Lista de probleme 107

Se dă o matrice binară cu n coloane și m linii. Coloanele sunt numerotate de la stânga la dreapta cu valori de la 1 la n, iar liniile sunt numerotate de jos în sus cu valori de la 1 la m.
Matricea dată are o formă particulară, astfel că pentru fiecare coloană i de la 1 la n toate elementele matricei de pe coloana respectivă au valoarea 1 pentru toate liniile cuprinse în intervalul [1, h[i]] și în rest valoarea 0. Valorile h[i] sunt numere naturale date în ordine crescătoare (h[i-1] ≤ h[i], 1 ≤ i ≤ n).
Să se răspundă la q întrebări de forma: dându-se numerele A, B, C, D se cere suma elementelor din submatricea determinată de zona dreptunghiulară având colțul stânga-jos în coloana A și linia B, iar colțul dreapta-sus în coloana C și linia D.

Micul Prinț a ajuns în țara numerelor palindrom cu număr impar de cifre unde a primit de la sfetnicul regelui o listă care conține N numere naturale, fiecare cu număr impar de cifre. Un număr este palindrom dacă prima lui cifră este egală cu ultima, a doua cu penultima, ș.a.m.d. Acesta i-a transmis că regele este foarte bolnav. Odată cu regele, numerele din listă s-au îmbolnăvit și ele. Sfetnicul i-a spus că lista corectă poate fi obținută prin înlocuirea fiecărui număr din ea cu cel mai mic palindrom mai mare sau egal cu numărul respectiv.
După ce a urmat recomandarea sfetnicului, Micul Prinț a constatat că în lista corectă obținută toate palindromurile sunt distincte. Uitându-se mai cu atenție la palindromurile din această listă, a observat că există perechi de palindromuri în care cel mai mic se poate obține din cel mai mare prin ștergerea aceluiași număr de cifre de la ambele capete. De exemplu pentru perechea 7531357 și 313 palindromul 313 se obține din 7531357 prin eliminarea a câte două cifre de la ambele capete ale sale.
Considerăm un șir de palindromuri din lista corectă și notăm cu X valoarea maximă a acestui șir. Vom spune că șirul este magic dacă toate palindromurile din el se pot obține după metoda descrisă mai sus, din palindromul de valoare X. Un exemplu de șir magic este 4, 53435, 7534357, 89753435798, presupunând că toate aceste numere se regăsesc în lista corectă.

Scrieți un program care citește numerele din lista primită de la sfetnicul regelui și afișează:
1) Lista corectă obținută de Micul Prinț;
2) Numărul de elemente ale celui mai lung șir magic care se poate obține din lista corectă;
3) Palindromurile din care este format cel mai lung șir magic, afișate în ordine crescătoare. Dacă există mai multe astfel de șiruri în lista corectă a Micului Prinț, se va afișa cel în care ultimul număr este cel mai mare.

Dan este un mare pasionat al fructelor, printre preferatele sale fiind strugurii şi pepenii. Însă recent şi-a descoperit și pasiunea pentru legume, în special pentru roşii, dar mai ales roşiile mici. Spre norocul lui, grădina bunicului este plină de roşii. Grădina are forma unei matrice cu N linii și M coloane cu elemente numere naturale, nu neapărat distincte, unde fiecare element din matrice reprezintă dimensiunea unei roşii. Matricea are proprietatea că oricare coloană are valorile ordonate crescător de sus în jos, adică de la prima spre ultima linie. Bunicul său îi cere să rezolve Q sarcini. Pentru fiecare sarcină, Dan primeşte un număr natural x şi trebuie să găsească o submatrice de arie maximă care începe de pe linia 1 a matricei care reprezintă grădina şi are toate elementele mai mici sau egale decât x. Pentru determinarea submatricei cerute, Dan are voie să mute toate valorile unei coloane în fața oricărei alte coloane. De asemenea, îi este permis să facă oricâte mutări de tipul acesta.
Să se calculeze aria maximă a unei submatrice care respectă specificațiile din enunț, pentru fiecare din cele Q sarcini date de către bunic.

Fie un vector v sortat crescător cu N elemente naturale nenule distincte pe care nu le cunoaştem, dar pe care ne propunem să le determinăm. Având la dispoziţie acest vector v, cu ajutorul următorului algoritm de căutare binară putem răspunde la queryuri de forma: Dându-se un număr X şi un interval [a, b] se cere să se determine cel mai mic element mai mare decât X aflat în intervalul determinat de indicii a şi b, interval din vectorul v. Se cunosc paşii pe care algoritmul de cautare binară i-a urmat pentru diferite valori ale tripletului (X, a, b).
Dându-se N (lungimea vectorului), Q (numărul de query-uri apelate) şi cele Q query-uri, să se determine vectorul iniţial. Dacă există mai multe soluţii se va afişa soluţia minim lexicografică. Dacă nu există soluţie se va afişa valoarea -1.

Zizi îşi va petrece concediul în această vară într-o frumoasă staţiune de la Marea Neagră. Acolo va sta N zile. Zilele
sunt numerotate de la 1 la N. În fiecare dintre cele N zile de concediu, ea intenţionează să facă plajă un număr cât
mai mare de unităţi de timp. Va trebui să ţină seama totuşi de prognoza meteo, care este nefavorabilă în K dintre cele N zile, respectiv în zilele z[1], z[2], …, z[k]. În fiecare dintre aceste K zile va ploua sau va fi prea mult soare, iar Zizi va trebui să-şi limiteze timpii de plajă la cel mult t[1], t[2], …, t[k] unităţi de timp. De asemenea, din motive de confort fizic, Zizi doreşte ca diferenţa în valoare absolută a timpilor de plajă între oricare două zile consecutive să nu depăşească T.
Cunoscând zilele z[1], z[2], …, z[k] în care există limitările t[1], t[2], …, t[k] pentru timpul de plajă şi valoarea T, să se determine numărul maxim de unităţi de timp pe care Zizi le poate petrece la plajă într-o singură zi dintre cele N zile de concediu.

Stațiunea Xoni de pe insula Ixos are N magazine de înghețată, așezate unul lângă altul, pe aceeași parte a străzii pietonale. Acestea sunt numerotate cu valori naturale de la 1 la N , în ordinea așezării pe stradă.

Magazinele sunt deținute de K acționari (numerotați de la 1 la K ), fiecare dintre aceștia fiind proprietarul unor magazine numerotate consecutiv. Un magazin poate avea mai mulți acționari.

Odată cu venirea verii, începe și perioada concediilor, toți acționarii luându-și concediul împreună, timp de M zile. Înainte de a pleca în concediu, ei au discutat cu Transportel pentru a se ocupa de aprovizionarea cu înghețată a magazinelor lor. Acesta a decis, singur, să facă în fiecare dintre cele M zile aprovizionarea unor magazine, numerotate și acestea cu numere consecutive.

Determinați, pentru fiecare acționar numărul de magazine deținute de către acesta care nu au fost aprovizionate cu înghețată în nicio zi din concediu.

Împăratul cel bătrân vrea să împartă sacii cu galbeni din vistieria palatului celor K feciori ai săi, numerotați de la 1 la K în ordinea vârstei. Feciorul cu numărul 1 este cel mai mare, iar mezinul are numărul K. În vistierie sunt N saci plini cu galbeni, așezați în linie, atât de grei încât nu li se poate schimba ordinea, iar pe fiecare sac este scris numărul de galbeni pe care îi conține. Împăratul îl cheamă pe unul dintre feciori și îi spune: “Fiule, a ta este averea primilor x1 saci!”. Feciorul ia sacii și pleacă fericit. Apoi, împăratul cheamă alt fecior și îi spune: “Fiule, a ta este averea primilor x2 saci dintre cei rămași!”. Și așa mai departe, până ajunge la ultimul fecior chemat, căruia îi dă toți sacii rămași.
El nu are o ordine anume în care își cheamă feciorii dar are grijă să cheme fiecare fecior exact o dată. Totodată, pentru a evita certurile între ei, este atent ca fiecare fecior să primească cel puțin un sac cu galbeni, dar să NU primească în total mai mulți galbeni ca un frate mai mare decât el. Cel mai mic dintre feciorii împăratului este și cel mai viteaz, așa că împăratul ar vrea să îi dea lui o sumă de bani cât mai mare, fără a-i supăra pe ceilalți feciori ai săi. Cum ar putea împărți împăratul sacii?

Un număr natural n se numește putere dacă există două numere naturale a, b, a ≥ 1, b ≥ 2 astfel încât $n=a^b$. De exemplu, numerele 32 , 169 , 1 sunt puteri ($32=2^5$ , $169={13}^2$ , $1=1^2$ ), iar 72 , 2000 și 31 nu sunt puteri.
Se citesc numerele naturale N , M și un șir de N numere naturale $x_1,x_2,\dots ,x_N$ din intervalul [1,M].

Pentru fiecare din cele N numere $x_i$ determinați câte un număr natural $r_i$ din intervalul [1,M], cu proprietatea că $r_i$ este o putere și pentru orice altă putere p din intervalul [1,M] este îndeplinită condiția $|x_i–r_i|\le |x_i–p|$, unde |x| reprezintă valoarea absolută a lui x (modulul).
Dacă există două puteri egal depărtate de $x_i$ se va alege puterea cea mai mică. De exemplu pentru numărul 26, dintre puterile 25 și 27 va fi ales numărul 25.

Privită din spațiu, harta insulei din povestea noastră are forma unui caroiaj pătratic cu L linii și L coloane. Liniile și coloanele sunt numerotate de la 1 la L. În fiecare dintre cele L*L celule se află câte un far. Inițial cel de la poziția 1,1 este aprins și toate respectă regula: orice far are farurile vecine (pe linie și coloană, deci maximum 4) în starea opusă față de starea sa. În urma unei furtuni, s-au întâmplat lucruri ciudate: fulgerele au lovit unul după altul și au afectat starea unor faruri. Sunt trei tipuri de fulgere. Prin schimbarea stării unui far înțelegem că acesta se aprinde dacă este stins și se stinge dacă este aprins.
Se dau date despre fulgere, în ordinea în care acestea acționează. Se cere ca la finalul furtunii să se indice care este starea anumitor faruri, aflate la coordonate precizate de pe insulă.

Pasionat de informatică și de puzzle-uri, Dorel a construit o matrice A de dimensiunea N × M lipind mai multe piese dreptunghiulare de diferite dimensiuni. Fiecare piesă este compusă din elemente de dimensiunea 1 × 1 și rețin o aceeași valoare. Matricea rezultată nu are spații libere, iar piesele din care este compusă nu se suprapun. Nu există două piese cu aceeași valoare.
Deși inițial părea că acest design este unul inedit, nu a durat mult până când Dorel s-a plictisit. Astfel, acum el dorește să “upgradeze” matricea construită. Dorel alege o submatrice delimitată de coordonatele (x1,y1) – colțul stânga-sus, (x2,y2) – colțul dreapta-jos (1 ≤ x1 ≤ x2 ≤ N, 1 ≤ y1 ≤ y2 ≤ M), unde crește toate valorile elementelor submatricei cu valoarea V.
Dorel efectuează în ordine Q operații de upgrade, operații numerotate de la 1 la Q. La finalizarea celor Q operații de upgrade, toate elementele din matrice au valoarea mai mare sau egală cu K. După o operație de upgrade, structura inițială a matricei se modifică.
Cum priceperea lui Dorel este proverbială, trebuie să îl ajutați în rezolvarea următoarelor cerințe:
1) determinarea coordonatelor piesei cu număr maxim de elemente înainte ca Dorel să efectueze operațiile de upgrade;
2) determinarea numărului minim de operații de upgrade după care toate elementele matricei au valoarea mai mare sau egală cu K.