Lista de probleme 97

Fiind dat un șir V format din N numere întregi V[1], …, V[N], definim o tăietură în poziția pos ca fiind o subsecvență care conține elementul de pe poziția pos. Formal, tăieturile în poziția pos sunt de forma V[k], V[k+1], …, V[pos], …, V[r-1], V[r] pentru orice k, 1 ≤ k ≤ pos și orice r, pos ≤ r ≤ N. Valoarea unei tăieturi este suma tuturor elementelor care fac parte din tăietura respectivă. Definim funcția MulT(pos) ca fiind numărul de tăieturi în poziția pos care au valoarea 0. Ioana, fiind foarte curioasă din fire, dar și foarte fascinată de această funcție numită MulT, este foarte interesată în a afla rezultatul pentru MulT(i), unde 1 ≤ i ≤ N.

Ionel are de rezolvat mai multe probleme de divizibilitate. Unele dintre ele îi cer să afle câte numere au anumite proprietăţi. Vă rugăm să-l ajutaţi să termine tema mai repede. Scrieţi un program care citeşte un număr natural n şi două numere prime u şi v mai mici decât 10 şi determină câte numere naturale mai mici sau egale cu n au proprietatea că nu sunt divizibile nici cu u, nici cu v.

Prietenul nostru, Pit, se află în Grecia antică, în cea mai vestită piață publică. Considerăm că piața este un dreptunghi din plan, de dimensiuni X și Y. Dacă reprezentăm piața într-un reper cartezian xOy, aceasta are cele patru vârfuri în punctele de coordonate (0,0), (X,0), (X,Y) și (0,Y). În fiecare punct (a,b), cu a ∈ {1,...,X} și b ∈ {1,...,Y}, se află câte o tarabă care vinde echere. Prietenul nostru este afacerist și vrea să închirieze o parcelă de teren dreptunghiulară, având laturile paralele cu laturile pieței, iar cele patru vârfuri de coordonate numere naturale. Vârfurile parcelei se află în interiorul pieței sau pe laturile acesteia. În această parcelă, Pit vrea să cuprindă cât mai multe tarabe speciale, care au următoarele proprietăți:

• distanta de la origine la tarabă este număr natural;
• nu există nici o altă tarabă pe segmentul dintre origine și tarabă.

Cunoscându-se valorile X, Y și coordonatele (SXi, SYi) și (DXi, DYi) pentru Q parcele, unde 1 ≤ i ≤ Q, să se afle, pentru fiecare parcelă, care este numărul de tarabe speciale pe care le conține.

Casa de Modă Venus a decis să se modernizeze şi, începând cu 1 ianuarie 2020 ora 00:00, l-a angajat pe robotul Vasile. Vasile poate executa orice comandă în exact T ore, indiferent de complexitatea acesteia (mai exact, dacă Vasile începe să lucreze la comandă în momentul x, la momentul x+T ore comanda va fi gata de predare). Foarte încrezătoare în calitățile robotului Vasile, Casa de Modă Venus a lansat o campanie publicitară cu sloganul “Dacă am întârziat, primești produsul comandat gratis!”. Campania și-a atins scopul, ca urmare Casa de Modă a primit deja N comenzi pentru întreg anul 2020. Pentru fiecare comandă sunt specificate valoarea acesteia, precum și data și ora până la care produsul comandat trebuie să fie gata de predare. Dacă Vasile predă produsul exact la data și ora specificată în comandă (sau înainte) el încasează valoarea comenzii. Dacă nu, el tot trebuie să execute comanda respectivă, dar nu va primi suma reprezentând valoarea ei.
Deși lucrează fără nicio pauză, Vasile estimează că este posibil să nu poată preda la timp toate comenzile, dar își planifică lucrul, astfel încât pierderea să fie minimă (adică suma valorilor comenzilor care nu vor fi predate la timp să fie cât mai mică). Numim planificare optimală succesiunea în care Vasile trebuie să execute cele N comenzi, astfel încât pierderea să fie minimă.
Scrieți un program care, cunoscând informațiile referitoare la cele N comenzi, determină pierderea minimă, precum și o planificare optimală.

Avem o clasă cu N elevi inventivi. Pentru fiecare dintre ei se cunoaște un coeficient de atitudine reprezentat printr-un număr natural nenul vk. Interacțiunile din cadrul grupului de elevi al clasei produc efecte secundare importante și conducerea școlii a definit o mărime scalară numită indicator de pericol care măsoară influența pe care un elev o are asupra celorlalți elevi din clasă. Indicatorul de pericol asociat elevului k, 1 ≤ k ≤ N, se obține calculând cel mai mare divizor comun dk,j pentru fiecare pereche (vk, vj), 1 ≤ j ≤ N, j ≠ k și apoi însumând valorile calculate. Să se calculeze, pentru fiecare elev, indicatorul de pericol asociat lui.

Două personaje ale căror nume se vor da în datele de intrare (momentan îi numim Bossanip și Dicsi) își petrec nopțile prin discoteci. Toată lumea știe că Bossanip este membru V.I.P în toate discotecile din lume și Dicsi profită mereu de celebritatea prietenului său. Ajuns pe meleaguri străine, Dicsi s-a confruntat cu o problemă foarte mare. Cum intră la V.I.P când este pe cont propriu? Astfel, Dicsi s-a apucat de infracțiuni precum furtul de identitate. Dicsi dorește să permute literele din numele lui (să găsească o anagramă a propriului nume) astfel încât noul nume să difere prin exact K poziții de numele lui Bossanip. Mai mult, dorește ca această anagramă să fie minimă lexicografic. Dacă reușește, este posibil să se dea drept Bossanip și să intre și el ca membru V.I.P.

Se consideră modelul unui sistem solar format din N planete care se rotesc în jurul unei stele S, în sens trigonometric. Traiectoriile planetelor se consideră circulare și de raze diferite, iar vitezele de rotație ale planetelor în jurul stelei sunt numere naturale și sunt exprimate în grade pe zi (⁰/zi).

Cunoscând numărul de planete N și vitezele lor de rotație Vi, 1≤i≤N precum și două numere naturale P și Z, să se determine numărul A de alinieri a câte minimum P planete, pe o dreaptă ce trece prin centrul stelei S, după trecerea celor Z zile. Evoluția sistemului solar începe cu toate planetele așezate orizontal, în dreapta stelei S.

În clasa lui Dexter sunt N elevi de înălțimi distincte. La ora de sport, ei sunt așezați în linie, de la stânga la dreapta. Profesorul lor, Johnny, va selecta pentru un exercițiu elevi aflați pe poziții consecutive în linie, astfel încât cel mai înalt elev dintre cei selectați să se afle în prima jumătate a acestora.

De exemplu, dacă elevii au, în ordine, înălțimile 1, 5, 4, atunci profesorul poate să îi selecteze pe cei cu înălțimile 5 și 4, dar nu poate să îi selecteze pe cei cu înălțimile 1 și 5. Desigur, există mai multe moduri de a selecta elevii astfel încât să fie satisfăcută condiția de mai sus. Profesorul Johnny ar vrea să afle în câte moduri se poate face acest lucru.

Dându-se N și înălțimile elevilor din clasă, aflați în câte moduri pot fi selectați oricâți elevi aflați pe poziții consecutive, astfel încât să fie îndeplinită condiția din enunț.

Fie o matrice A de dimensiuni 2N x 2N date. Aceasta se construiește astfel:
Se pornește de la o matrice de dimensiune 2 x 2 având ca elemente litere mici ale alfabetului englez. Matricea B de dimensiune 2k x 2k se formează din patru submatrice de dimensiune 2k-1 x 2k-1 și se obține din matricea C de dimensiune 2k-1 x 2k-1. Se dau Q triplete (i, j, L), cu semnificația: pe poziția A[i][j] se află litera L. Care este numărul maxim de triplete care se pot selecta astfel încât toate să fie adevărate?

Definim o expresie ca fiind un șir de caractere e care respectă una dintre următoarele:

• e = "x";
• e reprezintă un număr natural (constantă); (ex. e ∊ {"1", "2"; "200"; ...})
• e = "[e1,e2]" sau e = "(e1,e2)", unde e1, e2 sunt (sub-)expresii. Aici, (•, •) semnifică cel mai mare
  divizor comun a două numere, iar [•,•] semnifică cel mai mic multiplu comun a două numere. De exemplu, avem că (6, 8) = 2, [6, 8] = 24.

Dându-se o expresie e și două numere naturale a, b, să se calculeze eval(e, a) + eval(e, a+1) + ... + eval(e, b). Rezultatul se va afișa modulo 1.000.000.007.