Lista de probleme 107

Sandu a studiat la ora de informatică mai multe aplicații cu vectori de numere naturale, iar acum are de rezolvat o problemă interesantă. Se dă un șir X=(X[1],X[2],…,X[n]) de numere naturale nenule și două numere naturale p1 și p2, unde p1<p2. Sandu trebuie să construiască un nou șir Y=(Y[1],Y[2],…,Y[n*n]) cu n*n elemente obținute din toate produsele de câte două elemente din șirul X (fiecare element din șirul Y este de forma X[i]*X[j], 1<=i, j<=n). Sandu are de calculat două valori naturale d1 și d2 obținute din șirul Y. Valoarea d1 este egală cu diferența maximă posibilă dintre două valori ale șirului Y. Pentru a obține valoarea d2, Sandu trebuie să considere că șirul Y are elementele ordonate descrescător iar d2 va fi diferența dintre valorile aflate pe pozițiile p1 și p2 în șirul ordonat descrescător. Sandu a găsit rapid valorile d1 și d2 și, pentru a le verifica, vă roagă să le determinați și voi.

Dându-se șirul X cu n elemente și valorile p1 și p2, determinați valorile d1 și d2.

N prieteni, numerotaţi de la 1 la N, beau bere fără alcool la o masă rotundă. Pentru fiecare prieten i se cunoaşte $C_i$ – costul berii lui preferate. Din când în când, câte un prieten, fie el k, cumpără câte o bere pentru o secvenţă de prieteni aflaţi pe poziţii consecutive la masă, începand cu el, în sensul acelor de ceasornic. El este dispus să cheltuiască x bani şi doreşte să facă cinste la un număr maxim posibil de prieteni.

Se cere numărul de beri pe care le va cumpăra fiecare prieten k în limita sumei x de bani de care dispune. În caz că x este mai mare decât costul berilor pentru toţi prietenii de la masă, se vor achiziţiona maxim N beri.

Se consideră un şir cu N numere naturale a[1], a[2], …, a[N]. Asupra unui element a[i] din şir se pot efectua operaţii de incrementare (adunare cu 1: a[i] = a[i] + 1) sau decrementare (scădere cu 1: a[i] = a[i] - 1). Fiecare element din şir poate fi incrementat sau decrementat de oricâte ori. Dat fiind șirul celor N numere naturale, să se determine:
a. numărul total minim de operaţii necesare pentru a transforma toate numerele din şir în numere prime;
b. numărul minim de operații (incrementări şi decrementări) ce trebuie să fie efectuate asupra elementelor şirului astfel încât să existe o secvență de lungime K formată numai din numere prime.

Se consideră N vectori cu elemente întregi, numerotați de la 1 la N, sortați crescător, fiecare vector având un număr precizat de elemente.

Să se răspundă la Q întrebări de tipul:
a) 1 i j, cu semnificaţia: care este minimul dintre modulele diferențelor oricăror două elemente, primul element aparținând vectorului numerotat cu i, iar cel de al doilea element aparținând vectorului numerotat cu j ?
b) 2 i j, cu semnificația: care este valoarea ce se găsește pe poziția mediană în vectorul obținut prin interclasarea vectorilor având numerele de ordine i,i+1,…,j (i<j).

Manole a învățat de la profesorul de informatică cum să calculeze suma elementelor oricărei matrice A cu N linii și M coloane. El numerotează liniile de la 1 la N și coloanele de la 1 la M. Mai mult, Manole fiind extrem de pasionat de numere, va calcula sumele tuturor subtablourilor din cadrul matricei A. Șirul acestor sume îl scrie pe o hârtie, după ce l-a ordonat crescător.

Prin subtablou el înțelege o zonă dreptunghiulară din matricea A, identificată prin colțul stânga-sus (x1,y1) şi colţul dreapta-jos (x2,y2), elementele subtabloului fiind toate elementele A[i][j] pentru care x1≤i≤x2 şi y1≤j≤y2. Suma unui subtablou este suma tuturor elementelor sale.

La proba de sărituri cu schiurile din cadrul jocurilor olimpice de iarnă participă N concurenți, numerotați cu numere de la 1 la N.

Regulile de desfășurare a probei sunt următoarele:

• concurenții evoluează pe rând, în ordine de la 1 la N;
• fiecare concurent va efectua o singură săritură;
• după efectuarea săriturii fiecare concurent primește un anumit punctaj;
• pe tot parcursul concursului, comisia de arbitri are obligația să alcătuiască o listă cu punctajele obținute de concurenți, în ordinea evoluției lor;
• evoluția unui concurent durează exact un minut;
• nu se face pauză între evoluțiile a doi concurenți care au numere de ordine consecutive;
• afișarea punctajului nu necesită timp suplimentar după efectuarea săriturii;
• proba se încheie la un minut după evoluția ultimului concurent.

Pe tot parcursul concursului se ține în mod neoficial și un clasament parțial, pe baza rezultatelor obținute de concurenții care au evoluat până în acel moment. Asta pentru că șeful comisiei de arbitri are o curiozitate aparte și pune K întrebări sub forma următoare: Câte minute s-a ocupat primul loc din clasament cu un punctaj egal cu X puncte? Dacă nici un concurent nu s-a clasat pe primul loc cu X puncte atunci primește ca răspuns valoarea 0.

Scrieți un program care determină răspunsul pentru fiecare dintre cele K întrebări puse de șeful comisiei de arbitri.

La marginea unei păduri sunt N stupi aşezaţi în linie. Ei au asociate numere de ordine de la 1 la N, în ordinea în care apar. Fiind sezonul florii de salcâm, albinele colectează foarte repede mierea. La finalul fiecărei zile, din satul aflat în apropiere vine un apicultor la volanul unui camion pentru a o recolta. Capacităţile camioanelor pot fi diferite. Procesul de strângere a mierii decurge astfel: camionul pleacă din dreptul stupului 1 şi încarcă întreaga cantitate de miere din acesta, apoi trece la stupul 2 şi procedează la fel şi aşa mai departe. Dacă odată ajuns la un stup camionul nu poate colecta întreaga cantitate de miere din acel stup, acesta întrerupe acţiunea de colectare şi se întoarce în sat. În ziua următoare, albinele din stupii de unde s-a recoltat refac cantitatea de miere din ziua anterioara. În plus, în fiecare stup cantitatea de miere creşte cu un kilogram faţă de ziua anterioară.

Dându-se N, numărul de stupi, cantitatea de miere existentă în fiecare la finalul primei zile, numărul M de zile în care se face colectarea mierii şi capacitatea camionului care trece în fiecare zi, se cere numărul de stupi din care se recoltează miere în fiecare dintre cele M zile.

Un superstring este un şir infinit format din numere naturale nenule scrise fără spaţii între ele, începând cu 1: 1223334444...1010... (fiecare număr x apare de exact x ori).

Să se răspundă la T întrebări de forma: Ce cifră se află în superstring pe poziţia k?

Pentru următorul an școlar admiterea celor N elevi în liceu se va face pe baza unor evaluări complexe. Fiecare dintre viitorii elevi ai clasei a IX-a va primi, în urma testelor și probelor pe care le va susține, un punctaj (număr natural nenul) cu care va participa la admiterea electronică.

Repartizarea fiecărui elev în clase se face în ordinea înscrierii respectând criteriile:

• Primul elev se repartizează în clasa cu numărul de ordine 1.
• În clasa în care este repartizat un elev nu există, până la momentul repartizării sale, nici un punctaj mai mare decât al său.
• Numărul claselor să fie cât mai mic posibil.

Determinaţi:

1. Punctajul primului elev care nu ar mai putea fi repartizat în prima clasă în condițiile în care toți elevii își doresc să fie repartizați în prima clasă(se aplică doar la cerința 1).
2. Numărul claselor ce se vor forma respectând criteriile.

O firmă de construcții imobiliare a achiziționat recent un teren dreptunghiular de forma unei fâșii de dimensiune 1 × N, fiind apoi împărțit în parcele de dimensiune 1 x 1. Pe fiecare dintre cele N parcele de dimensiune 1 × 1 firma poate construi câte o casă, dacă există clienți interesați. Terenul este amplasat pe una dintre cele șapte coline ale unui oraș vestit. Astfel, dacă numerotăm parcelele cu numere consecutive de la 1 la N, altitudinile asociate acestor parcele vor fi în ordine strict crescătoare până la o anumită poziție, unde se atinge altitudinea maximă a acestui teren, iar pentru pozițiile următoare altitudinile sunt în ordine strict descrescătoare, fiind de partea cealaltă a vârfului colinei. Scrieți un program care determină pentru fiecare cerere j (1 ≤ j ≤ M) dacă firma poate îndeplini restricția respectivă, mai exact dacă există măcar o parcelă i (1 ≤ i ≤ N) pentru care hi = qj.