Lista de probleme 16

Roboțelul Nino a primit cadou un dispozitiv care inscripționează bile. Dispozitivul poate fi încărcat cu n bile, ce vor fi inscripționate în ordine, cu numerele 1, 2, …, n.
Nino trebuie să împartă bilele inscripționate în două șiruri, X și Y, astfel:
- La primul pas Nino va pune în primul șir bila cu numărul 1 (X[1] = 1), iar în al doilea șir bila cu numărul 2 (Y[1] = 2).
- La al doilea pas Nino va pune în primul șir bila cu numărul 3 (X[2] = 3), iar în al doilea șir bila cu numărul 4 (Y[2] = 4).
- La fiecare pas i ≥ 3 Nino va pune în șirul X bila X[i] = X[i-1] + Y[i-1], iar în șirul Y, în ordine crescătoare, bilele numerotate cu X[i-1+1], X[i-1+2], …, X[i-1], cu excepția bilei 4 care a fost pusă deja.
Dacă la un pas k, X[k] > n, bilele rămase vor fi inscripționate cu valorile X[k-1+1], X[k-1+2], …, n și vor fi puse în șirul Y.
Pentru că bilele se rostogolesc, Nino împachetează în tuburi verticale de culoare galbenă, bilele din primul șir, iar în tuburi verticale de culoare roșie, bilele din al doilea șir. În fiecare tub încap cel mult m bile, dispuse pe o singură coloană. Tuburile sunt așezate vertical, întâi cele galbene, în ordinea umplerii, apoi cele roșii în ordinea umplerii lor. Bilele de la baza fiecărui tub formează nivelul 1, cele situate imediat deasupra lor formează nivelul 2 etc., nivelul maxim putând fi m.

Se dau numerele naturale n și m și se cere să se determine:
1. Numărul de tuburi de culoare roșie necesare pentru a împacheta bilele din șirul Y și numărul total de bile conținute de acestea.
2. Pentru un nivel v dat, suma numerelor inscripționate pe bilele de pe nivelul v.

Cel mai nou proiect imobiliar din capitală este compus din N blocuri-turn, construite unul lângă altul, de-a lungul unui bulevard central și numerotate de la 1 la N. Pentru fiecare turn se cunoaște numărul etajelor din care este compus acesta și se mai știe că nu există două turnuri cu același număr de etaje. Ultimele norme urbanistice definesc coeficientul de frumusețe al turnului cu numărul T ca fiind numărul turnurilor din secvența de turnuri care începe cu turnul S, se termină cu turnul D și are următoarele proprietăți:

• 1 ≤ S ≤ T ≤ D ≤ N
• numărul etajelor fiecărui turn din secvență, cu excepţia turnului T, este mai mic decât numărul de etaje ale turnului T;
• Dacă S ≠ 1 atunci turnul S-1 este cel mai apropiat turn din stânga turnului T, care are un număr de etaje strict mai mare decât turnul T;
• Dacă D ≠ N atunci turnul D+1 este cel mai apropiat turn din dreapta turnului T, care are un număr de etaje strict mai mare decât turnul T;

Coeficientul de frumusețe al întregului ansamblu de turnuri este suma coeficienților de frumusețe avuţi de turnurile componente. Dezvoltatorul proiectului dorește să renunțe la unul dintre turnuri și să construiască în locul acestuia un restaurant subteran, acesta considerându-se un turn cu zero etaje. Dezvoltatorul dorește să calculeze coeficientul de frumusețe al ansamblului de turnuri, pentru fiecare posibilă amplasare a restaurantului.

Cunoscând numărul N de turnuri și numărul etajelor fiecăruia, determinați coeficientul de frumusețe al ansamblului de turnuri pentru toate cele N posibilități de amplasare ale restaurantului, pe pozițiile 1, 2,…, N.

Arheologii au descoperit pe un platou muntos greu accesibil ruinele unui castel medieval, pe care l-au fotografiat din elicopter, obţinând harta digitizată a acestuia. Harta este memorată sub forma unui tablou bidimensional H, compus din N x N pătrate cu latura egală cu unitatea, având ca elemente numere naturale între 0 și 15, care codifică forma pereţilor fiecărui pătrat unitar. Dacă scriem numărul natural H[i][j] în baza 2, folosind exact 4 cifre binare, fiecare bit dă informații despre unul dintre pereții posibil de construit pe fiecare latură a pătratului unitar din poziția (i,j), astfel:

• dacă bitul de pe poziția 0 are valoarea 1, atunci există perete pe latura vestică (latura din stânga);
• dacă bitul de pe poziția 1 are valoarea 1, atunci există perete pe latura sudică (latura de jos);
• dacă bitul de pe poziția 2 are valoarea 1, atunci există perete pe latura estică (latura din dreapta);
• dacă bitul de pe poziția 3 are valoarea 1, atunci există perete pe latura nordică (latura de sus);
• un bit de valoare 0 indică lipsa peretelui corespunzător acestuia;

Pentru un număr scris în baza 2, numerotarea cifrelor începe cu poziția 0, de la dreapta la stânga.
Castelul este interesant deoarece, pentru realizarea unei mai bune apărări, camerele ce-l compun sunt construite fie independent, fie una în interiorul alteia. Orice camera este construită la o distanţă de cel puţin o unitate faţă de zidul ce împrejmuieşte castelul sau faţă de pereţii altor camere.
Folosind harta, arheologii doresc să afle informaţii privind numărul camerelor şi camera de arie maximă. Prin arie a unei camere se înţelege numărul pătratelor unitate cuprinse în interiorul pereților aceasteia, fără a socoti ariile camerelor construite în interiorul ei.

Cunoscând codificarea hărţii castelului, să se determine:
1. numărul total al camerelor din castel
2. aria maximă a unei camere
3. coordonatele colţurilor din stânga-sus, respectiv dreapta-jos a camerei cu aria maximă. Dacă există mai multe camere având aceeaşi arie maximă, atunci se vor afişa coordonatele camerei având colţul din stânga-sus (lin1, col1) cu lin1 minimă, iar la linii egale pe aceea cu col1 minimă.

Se dă o expresie matematică în care pot să apară literele x, y, z, t, cifre și semnele + sau -.
Cifrele alăturate formează numere. Literele reprezintă variabile. O variabilă poate fi precedată de un număr. Între variabilă și numărul care o precede nu există alte caractere. Un grup format dintr-o literă și, eventual, un număr care o precede formează un monom. Un monom nu conține mai multe litere. Numărul care apare într-un monom se numește coeficient.
Expresia poate să conțină și numere care nu sunt urmate de o variabilă. Aceste numere se numesc termeni liberi.
Expresia este deci alcătuită din monoame și termeni liberi. Fiecare monom și fiecare termen liber este precedat de unul dintre semnele + sau -.
Valoarea matematică a unei expresii este valoarea care se obține dacă înlocuim literele care apar în expresie cu valori numerice și efectuăm calculele. Valoarea unui monom se obține înmulțind coeficientul monomului cu valoarea pe care o are variabila care apare în respectivul monom. De exemplu, valoarea expresiei +3x pentru x=2 este 6.
Fiind dată o expresie corectă, să se determine:
1. valoarea matematică a expresiei dacă x, y, z și t au valoarea 1.
2. numărul de cvartete distincte (x,y,z,t), de valori întregi care aparțin unui interval dat [a,b], pentru care expresia matematică corespunzătoare expresiei date este egală cu o valoare dată E. Două cvartete sunt distincte dacă există cel puţin o poziţie pentru care valorile corespunzătoare sunt diferite.

Ai deschis recent un restaurant cu specific japonez, iar lucrurile nu merg grozav. Uneori clienții ajung să aștepte foarte mult mâncarea comandată, iar acum crezi că ai înțeles de ce se întâmplă acest lucru.
Restaurantul nu are mese, ci un singur bar foarte lung dotat cu o bandă rulantă care transportă porțiile de mâncare de la bucătărie la client. Barul are 500.000.000 de scaune numerotate în ordine crescătoare, scaunul 1 fiind cel mai apropiat de bucătărie. Uneori clienții fac noi comenzi. O comandă făcută la secunda T de către clientul aflat pe scaunul cu numărul P va ajunge instant la bucătărie. Prepararea mâncării va dura D secunde, iar apoi mâncarea va fi pusă pe bandă și va dura exact P secunde ca aceasta să ajungă la client. În acest timp, mâncarea va trece prin fața scaunelor 1, 2, … P - 1. Dacă dintr-un anumit motiv clientul nu își ridică mâncarea de pe bandă, aceasta va continua să se deplaseze. În caz contrar, clientul în cauză se așteaptă ca mâncarea să ajungă la scaunul său la secunda T + D + P.
Deocamdată restaurantul servește un singur fel de mâncare: ramen. Astfel, comenzile făcute de clienți ajung să fie ușor interschimbabile, iar aceștia se arată foarte deschiși la a profita de pe urma acestui fapt. Se cunosc următoarele:

• Un client poate avea zero sau mai multe comenzi în așteptare.
• Un client care are zero comenzi în așteptare este complet inactiv.
• Numărul de comenzi în așteptare ale unui client care face o comandă la secunda T va crește cu o unitate exact la secunda T.
• Un client care are în așteptare cel puțin o comandă va ridica de pe bandă prima porție de ramen care trece prin fața sa, indiferent dacă aceasta îi era destinată sau nu. Dacă va face acest lucru la momentul T, numărul său de comenzi în așteptare va scădea cu o unitate exact la momentul T.

Pentru a evalua impactul acestui obicei asupra timpilor de așteptare, ai obținut date despre toate comenzile date în ziua curentă. Îți propui să afli, pentru fiecare comandă următoarea valoare: dacă respectiva comandă este a NR-a făcută de clientul respectiv, care este secunda la care clientul în cauză va mânca pentru a NR-a oară?

Avem n găleți numerotate de la stânga la dreapta numere de la 1 la n. Fiecare găleată conține inițial 1 litru de apă. Capacitatea fiecărei găleți se consideră nelimitată. Vărsăm gălețile una în alta, respectând o anumită regulă, până când toată apa ajunge în prima găleată din stânga. Vărsarea unei găleți presupune un anumit efort. Cunoscând numărul de găleți n și un număr natural e, să se determine o succesiune de vărsări în urma căreia toată apa ajunge în găleata cea mai din stânga și efortul total depus este exact e.