Lista de probleme 3

Dându-se un șir de numere, se vrea să aflăm numărul de moduri de a împărți șirul în cel puțin două subsecvențe, astfel încât sumele elementelor tuturor subsecvențelor să fie egale, prima putând să aibă suma elementelor diferită de a celorlalte.

Se dă un șir de caractere s, care poate conține doar litere mici și mari ale alfabetului englez (de la a la z și de la A la Z). Pentru toate perechile neordonate de subsecvențe distincte ale șirului s care au lungimi egale, vrem să calculăm distanța dintre ele și să afișăm suma acestora modulo 1.000.000.007. Formal, se cere suma valorilor dist(s(a, b), s(c, d)), pentru toți indicii a, b, c, d cu 0 ≤ a, b, c, d < |s|, a < c, a ≤ b, c ≤ d, b - a = d - c, modulo 1.000.000.007. |s| reprezintă lungimea șirului s, care este indexat de la 0.

Un labirint este descris ca fiind o matrice binară cu N linii și M coloane, cu semnificația că 0 reprezintă o poziție liberă, iar 1 reprezintă o poziție în care se află un zid. Un drum în labirint este un traseu în matrice care începe cu poziția (1, 1) și ajunge în poziția (N, M) prin deplasare doar pe poziții care au valoarea 0 și sunt vecine cu poziția curentă, pe una din cele patru direcții: sus, jos, stânga, dreapta. Lungimea unui drum este egală cu numărul de poziții vizitate. Notăm cu d0 lungimea drumului minim de la poziția (1, 1) la poziția (N,M). Fie d(i, j) lungimea drumului minim de la poziția (1, 1) la poziția (N, M), dacă poziției (i, j) i se atribuie valoarea 0. Observăm că dacă poziția (i, j) conține inițial un 0, atunci d0 = d(i, j). Pentru fiecare poziție (i, j) să se verifice dacă d(i, j) < d0.