Lista de probleme 107

XORin este nemulțumit de problemele primite în prima zi de concurs de la Olimpiada Națională de Informatică și decide astfel să se implice în comisie. În scurt timp devine specialistul comisiei în generarea de teste formate din șiruri de numere. Din când în când el trebuie să adauge sau să șteargă elemente din șir. Câteodată el decide să readauge dintre elemente șterse anterior. Fie șirul de numere a=(a[1], a[2], … ,a[N]) și N numărul de elemente din șir după fiecare operație.

Astfel el are de realizat următoarele operații pornind de la un șir vid:

• Inserează la sfârșitul șirului o valoare x;
• Șterge ultimele x elemente din șir;
• Readaugă la sfârșitul șirului primele x elemente șterse. Dacă, de exemplu, în operația anterioară de ștergere a unui număr y de elemente, am șters elementele a[N-y+1], a[N-y+2],…, a[N], iar acum urmează o operație de readăugare a x elemente, vor fi adăugate în ordine elementele a[N-y+1], a[N-y+2],…, a[N-y+x] la sfârșitul șirului.

Din când în când XORin își pune următoarea întrebare: de câte ori există valoarea x în șir?

Zăhărel a desenat pe o foaie de hârtie N puncte în plan. Curios din fire, şi-a ales încă M puncte pe axa OX şi s-a întrebat pentru fiecare dintre cele M puncte de pe axa Ox care dintre cele N puncte este cel mai apropiat (situat la distanță minimă). Se consideră că distanța dintre două puncte (x1, y1) şi (x2, y2) este (x1-x2)2 + (y1-y2)2. Scrieți un program pentru Zăhărel care să determine pentru fiecare dintre cele M puncte de pe axa OX, care este distanța la cel mai apropiat punct dintre cele N desenate pe hârtie.

Gigel a studiat recent şirurile cu n elemente, numere naturale. Pentru un astfel de şir S, Gigel doreşte să afle răspunsul la întrebările:

a) Care este numărul minim de subşiruri strict crescătoare în care se poate partiţiona S?
b) Care este numărul de secvenţe, modulo 20011, cu suma elementelor divizibilă cu k care se pot obţine din S?

Dându-se un şir S cu n elemente numere naturale şi un număr natural k se cere să se răspundă la cele două întrebări.

Se consideră N intervale [Ai,Bi], 1 ≤ i ≤ N disjuncte.

Tuturor intervalelor li se aplică o operație de extindere la ambele capete cu o valoare naturală x, astfel încât după extindere cu valoarea x, intervalul [Ai,Bi] va deveni intervalul [Ai-x,Bi+x], 1 ≤ i ≤ N.

După extindere, spunem că intervalele [Ai,Bi] și [Aj,Bj] aparțin aceluiași grup de intervale dacă ele se intersectează sau dacă există un interval [Ak,Bk] astfel încât [Ai,Bi] se intersectează cu [Ak,Bk] iar intervalele [Ak,Bk], [Aj,Bj] aparțin aceluiași grup de intervale.

Să se determine valoarea minimă x cu care vor trebui să fie extinse toate intervalele astfel încât să se formeze un grup cu cel puțin P intervale.

Maria pleacă în excursie la munte. Traseul de la baza muntelui și până la vârf trece printr-o serie de parcele organizate într-o matrice pătratică de dimensiune nxn. Baza muntelui se consideră primul element al matricei, iar vârful, ultimul element. Se cunoaște faptul că traseele de la bază până la vârf au numai suișuri. Maria dispune de un altimetru prin intermediul căruia poate determina altitudinea la care se găsește parcela pe care se află. Ea nu-și propune să urce până la vârf, ci doar până la o anumită altitudine. Cunoscând valoarea n, harta de dimensiune nxn cu altitudinile precizate și x o valoare ce reprezintă altitudinea la care trebuie să ajungă Maria, se cere să se determine coordonatele parcelei cu altitudinea x.

NASA plănuiește o nouă misiune Rover pe Marte în anul 2020. Principalul obiectiv al acestei misiuni este de a determina, cu ajutorul unui nou Rover, dacă a existat în trecut viață pe Marte. Până când va fi lansată misiunea, Roverul este supus la tot felul de teste în laboratoarele NASA. Într-unul din teste, Roverul trebuie să parcurgă o suprafață de forma unui caroiaj cu N linii și N coloane. Acesta pornește din zona de coordonate (1,1) și trebuie să ajungă în zona de coordonate (N,N), la fiecare pas putându-se deplasa din zona în care se află într-una din zonele învecinate la nord, sud, est sau vest. Pentru fiecare zonă de coordonate (i,j) se cunoaște A[i,j], stabilitatea terenului din acea zonă. Știind că Roverul are o greutate G, o zonă cu stabilitatea terenului cel puțin egală cu G se consideră o zonă sigură pentru deplasarea Roverului, iar o zonă cu stabilitatea terenului mai mică decât G se consideră o zonă periculoasă pentru Rover.

1. Determinați numărul minim posibil de zone periculoase pe care le traversează Roverul pentru a ajunge din zona (1,1) în zona (N,N).
2. Determinați greutatea maximă pe care o poate avea un Rover care să ajungă din zona (1,1) în zona (N,N), fără a traversa nicio zonă periculoasă pentru el.

Se dă o expresie matematică în care pot să apară literele x, y, z, t, cifre și semnele + sau -.
Cifrele alăturate formează numere. Literele reprezintă variabile. O variabilă poate fi precedată de un număr. Între variabilă și numărul care o precede nu există alte caractere. Un grup format dintr-o literă și, eventual, un număr care o precede formează un monom. Un monom nu conține mai multe litere. Numărul care apare într-un monom se numește coeficient.
Expresia poate să conțină și numere care nu sunt urmate de o variabilă. Aceste numere se numesc termeni liberi.
Expresia este deci alcătuită din monoame și termeni liberi. Fiecare monom și fiecare termen liber este precedat de unul dintre semnele + sau -.
Valoarea matematică a unei expresii este valoarea care se obține dacă înlocuim literele care apar în expresie cu valori numerice și efectuăm calculele. Valoarea unui monom se obține înmulțind coeficientul monomului cu valoarea pe care o are variabila care apare în respectivul monom. De exemplu, valoarea expresiei +3x pentru x=2 este 6.
Fiind dată o expresie corectă, să se determine:
1. valoarea matematică a expresiei dacă x, y, z și t au valoarea 1.
2. numărul de cvartete distincte (x,y,z,t), de valori întregi care aparțin unui interval dat [a,b], pentru care expresia matematică corespunzătoare expresiei date este egală cu o valoare dată E. Două cvartete sunt distincte dacă există cel puţin o poziţie pentru care valorile corespunzătoare sunt diferite.

Se consideră o pădure tropicală, reprezentată sub forma unui caroiaj dreptunghiular. Celula din colţul stânga sus al caroiajului are coordonatele (1, 1), iar coordonatele celorlalte celule sunt determinate de linia şi coloana pe care se află. În anumite celule ale caroiajului sunt plasaţi bananieri; o celulă conţine cel mult un bananier. Mai mulţi bananieri care se învecinează pe orizontală sau verticală formează o zonă de bananieri. Într-o astfel de zonă, CEKILI se deplasează uşor, cu agilitatea-i cunoscută, de la un bananier la altul. Determinaţi numărul maxim de bananieri care se poate obţine prin conectarea a exact K zone.

Se dă un șir V cu N valori naturale nenule, memorate pe poziții consecutive începând cu poziția 1. Notăm cu S următoarea secvență de cod aplicată asupra sa:

(C/C++)
maxim = 0;
rep = 0;
for(i = 1; i <= N; i++)
	if(V[i] > maxim)
		maxim = V[i];
	else
		if(V[i] == maxim)
			rep++;

Considerăm operația de eliminare din V a elementului de pe o anumită poziție dată P. În urma operației de eliminare elementele de pe pozițiile P + 1, P + 2, ..., N ajung pe o poziție cu 1 mai mică iar N scade cu 1.

Dându-se mai multe operații de eliminare(independente una de alta, adică fiecare se aplică asupra șirului inițial, nu după operația anterioară), să se determine valoarea variabilei rep dacă am aplica secvența S asupra șirului obținut după fiecare operație de eliminare.

Demult într-o vreme îndepărtată trăiau Foarte mulți porci. Pentru că erau atât de mulți trebuia să le fie construite anumite țarcuri reprezentate prin poligoane nu neapărat convexe. Din cauza unui antrenament militar cu focuri de armă mai mulți porci riscau să moară.

Se dau N poligoane nu nepărat convexe reprezentând țarcurile porcilor, toate complet în cadranul 1. Fiecare poligon are un cost atașat reprezentând numărul de porci din acel țarc. Se mai dă K și K perechi de coordonate X_i Y_i cu semnificația că la a i-a tragere traiectoria glonțului fi o semidreaptă care va porni din (0, 0) și va face un drum infinit de mare care va trece și prin (X_i, Y_i). Dacă la o tragere glonțul va lovi unul dintre țarcurile porcilor atunci din acel țarc vor muri toți porcii iar glonțul își va continua normal traiectoria. Pentru fiecare tragere trebuie să spuneți care este numărul de porci omorâți dacă am face doar acea tragere.