Lista de probleme 544

Un număr se numește special dacă suma cifrelor lui pare este mai mare decât suma cifrelor lui impare. De exemplu, numerele 1278, 84, 289 sunt numere speciale. Numerele 1298, 742, 9773 nu sunt numere speciale.
Într-o zi de weekend, după ce și-au terminat toate temele pentru săptămâna următoare, pentru că afară era vreme urâtă și se plictiseau, Alina și Cristina au hotărât să joace un joc. Au scris pe n cartonașe câte un număr, au format un teanc cu cele n cartonașe și au stabilit următoarea regulă de joc: Fiecare dintre ele trage pe rând, câte un cartonaș (Alina, fiind cea mai mare trage primul cartonaș). Ele formează câte un nou număr din ultimele două cifre ale numărului tras de Alina și primele două cifre ale numărului tras de Cristina și îl verifică dacă este un număr special. Pun cele două cartonașe deoparte și trag pe rând alte două cartonașe. La finalul jocului vor să afle care a fost cel mai mare număr special format. Determinați care este cel mai mare număr special format în timpul jocului.

De a lungul unui traseu se află mai multe obiective turistice identificate printr un număr natural numit cod. Popularitatea unui obiectiv turistic este dată de numărul divizorilor primi din descompunerea în factori primi a codului său. Cu cât un cod are mai mulți divizori primi, cu atât obiectivul cu acel cod este mai popular. Numim secvență populară o succesiune de obiective turistice care conține un singur obiectiv cu popularitate maximă, iar acesta se află fie la începutul, fie la finalul secvenței. Lungimea unei secvențe populare este dată de numărul său de obiective. Cunoscând numărul N de obiective turistice din traseu și cele N coduri ale lor (c[1], c[2], …, c[N]), să se determine:
1) Obiectivele turistice de popularitate maximă
2) Lungimea maximă a unei secvențe populare de forma (c[i],c[i+1], ..., c[j]), 1 ≤ i ≤ j ≤ N

Se dă un număr natural N și apoi N numere naturale, toate având același număr de cifre.
1) Determinați câte dintre cele N numere sunt palindrom.
2) Determinați câte dintre cele N numere pot deveni palindrom prin inserarea în acestea a câte unei cifre.
3) Determinați câte dintre cele N numere pot deveni palindrom prin inserarea în acestea a câte două cifre.

Notwen a auzit de descoperirile prietenului său de pe Pământ şi a decis să studieze şi el legile gravitaţiei pe planeta sa. Pentru aceasta a conceput un experiment, care utilizează două drepte (o dreaptă verticală şi o dreaptă oblică, înclinată la un unghi oarecare faţă de orizontală) şi un super-măr (care, pentru a simplifica analiza, este considerat punctiform). Cunoscând distanţa x la care se află super-mărul față de dreapta verticală la începutul experimentului:
1. Determinați numărul de ciocniri ale super-mărului cu dreapta verticală.
2. Determinați numărul de ciocniri ale super-mărului cu dreapta înclinată.