Lista de probleme 544

După șase ani de lucru, Charles a terminat de curățat instalațiile pentru producerea negrului de fum din Copșa Mică. Pentru a se ține departe de mesele de Blackjack, el s-a angajat la CERN, unde va lucra la noul accelerator de particule numit Even Larger Hadron Collider (ELHC). ELHC are forma unui tunel circular cu o circumferință de P kilometri, P fiind un număr prim. De-a lungul tunelului sunt plasați P senzori numerotați de la 0 la P - 1, distanța dintre doi senzori consecutivi fiind de exact 1 kilometru.

Un experiment efectuat în ELHC constă în studierea unei particule de tip G, 1 ≤ G < P. Dacă această particulă este ridicată la nivelul de energie k și este lansată din dreptul senzorului 0 în direcția senzorului 1, ea va parcurge exact Gk kilometri prin tunel și apoi se va dezintegra, declanșând în acel moment senzorul s în dreptul căruia are loc dezintegrarea particulei. Se consideră că experimentul are date complete dacă, lansând P - 1 particule de tip G ridicate la toate nivelurile de energie k de la 1 la P - 1, este posibil să declanșăm toți senzorii s numerotați cu valori între 1 și P - 1, adică toți senzorii din tunel mai puțin senzorul 0.

Dându-se T perechi de numere G și P, determinați dacă experimentul pentru studierea particulei de tip G într-un tunel de circumferință P produce date complete.

Pentru că îi plac cifrele, Skippie, iepurașul norocos, a stabilit cum se obține cifra de control a unui număr: se efectuează suma cifrelor sale, apoi suma cifrelor acestei sume, până când suma obținută este un număr format dintr-o singură cifră. Această ultimă cifră, spune Skippie, poartă numele de cifră de control. Skippie a ascuns în păadure n ouă roșii. Pe fiecare ou a pictat câte un număr natural nenul. Iar acum se întreabă care este suma dintre cel mai mare și cel mai mic număr natural care se pot forma din toate cifrele distincte folosite în scrierea numărului pictat.
1. Pentru fiecare dintre cele n numere pictate de Skippie aflați suma dintre cel mai mare și cel mai mic număr natural care se pot forma din toate cifrele distincte folosite în scrierea numărului pictat.
2. Pentru fiecare dintre cele n numere pictate de Skippie aflați de câte ori apare cifra de control a numărului pictat în scrierea tuturor numerelor naturale mai mici sau egale decât numărul pictat.

Se dă un număr N, și un șir de N numere naturale nenule. Determinați suma valorilor aflate pe ultimele K poziții în șir (unde K reprezintă valoarea celei mai din dreapta cifre nenule a primei valori din șir). Ne imaginăm împărțirea șirului în secvențe în următorul mod: prima secvență este formată din primele L elemente, a doua este formată din următoarele L-1 elemente, a treia este formată din următoarele L-2 elemente și așa mai departe, ultima secvență este formată dintr-un singur element și acesta coincide cu ultimul element din șir. Considerând suma valorilor fiecărei secvențe, să se determine cea mai mare dintre aceste sume.

Un atelier de fabricat ceasuri cu cuc are nevoie de plăcuțe cu numerele pentru orele pe care trebuie să le așeze pe discul ceasurilor. Aceste numere sunt realizate la o imprimantă. Din cauza unei erori imprimanta tipărește plăcuțe cu numere naturale, unele mai mari ca 12. Atelierul poate utiliza doar plăcuțe cu numere cuprinse ı̂ntre 0 și 12. Pentru a utiliza aceste numere este nevoie ca ele să fie tăiate ı̂ncepând din partea dreaptă ı̂n grupuri de maxim 2 cifre, fiecare grup reprezentând valoarea de pe o plăcuță, care să fie o cifră la 0 la 9 sau unul dintre numerele 10, 11, 12. Determinați numărul total de apariții ale cifrei X pe plăcuțe ı̂nainte de tăiere. Determinați numărul de tăieturi realizate conform enunțului.

Un număr se numește bipătrat dacă este pătrat perfect și, în plus, prin inserarea unei singure cifre numărul obținut este de asemenea pătrat perfect. Inserarea unei cifre se poate face atât între două cifre deja existente ale numărului, cât și la finalul sau la începutul numărului. Fiind dată o secvență de numere naturale, să se verifice dacă numerele respective sunt bipătrate, iar pentru cele ce îndeplinesc condiția să se afișeze în ordine crescătoare toate pătratele perfecte care se pot obține prin inserarea unei cifre.

Dându-se numerele X și K determinaţi:
1) Produsul dintre ultima cifră a numărului X * X * X * … * X (de K ori) şi prima cifră a lui X.
2) Numărul rezultat după aplicarea celor K transformări.

Moș Crăciun s-a modernizat, folosind drone pentru colectarea prăjiturilor primite în dar de la copii. El a folosit n drone de modele diferite. Fiecare dronă utilizată avea un cod din maximum 9 cifre inscripționat pe ea. A observat că anumite drone erau cam zgomotoase și a decis să le înlocuiască pentru anul viitor. A mai remarcat că la dronele zgomotoase codul avea următoarele caracteristici: prima cifră era mai mică decât 7 și produsul tuturor cifrelor era un număr par. Determinați câte drone trebuie înlocuite.

Împăratul Tiberius Claudius Caesar Augustus Germanicus, pasionat de luptele de gladiatori, a decis să organizeze cele mai mari jocuri care s-au organizat vreodată în Roma Antică. Pentru a măsura cât de spectaculoase sunt jocurile, împăratul a inventat un număr, numit “coeficientul de entuziasm”. Acest număr este egal cu 0 înainte să înceapă jocurile. În urma unei bătălii coeficientul de entuziasm crește cu diferența dintre nivelul de faimă al celor doi gladiatori. Ajutați-l pe Împăratul Tiberius și spuneți-i care este cel mai mare coeficient de entuziasm pe care îl poate obține atunci când se termină jocurile.

Rapunzel, plictisită de modul în care arată castelul ei, doreşte să facă nişte modificări. Astfel, ea a comandat un nou mozaic pentru a îl pune la intrare. Meşterii palatului, ştiind cât de nehotărâtă este prinţesa, au decis să vină cu cât mai multe modele posibile. Mozaicul comandat este unul simplu, alcătuit din două benzi suprapuse de lungime N. Pentru a-l realiza, meşterii dispun de un număr infinit de plăcuţe dreptunghiulare cu lungimi variabile si lăţimi egale cu lăţimea unei benzi. Oricare două plăcuţe de lungimi diferite au şi modele diferite. Pentru a nu încărca prea mult mozaicul, o bandă o să conţină acelaşi model de plăcuţă. Deoarece materialele sunt scumpe, meşterii doresc să folosească integral fiecare plăcuţă, fără sa depăseaşcă lungimea mozaicului.

Înainte să se apuce de treabă, meşterii doresc să ştie lungimea plăcuţelor ce ar putea fi utilizate în crearea mozaicului.
Să se determine numărul de modele pe care prinţesa o să le primească de la meşteri.

Dorel este pasionat de studiul pătratelor perfecte. El doreşte să afle răspunsul la Q cerinţe de forma: dacă se dau numerele naturale l, r, a, b, cu l ≤ r, să se afle câte numere naturale x cuprinse între l şi r (inclusiv acestea) au proprietatea că x+a şi x+b sunt simultan pătrate perfecte.