fi plasate pe ziduri diferite (un zid nu se poate suprapune în totalitate pe alt zid) şi cel puţin două vârfuri opuse ale unui nivel nou se vor afla pe ziduri opuse ale nivelului precedent;
• R4: orice porţiune de zid de pe nivelul k (k>1), construită deasupra unui birou de pe nivelul k-1, se va suprapune exact peste una dintre laturile biroului, sau îl va străbate în diagonală.

Birourile de pe nivelul k (k>1), vor fi construite exact deasupra celor de pe nivelul precedent, astfel, nivelurile 2, 4 etc. vor avea lângă ziduri spaţii triunghiulare care nu vor aparţine niciunui birou.

Numerele inscripţionate pe birouri în imaginea de mai sus, indică nivelul corespunzător birourilor vizibile de deasupra clădirii.

Cunoscându-se lungimea n a laturii primului nivel al clădirii, să se determine:

1. numărul maxim de niveluri pe care le poate avea clădirea;
2. numărul total de birouri ale clădirii cu număr maxim de niveluri.

Fie un şir a[1], a[2], …, a[n] de numere naturale, unde n este impar. Avem la dispoziţie o singură operaţie admisă şi anume: putem aduna la două poziţii diferite din şir o aceeaşi valoare naturală nenulă.

Cerințe:

1. Să se verifice dacă șirul poate să aibă toate elementele egale după aplicarea unei singure operații.
2. Folosind de mai multe ori operaţia admisă, să se obţină șirul cu toate elementele egale, dar valoarea egală obţinută să nu depăşească dublul valorii maxime din şirul iniţial.

Tudor a primit un joc educaţional numit “Roboţel” cu ajutorul căruia va învăţa punctele cardinale Nord, Est, Sud, Vest. Jocul constă dintr-un roboţel care se deplasează pe o tablă de forma unei matrici pătratice, împărţită în R linii şi R coloane. Fiecare căsuţă, aflată la intersecţia dintre o linie şi o coloană, este fie căsuță „liberă”, fie căsuță „semnalizator”, caz în care este etichetată cu una din literele N, E, S, V, reprezentând 4 sensuri posibile de deplasare. Când roboțelul ajunge într-o „căsuţă semnalizator”, el îşi schimbă sensul de deplasare astfel:

• Dacă căsuţa este etichetată cu N atunci roboţelul se va deplasa în continuare de jos în sus;
• Dacă căsuţa este etichetată cu E atunci roboţelul se va deplasa în continuare de la stânga la dreapta;
• Dacă căsuţa este etichetată cu S atunci roboţelul se va deplasa în continuare de sus în jos;
• Dacă căsuţa este etichetată cu V atunci roboţelul se va deplasa în continuare de la dreapta la stânga.

Două căsuțe semnalizator formează o pereche „blocantă” dacă:

• Se află pe aceeași linie și conțin literele E și V, căsuța cu E are coloana mai mică decât a celei etichetate cu V și între ele, pe aceeași linie nu există alte căsuțe semnalizatoare.
• Se află pe aceeași coloană și conțin literele S și N, căsuța cu S are linia mai mică decât a celei etichetate cu N și între ele, pe aceeași coloană nu există alte căsuțe semnalizatoare.

În figura 1, de exemplu, sunt 2 perechi blocante: Perechea (1,2) (5.2) și perechea (2,3) (2,5).

Roboţelul porneşte din căsuţa (1,1), aflată pe prima linie și prima coloană şi dacă aceasta este liberă, se deplasează, în cadrul primei linii, de la stânga la dreapta. În cazul în care căsuța de pornire (1,1) este semnalizator, atunci roboțelul se va deplasa pe direcția indicată de litera cu care este etichetată. Considerând că roboțelul se deplasează pe tablă, el se oprește doar în următoarele situații:

• Roboţelul intră într-o căsuţă liberă aflată pe prima sau ultima linie, respectiv prima sau ultima coloană, caz în care dacă s-ar menține sensul deplasării actuale roboțelul ar părăsi tabla;
• Roboțelul intră într-o „căsuţă semnalizator” a unei perechi blocantă și se va opri în cealaltă căsuță a perechii.

De exemplu, în Figura 2, roboțelul ajunge în căsuța liberă (3,5) unde se oprește. În Figura 3, roboțelul se va opri în căsuța (4,1) deoarece dacă ar schimba sensul spre Est, ar reveni în ultima căsuță semnalizator vizitată, (4,3).
Roboțelul înaintează o căsuță într-un pas, în sensul de deplasare.

Scrieţi un program care, cunoscând numărul R de linii şi coloane și cele K căsuţe semnalizator, determină:

1. Toate perechile blocante de pe tablă;
2. Numărul de pași efectuați pe fiecare sens în parte: Nord, Est, Sud și Vest

Considerând K un număr natural, vom numi permutare de mărime K o aranjare într-o ordine oarecare a elementelor mulțimii {1,2,..,K}. Ana găsește scris pe o foaie de hârtie, un șir de numere naturale v = (v[1],v[2],v[3],...,v[N])

Plecând de la acest șir, Ana numește secvență a lui v, un subșir de numere care apar pe poziții consecutive în șirul inițial. De exemplu, șirul 5 7 8 9 1 6 conține secvența 8 9 1, secvența 7 8 9 1 6, dar nu conține secvența 8 9 6.

Anei îi vine ideea să încerce să verifice dacă șirul de numere poate fi împărțit în secvențe care reprezintă permutări de diferite mărimi.

De exemplu, dacă Ana găsește șirul v =(2, 1, 4, 1, 3, 2), atunci ea îl poate împărți în două secvențe de permutări astfel: secvența v[1], v[2] respectiv secvența v[3] , v[4], v[5], v[6].

Dacă Ana găsește șirul v =( 1, 2, 2, 3) atunci nu va putea obține o împărțire în secvențe de permutări.

Realizați un program care citește un șir de N numere naturale și rezolvă următoarea cerință:

• determină o împărțire a acestuia în secvențe de permutări. Dacă există mai multe soluții se va afișa soluția minim lexicografică.

Dacă șirul poate fi împărțit în secvențe de permutări, pentru fiecare număr din șir, în ordinea v[1], .., v[N], se va afișa numărul permutării din care face parte.

Numerotarea permutărilor se va face consecutiv începând cu numărul 1.

Ionel și Georgel sunt colegi de clasă și doresc să facă schimb de fișiere prin email. Fiecare dintre ei își arhivează fișierele cu câte o parolă. Fiecare copil își construiește parola pe baza unui șir format din N numere naturale.

Numerele din șir care se folosesc efectiv pentru construirea parolelor sunt doar cele divizibile cu numerele din mulțimea {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}. Copiii numără câte din valorile din șir sunt divizibile cu fiecare din aceste numere.

Parola folosită de Ionel se obține prin însumarea numărului de valori din șir care sunt divizibile cu numerele din mulțimea {2,3,4,5,6,7,8,9}. Parola folosită de Georgel se obține prin însumarea numărului de valori din șir care sunt divizibile cu numerele din mulțimea {10,11,12,13,14,15}.

Scrieţi un program care citește șirul celor N numere și determină:

1. câte numere din șir nu se vor folosi în construirea parolelor celor doi copii;
2. parola construită de Ionel;
3. parola construită de Georgel.

Un număr natural nenul m se numește norocos dacă pătratul lui se poate scrie ca sumă de m numere naturale consecutive. Un număr natural m se numește k-norocos, dacă este egal cu produsul a exact k numere prime distincte. Observați că între cele două proprietăți definite nu există nicio legătură.

Dându-se k și N numere naturale, scrieți un program care să determine:

a) Cel mai mic și cel mai mare număr norocos dintre cele N numere citite
b) Câte numere k-norocoase sunt în șirul de N numere citite

Pentru un număr natural N se consideră șirul a=(1,2,3...,N), deci a[i]=i pentru orice i, 1≤i≤N.

Asupra acestui șir se pot aplica operații de două tipuri:

a) la operația de tipul 1 se specifică două valori i și j, cu 1≤i≤j≤N. Efectul acestei operații asupra șirului este de oglindire a secvenței din șir care începe cu elementul de pe poziția i și se termină cu cel de pe poziția j. De exemplu, dacă în șirul a=(1,2,3,4,5,6,7) se aplică operația 3 6, atunci șirul devine a=(1,2,6,5,4,3,7). Iar în șirul a=(1,4,3,2,5,6,7), dacă se aplică operația 4 6, atunci a=(1,4,3,6,5,2,7).
b) Operația de tipul 2 conține un indice i, 1≤i≤N, și cere să afișăm valoarea elementului care se află în acel moment pe poziția i în șir.

Se consideră M astfel de operații într-o ordine dată.

Scrieți un program care să determine și să afișeze rezultatul pentru fiecare operație de tipul 2.

Terminalul unui aeroport este o sală foarte mare având forma unui dreptunghi împărțit în pătrate cu latură unitară. Aici se află mai multe persoane, care trebuie să poarte la vedere un ecuson cu un cod de bare care poate fi citit în orice moment de camerele de supraveghere și decodificat de calculatoarele serviciului de protecție și pază. Într-un pătrat cu latură unitară poate să se afle doar o singură persoană la un moment dat. Sala este reprezentată printr-o matrice cu R linii și C coloane, elementele sale fiind numere naturale de cel mult 6 cifre cu valorile: 0 – pentru spațiu neocupat, respectiv numere naturale nenule, care reprezintă identificatorul (ID-ul) persoanelor. Printre aceste persoane există persoane infiltrate (intruși) care au ID-uri cu valori identice cu ale altor persoane. Dacă există două sau mai multe persoane cu același ID, acestea sunt considerate toate suspecte.

Intrușii vor să ajungă în apropierea unor VIP-uri (persoane importante), pentru a le înregistra discuțiile cu un microfon care poate înregistra sunete în interiorul unui pătrat cu latura D, în centrul căruia se află chiar el. Acest pătrat nu este cuprins neapărat integral în matricea sălii (vedeți figura alăturată)!

Prin convenție, ID-urile VIP-urilor sunt numere prime distincte. În plus, și un ID al unui VIP poate fi copiat, crescând astfel numărul suspecților. Un VIP se caracterizează printr-un nivel de importanță: cu cât ID-ul este un număr mai mare, cu atât nivelul de importanță este mai mare (este „mai importantă”).

Persoanele suspecte au asociat un „grad de periculozitate”. Acesta este cu atât mai mare cu cât numărul de VIP-uri aflate în interiorul pătratului de latură D, în centrul căruia se află suspectul, este mai mare. Dacă există doi suspecți cu același grad de periculozitate, se consideră „mai periculoasă” persoana care are în pătratul său VIP-ul cu ID-ul cel mai mare. În caz de egalitate, se consideră „mai periculoasă” persoana care este așezată pe o linie cu un indice mai mic, iar la egalitate de indici de linii, pe o coloană cu indice mai mic. Există și persoane suspecte cu gradul de periculozitate 0, dacă în interiorul pătratului în centrul căruia se plasează nu există niciun număr prim.

Cerințe

1) Să se determine numărul persoanelor suspecte aflate în sala de așteptare.
2) Să se determine ID-ul și coordonatele persoanelor suspecte, (RSi -linia suspectului i, CSi -coloana suspectului i) în ordinea descrescătoare a „gradului de periculozitate”.

Se consideră o matrice cu L linii și C coloane care memorează doar valori din mulțimea {0,1,2}. O submatrice nevidă (formată din cel puțin o linie și cel puțin o coloană) a acestei matrice o numim omogenă dacă numărul valorilor de 0 este egal cu numărul de valori de 1 și egal cu numărul valorilor de 2.

Să se determine câte submatrice nevide omogene există.

Am un cablu cu N leduri (numerotate de la 1 la N) aşezate echidistant. Inițial, unele leduri sunt aprinse, iar altele sunt stinse. Ledurile sunt legate între ele astfel încât atingerea fiecărui led produce modificarea atât a stării lui, cât şi a ledurilor vecine lui. Deci, dacă se atinge ledul i (2≤i≤N-1) atunci se modifică stările ledurilor i-1, i și i+1. Dacă se atinge ledul 1, atunci se modifică stările ledurilor 1 și 2, iar dacă se atinge ledul N, atunci se modifică stările ledurilor N-1 și N. Vreau să modific starea ledurilor astfel încât să semene cu cablul cu N leduri pe care îl are Ionuț, prietenul meu (două cabluri seamănă dacă pentru orice i=1..N stările ledurilor de pe poziția i sunt identice).

Cunoscând cum arată cablul lui Ionuț, ajutați-mă să determin numărul minim de atingeri ale unor leduri astfel încât cablul meu să arate ca și cablul lui Ionuț.

Sandu a studiat la ora de informatică mai multe aplicații cu vectori de numere naturale, iar acum are de rezolvat o problemă interesantă. Se dă un șir X=(X[1],X[2],…,X[n]) de numere naturale nenule și două numere naturale p1 și p2, unde p1<p2. Sandu trebuie să construiască un nou șir Y=(Y[1],Y[2],…,Y[n*n]) cu n*n elemente obținute din toate produsele de câte două elemente din șirul X (fiecare element din șirul Y este de forma X[i]*X[j], 1<=i, j<=n). Sandu are de calculat două valori naturale d1 și d2 obținute din șirul Y. Valoarea d1 este egală cu diferența maximă posibilă dintre două valori ale șirului Y. Pentru a obține valoarea d2, Sandu trebuie să considere că șirul Y are elementele ordonate descrescător iar d2 va fi diferența dintre valorile aflate pe pozițiile p1 și p2 în șirul ordonat descrescător. Sandu a găsit rapid valorile d1 și d2 și, pentru a le verifica, vă roagă să le determinați și voi.

Dându-se șirul X cu n elemente și valorile p1 și p2, determinați valorile d1 și d2.

Se citeşte din fişierul de intrare o matrice pătratică A cu n linii şi n coloane conţinând numere naturale. Scrieţi un program care modifică matricea A în modul următor:

I. interschimbă elementele matricei din triunghiul superior cu cele din triunghiul inferior al matricei

II. după aceea interschimbă elementele superprime distincte, care apar în triunghiul din dreapta cu cel din triunghiul din stânga al matricei (ambele elemente trebuie să fie superprime);

Prietenul nostru, Zolly, a învățat la scoală despre ridicarea la putere. Ajutați-l să calculeze \( a^b\).

Se citesc de la tastatură n numere naturale. Să se determine numărul a cărui sumă a cifrelor este cea mai mare, respective cea mai mică.

Fermierul Quinto are o livadă plină cu pomi fructiferi. Livada are N rânduri, numerotate de la 1 la N, pe fiecare rând aflându-se câte M pomi fructiferi, numerotaţi de la 1 la M. Livada lui Quinto este una specială, aşa că pentru unii pomi se cunoaşte cantitatea de fructe (exprimată în kg) care poate fi culeasă, iar pentru alţii aceasta poate fi determinată pe baza unei formule. Quinto şi-a propus să recolteze C kg de fructe din pomii aflaţi în livada lui. Acesta foloseşte un utilaj modern pentru culesul fructelor. Utilajul poate fi folosit pe oricare din rândurile livezii, dar poate aduna doar fructele dintr-un şir consecutiv de pomi, începând cu primul pom de pe rândul respectiv, neavând posibilitatea de a culege parţial fructele dintr-un pom. Preocupat de frumuseţea livezii sale, Quinto s-a gândit la restricţii suplimentare pentru recoltarea cantităţii C de fructe. Astfel, el doreşte să adune fructele din pomi de pe maximum R rânduri diferite, pentru ca N-R rânduri să rămână complete. De asemenea, el doreşte să culeagă cu prioritate pomii care au o cantitate cât mai mică de fructe, pentru ca în livadă să rămână cei mai roditori pomi. Quinto şi-a dat seama că este dificil să culeagă fix C kg de fructe, prin urmare este mulţumit şi cu o cantitate mai mare, care respectă celelalte condiţii impuse de el.

Determinaţi cea mai mică valoare X posibilă astfel încât să se poată culege, în condițiile de mai sus, o cantitate de cel puțin C kg de fructe și orice pom din care se culeg fructe să conțină cel mult X kg de fructe.

Fie un șir de numere naturale nenule a[1], a[2], …, a[n] și un număr natural k. Să se determine un grup de k numere din șir care au proprietatea că cel mai mare divizor comun al lor este maxim. Dacă există mai multe astfel de grupuri, se cere acel grup pentru care suma elementelor este maximă.

În vremuri străvechi Pământul era locuit de către o civilizaţie neobişnuită condusă după reguli matematice foarte riguroase. Această civilizaţie era formată din mai multe oraşe-stat asemeni oraşelor antice. Fiecare oraş s-a dezvoltat treptat pornind de la un singur cartier de formă pătrată cu suprafaţa de un hectar, în jurul căruia se adăugau în fiecare an cartiere de câte un hectar fiecare în felul următor: în primul an s-a format cartierul iniţial, în al doilea an oraşul s-a extins formând patru noi cartiere în toate cele patru puncte cardinale, în anul următor oraşul s-a extins cu 8 noi cartiere dispuse în jurul cartierelor deja formate, şi aşa mai departe, în fiecare an oraşul extinzându-se cu încă un rând de cartiere.

Primul an	Al doilea an	Al treilea an	Al patrulea an	Al cincilea an

Extinderea unui oraş se opreşte când întâlnește un alt oraş sau dacă, deşi nu a întâlnit încă un alt oraş, ajunge la marginea hărţii pe oricare dintre cele patru puncte cardinale. Două oraşe se întâlnesc când suprafeţele ocupate de ele ajung să se atingă sau între cartierele marginale ale celor două orașe se mai află doar un hectar.

Situaţii în care suprafeţele orașelor se ating	Situaţii în care între suprafeţele orașelor există un spaţiu de un hectar

Cerințe:

1. Dimensiunea suprafeţei (în hectare) pe care ar ocupa-o după t ani, dacă nu ar întâlni nici un alt oraş şi nici nu ar ajunge la marginea hărţii.
2. Timpul scurs până când toate cele N oraşe şi-au încetat extinderea, începută din cartierele iniţiale ale căror coordonate se citesc din fişier, şi aria suprafeţei din hartă rămasă neocupată, exprimată în hectare.

Se dau n numere naturale. Aflaţi câte dintre ele sunt palindrom prim norocoase. Un număr este palindrom prim norocos dacă este palindrom (egal cu răsturnatul său, de exemplu 121), prim (are exact 2 divizori, de exemplu 3) şi norocos (pătratul numărului se poate scrie ca sumă de numere consecutive, exemplu 3. 3 * 3 = 9 = 2 + 3 + 4).

Se dau două şiruri cu câte n elemente, numere naturale nenule. Să se verifice dacă este posibilă rearanjarea elementelor celor două şiruri astfel încât acestea să fie invers proporţionale.

Considerăm şirul a cu n numere naturale nenule distincte două câte două şi un număr x. Scrieţi un program care determină poziţia pe care se va găsi numărul x în şirul a, dacă acesta ar fi ordonat descrescător.

Se citesc de la tastatura 3 valori reale a, b , c. Rezolvați ecuația de gradul doi cu a*x2+b*x+c=0

Se consideră un şir format din N+2 cifre binare, care conţine cel puţin o cifră 1 şi cel puţin trei cifre 0; prima şi ultima cifră a şirului sunt 0.
Numim 1-secvenţă o succesiune formată numai din cifre 1, aflate pe poziţii consecutive în acest şir, delimitată de câte o cifră 0.
Corina construieşte un astfel de şir, în care numărul de cifre 1 ale fiecărei 1-secvenţe să fie cuprins între două numere naturale date, p şi q. Scrieţi un program care să determine un număr natural K, egal cu restul împărţirii la 666013 a numărului de şiruri distincte, de tipul celui construit de Corina.

Se dă un număr întreg n și alte k numere întregi. Să se afle dacă, adunând toate cele k numere la n se obține o valoare egală cu valoarea inițială a lui n.

Considerăm şirul de numere naturale nenule distincte \(a_1,a_2, …,a_N\). Notăm cu \(L_i\) lungimea maximă a unei secvențe de elemente cu valori consecutive care se poate obţine prin ordonarea crescătoare a primelor i elemente din şirul dat. Să se determine \(L_1,L_2, …,L_N\).

Fie un șir de numere naturale. Se împarte şirul în patru secvenţe astfel încât orice element din şir să aparţină unei singure secvenţe şi fiecare secvenţă să conţină cel puţin două elemente. Pentru fiecare secvenţă se determină costul ei ca fiind diferenţa dintre valoarea maximă şi cea minimă din acea secvenţă.

Bulbuka a primit de curând cadou un infinit de tromino-uri în formă de L. După ce s-a jucat un timp cu ele, a ajuns la următoarea concluzie: poate să acopere cu tromino-uri o tablă de dimensiuni 2Kx2K aproape complet (mai puţin un pătrăţel de dimensiune 1x1). Deşteapta de Bulbuka are un algoritm pentru asta: porneşte de la o configuraţie 2K-1x2K-1, o copiază de încă 3 ori, apoi roteşte 2 dintre copii şi la sfârşit, adaugă un tromino la mijloc (v-a făcut un desen mai jos, ca să înţelegeţi mai bine, pentru K = 1, 2 şi 3). Pornind de la o configuraţie de acest tip, ea a observat că poate roti la 90o câte un tromino, în sensul acelor de ceasornic sau invers, doar dacă după rotire încape înapoi pe tablă. Folosind astfel de rotaţii, pătrăţelul lipsă poate ajunge pe orice poziţie de pe tablă.

Bulbuka vă pune acum Q întrebări de tipul: care este numărul minim de rotaţii necesare pentru ca pătrăţelul lipsă să ajungă de la coordonatele (SR,SC) la coordonatele (FR,FC)?

Se dau n numere naturale nenule. Determinați numărul de cifre 0 de la sfârşitul produsului celor n numere și care este ultima cifră nenulă a acestui produs.

Se citește un număr natural nenul n. Numărul n1 este format doar din cifrele pare ale lui n. Numărul n2 este format doar din cifrele impare ale lui n. Calculați valoarea absolută a diferenței lor.

Se dă un număr n. Afișați figura din exemplu.

Se dau două seturi de N, respectiv Q matrice binare (cu valori 0 sau 1), pentru fiecare matrice fiind precizat numărul de linii respectiv de coloane. Să se afișeze numărul aparițiilor matricelor din al doilea set în primul.

Alex s-a angajat în vacanța de vară ca barman. Pentru că îi place să transforme munca la bar într-un spectacol, uneori aranjează mai multe pahare identice ca formă și dimensiune, dar de capacități diferite, sub forma unei stive.

Un pahar din stivă, cu excepția celor de la bază, se sprijină pe exact două pahare din rândul de mai jos. Paharele sunt numerotate ca în imaginea de mai jos. Nivelurile din stivă sunt de asemenea numerotate, începând cu 1, de la vârf, adică paharul 1 se află pe nivelul 1, paharele 2 și 3 pe nivelul 2, paharele 4, 5 și 6 sunt pe nivelul 3, ș.a.m.d.

Alex toarnă în fiecare secundă câte un mililitru de apă (o picătură) în paharul numărul 1. Paharele au o proprietate ciudată atunci când sunt pline: primul mililitru care ajunge într-un pahar plin se va scurge instantaneu în paharul aflat imediat în stânga sa pe rândul de dedesubt, următorul mililitru se va scurge instantaneu în paharul aflat imediat în dreapta sa pe rândul de dedesubt și tot așa, alternativ câte o picătură în cele două pahare.

De exemplu când paharul 2 este plin, primul mililitru ce va ajunge în el se va scurge în paharul 4, următorul mililitru se scurge în paharul 5, al treilea mililitru se va scurge din nou în paharul 4, ș.a.m.d.

Atunci când într-un pahar plin aflat la baza stivei ajunge un nou mililitru de apă, acesta se scurge instantaneu pe masă.

Cunoscând numărul de pahare din rândul de la baza stivei și faptul că stiva este completă (toate rândurile conțin numărul maxim de pahare ce se pot așeza după regula de mai sus, iar pe cel mai de sus rând se găsește un singur pahar), să se scrie un program care determină:

1. Care este nivelul minim (cel mai de sus) care are suma capacităților tuturor paharelor de pe nivel maximă?
2. Care este numărul minim de secunde necesar pentru a umple toate paharele folosind procedeul descris mai sus și câți mililitri de apă se risipesc (se scurg pe masă) în acest caz?

Un indicator numeric este un dispozitiv de afişaj electronic destinat afişării unei cifre zecimale.
Acesta conține 7 segmente notate cu a, b, c, d, e, f, g, ca în figura de mai jos.

Afişarea unei cifre se face prin aprinderea unei combinații de segmente conform tabelului:

Cunoscând un număr natural N afișat cu ajutorul mai multor indicatoare numerice, să se scrie un program care determină:

1. Numărul de segmente aprinse pentru afișarea numărului N.
2. Numărul de numere distincte mai mari decât N,ce se pot forma prin aprinderea a cel puțin unui segment în plus, față de cele utilizate pentru afișarea numărului N, fără a folosi alte indicatoare numerice, și fără a stinge niciun segment dintre cele deja aprinse.

Ana şi Bogdan au inventat din nou un joc, pe care l-au denumit ks. Pe tabla de joc sunt plasate pe poziţii consecutive n jetoane, pe fiecare jeton fiind scris un număr natural nenul.

Ana este prima la mutare şi are voie să extragă de pe tablă exact k jetoane situate pe poziţii consecutive.

Bogdan mută al doilea şi are şi el voie să extragă exact k jetoane, dintre cele rămase pe tablă, situate de asemenea pe poziţii consecutive.

Punctajul asociat unei mutări este egal cu suma numerelor scrise pe jetoanele extrase la mutarea respectivă.

Scopul Anei este să efectueze mutarea sa astfel încât punctajul obţinut de Bogdan să fie cât mai mic. Considerăm că atât Ana, cât şi Bogdan joacă optim.

Cunoscând numărul de jetoane de pe tabla de joc, valorile înscrise pe acestea, precum şi valoarea k, scrieţi un program care să determine care este cel mai bun punctaj pe care Bogdan îl poate obţine, ştiind că ambii jucători joacă optim.

La întâlnirea anuală a cârtițelor, la concursul pentru selecția noilor membri ai consiliului director, a fost propusă următoarea problemă:

De jur-împrejurul unui teren dreptunghiular împărțit în n*m celule de formă pătrată, cu aceeași arie, cârtițele au săpat galerii exterioare. Celulele aflate pe marginea terenului sunt numerotate consecutiv, de la 1 la 2*(n+m), începând din colțul din stânga-sus, ca în imaginea alăturată. În galeriile exterioare, pe marginea terenului, se află t cârtițe care sunt pregătite să sape galerii interioare. Cârtițele aflate pe latura de Nord a terenului se vor deplasa către Sud, cele care se află pe latura de la Est se vor deplasa către Vest, cele care se află pe latura de la Sud se vor deplasa către Nord, iar cele care se află pe latura de la Vest se vor deplasa către Est.

Cârtițele încep să sape în același timp. În fiecare oră, o cârtiță sapă într-o singură celulă a terenului.

O cârtiță se oprește dacă:

• ajunge într-o altă galerie interioară; ea nu sapă în aceasta, iar galeria ei se unește cu cea în care ajunge;
• în celula în care sapă, mai sapă și alte cârtițe, în aceeași oră; galeriile lor se unesc într-o singură galerie și toate aceste cârtițe se opresc;
• ajunge pe marginea terenului, în partea opusă celei din care a plecat, galeria săpată de ea până în acest moment comunicând acum cu galeria exterioară, în care ea nu sapă.

De exemplu, dacă pe marginea unui teren format din 7x5 celule, se află 5 cârtițe, în celulele 3, 8, 10, 19 și 23, atunci, după o oră, terenul are configurația din fig.1, după două ore, configurația din fig.2, după trei ore, configurația din fig.3 (ultima cârtiță ajunge în galeria primei cârtițe și primele două cârtițe sapă în aceeași celulă și apoi se opresc), după 4 ore, configurația din fig.4, după 5 ore, configurația din fig.5, când cele două cârtițe rămase sapă pe marginea terenului și apoi se opresc pentru că au ajuns în galeria exterioară (fig.6). Galeriile acestora nu se unesc pentru că niciuna dintre ele nu a intrat în galeria celeilalte și nici nu s-au întâlnit într-o celulă.

Cunoscându-se numerele n, m, t și cele t celule exterioare în care se află cârtițele, să se determine:

1. numărul maxim de celule în care sapă o cârtiță până la oprirea tuturor cârtițelor;
2. numărul maxim de celule din care este formată o galerie interioară.

Se consideră numerele naturale A (format din două sau trei cifre, toate distincte și nenule) și X (format din N cifre, toate nenule).

Din numărul X, folosind toate cele N cifre ale sale, se poate construi un cel mai mare număr natural Y strict mai mic decât X. De exemplu, pentru X=121621 se construiește Y=121612.

Tot din numărul X, se poate obține numărul A prin ștergerea unor cifre din scrierea lui X și alipirea celor rămase, fără a le schimba ordinea. De exemplu, dacă X=121621 și A=12, există Z=3 posibilități distincte prin care să obținem numărul A din X și anume: 1) 121621; 2) 121621; 3) 121621.

Cunoscându-se numerele A, N și cele N cifre ale lui X, să se determine:

1. cel mai mare număr natural Y, strict mai mic decât X, care se poate obține rearanjând cifrele lui X;
2. numărul maxim Z de posibilități distincte prin care se poate obține numărul A din numărul X prin ștergerea unor cifre și alipirea celor rămase, fără a le schimba ordinea.

Un copil dorește să găsească un mod original de a-și codifica numele și folosește în acest scop o figură formată doar din triunghiuri, desenată pe o foaie de hârtie. El plasează fiecare literă din numele său, în câte un triunghi. Dacă numele lui este DARIUS, atunci foaia de hârtie va arăta ca în figura 1. Pe primul rând așează prima literă, pe al doilea rând următoarele trei litere, pe al treilea rând următoarele cinci litere, și așa mai departe până când așează toate literele din nume. Dacă numele nu are suficiente litere, copilul folosește caracterul * pentru a completa ultimul rând pe care pe care a așezat litere. Nemulțumit că numele poate fi citit relativ ușor, răstoarnă figura, rotind foaia de hârtie, în sensul acelor de ceasornic, obținând astfel figura 2.

Cunoscând literele numelui, scrieți un program care determină și afișează în fișierul de ieșire:

1. Numărul de caractere * pe care trebuie să le utilizeze pentru a completa ultimul rând;
2. Prima literă de pe fiecare rând din figura inițială;
3. Șirul literelor de pe fiecare rând, după rotirea foii de hârtie.

Elevii clasei pregătitoare se joacă la matematică cu numere. Învățătoarea are un săculeț plin cu jetoane, pe fiecare dintre ele fiind scrisă câte o cifră. Fiecare elev și-a ales din săculeț mai multe jetoane, cu care și-a format un număr. Pentru ca totul să fie mai interesant, elevii s-au grupat în perechi. Doamna învățătoare a oferit fiecărei perechi de elevi câte o cutiuță pentru ca cei doi să își pună împreună jetoanele. De exemplu, dacă unul din elevii unei echipe și-a ales jetoane cu care a format numărul 5137131 iar celălalt elev și-a ales jetoane cu care a format numărul 6551813, atunci cutiuța echipei va conţine 5 jetoane cu cifra 1, câte 3 jetoane cu cifra 3 şi 5 şi câte un jeton cu cifrele 6, 7 şi 8.

Doar Andrei stătea supărat pentru că numărul de elevi al clasei era impar iar el nu avea partener, motiv pentru care nu și-a mai ales jetoane. Din această cauză, doamna învățătoare i-a spus:

“- Alege o echipă din a cărei cutiuță poţi lua o parte din jetoane, dar ai grijă ca fiecare dintre cei doi elevi să-și mai poată forma numărul lui din jetoanele rămase, iar tu să poți forma un număr nenul cu jetoanele extrase!“.

Dar cum Andrei nu se mulţumea cu puţin, a vrut să aleagă acea echipă din a cărei cutiuță îşi poată forma un număr de valoare maximă folosind jetoanele extrase.

Scrieţi un program care să citească numărul N de cutiuțe și numerele formate de elevii fiecărei perechi și care să determine:

1) Numărul de cutiuțe din care Andrei poate lua jetoane respectând condiția pusă de doamna învățătoare;
2) Care este cel mai mare număr nenul pe care îl poate forma Andrei respectând aceeași condiție.

Un număr se numește palindrom dacă prima lui cifră este egală cu ultima, a doua cu penultima și așa mai departe. De exemplu numerele 1221, 505 și 7 sunt palindromuri, în vreme ce 500, 1410 și 2424 nu sunt palindromuri.

Similar, un număr se numește aproape palindrom dacă are aceleași perechi de cifre identice ca un palindrom, mai puțin o pereche în care cifrele diferă. De exemplu numerele 500, 1411, 2444, 1220, 53625, 14 și 4014 sunt numere aproape palindromuri, în vreme ce 1221, 1410, 6, 505, 22 și 512125 nu sunt numere aproape palindromuri deoarece fie sunt palindromuri, fie au prea multe perechi de cifre diferite.

Mai definim palindromul asociat al unui număr x ca fiind cel mai mic număr palindrom p strict mai mare decât x (p>x). De exemplu palindromul asociat al lui 5442 este 5445, palindromul asociat al lui 2445 este 2552, al lui 545 este 555, al lui 39995 este 40004, al lui 500 este 505, iar al lui 512125 este 512215.

Scrieţi un program care citind un număr natural nenul n și apoi un șir de n numere naturale determină:

1. câte dintre cele n numere sunt palindrom
2. câte dintre cele n numere sunt aproape palindrom
3. palindromurile asociate pentru cele n numere citite.

Maria are în camera sa N mărgele așezate una lângă alta. Pe fiecare dintre ele este scris un număr natural format din cifre nenule distincte. Pentru fiecare mărgea, Maria șterge numărul și în locul său scrie altul, având doar două cifre, respectiv cifra minimă și cifra maximă din numărul scris inițial, în ordinea în care aceste cifre apăreau înainte de ștergere. Acum Maria consideră că mărgelele sunt de două tipuri, în funcție de numărul de două cifre scris pe ele: tipul 1 (cele care au cifra zecilor mai mică decât cifra unităților) și tipul 2 (celelalte). Folosind mărgelele, fetița dorește ca prin eliminarea unora dintre ele (dar fără să le schimbe ordinea celorlalte) să obțină un colier circular cât mai lung care să respecte proprietatea că oricare două mărgele vecine ale sale sunt de tipuri diferite. În colierul format cu mărgelele rămase după eliminare se consideră că prima mărgea este vecină cu ultima.

1) determinați numărul de mărgele de tipul 1;
2) determinați numărul maxim de mărgele pe care le poate avea colierul;

În anul 2214 a izbucnit primul război interstelar. Pământul a fost atacat de către n civilizaţii extraterestre, pe care le vom numerota pentru simplicitate de la 1 la n.

Pentru a se apăra, pământenii au inventat o armă specială ce poate fi încărcată cu proiectile de diferite greutăţi, fabricate dintr-un material special denumit narun. Dacă arma este programată la nivelul p, atunci un proiectil de greutate k va ajunge exact la distanţa kp km (k la puterea p) faţă de Pământ şi dacă în acel punct se află cartierul general al unui atacator, acesta va fi distrus. De exemplu, dacă arma este programată la nivelul 2, un proiectil de greutate 10 va distruge cartierul general al extratereştrilor situat la distanţa 102 = 100 km de Pământ.

Arma poate fi încărcată cu proiectile de diferite greutăţi, dar cum narunul este un material foarte rar şi foarte scump, pământenii vor să folosească proiectile cât mai uşoare pentru a distruge cartierele generale inamice.

Cunoscându-se n, numărul atacatorilor, precum şi cele n distanţe până la cartierele generale ale acestora, să se scrie un program care determină:

• cantitatea minimă de narun necesară pentru a distruge toate cartierele generale inamice;
• nivelurile la care trebuie programată arma, pentru a distruge fiecare cartier general inamic cu o cantitate minimă de narun.

Scrieţi un program care citeşte de la tastatură un număr natural n şi construieşte în memorie o matrice cu n linii şi n coloane în care fiecare linie a matricei să conţină o permutare a mulţimii {1,2,...,n}, astfel încât pe linii diferite ale matricei să se afle permutări diferite.

Se dă numărul natural n și se cere să se afișeze cel mai mic număr natural format din cifrele sale.

Fie X un vector de numere naturale distincte, de dimensiune N, X = (x[1], x[2], …, x[N]). Se dă un număr natural Q, apoi Q întrebări de forma: “Câţi divizori ai lui Qi se află în şirul X?”.

Răspundeţi la cele Q întrebări.

Lui Cristian, ca oricărui alt copil, îi plac bomboanele. A primit cadou de la prietenii lui cutii cu bomboane. Fiind multe cutii le-a numerotat: 1, 2, 3, … Desfăcând câteva, a văzut că există o legătură între numărul de pe etichetă și numărul de bomboane din cutie. Astfel în fiecare cutie sunt atâtea bomboane câți divizori pari are numărul de pe cutie. De exemplu cutia cu numărul 10 conține 2 bomboane, cutia cu numărul 8 conține 3 bomboane ș.a.m.d.

Cristian a ales la întâmplare două etichete x și y dorind să desfacă toate cutiile cu etichete cuprinse între x și y. Ajutați-l să determine prima cutie, etichetată cu a, și utima cutie, etichetată cu b, cu număr maxim de bomboane (x≤a≤b≤y), câte cutii n sunt cu acest număr de bomboane și care este acest număr d de bomboane.

Într-o zi, Gigel a găsit pe masa tatălui său o foaie A4 pe care era trecut șirul denumit “devt” sub forma 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ... , n. Dedesubtul acestui șir gasește un test alcătuit din k întrebari de forma a, b cu semnificația “Câte numere din acest șir se află în intervalul [a,b]?”.

Se consideră un tablou bidimensional format din n linii și n coloane, completat cu elemente de la 1 la n2. Completarea acestuia se face pornind din colțul din stânga sus la cel din dreapta sus, de la cel din dreapta sus la cel din dreapta jos ș.a. (exemplu mai jos).

Scrieți un program care citește un număr natural n și determină:

1. Suma elementelor de pe linia și coloana k, elementul care se află la intersecția acestora nu se va adăuga în sumă.
2. Matricea formată prin inversarea coloanei k cu linia k.