Lista de probleme 771

Marian are un pachet cu n bețișoare, fiecare bețișor i având lungimea a[i] cm. Bețișoarele au o proprietate special: bețișorul cu numărul i se poate conecta de bețișorul i+1, unde i este mai mic decât n. Spre exemplu, într-un pachet cu 10 bețișoare, primul se poate conecta la al doilea, al doilea la al treilea, și așa mai departe. În momentul unei conectări, lungimea bețișorului devine suma lungimilor celor două bețișoare care l-au compus. Marian repetă acest procedeu până când are exact k bețișoare.

Să se determine cea mai mare lungime L posibilă, astfel încât toate cele k bețișoare obținute să aibă lungimea mai mare sau egală cu L.

Fermierul Petrică are o livadă cu n pomi fructiferi, pentru fiecare cunoscându-se coordonatele, în sistemul cartezian de coordonate xOy. Da, Petrică are și vădite calități de matematician!

Pentru a culege fructe, Petrică închiriază o mașină foarte performantă (și scumpă) cu care trece prin livadă o singură dată pe o direcție paralelă cu axa Oy. Mașina are o lățime cunoscută L și culege fructele din toți pomii pe care îi întâlnește.

Determinați numărul maxim de pomi din care pot fi culese fructele la o trecere a mașinii prin livadă.

În livezile din jurul orașului Beclean a apărut o nouă specie de pomi fructiferi, care se dezvoltă într-un mod foarte interesant. Astfel, în anul plantării un asemenea pom va produce P fructe. In al doilea an, pentru fiecare divizor propriu D al lui P, pomului îi va crește câte un mugur, care va produce D fructe. În al treilea an, pentru fiecare mugur nou (crescut în anul anterior) se va întâmpla același lucru, și așa mai departe, până când pomul ajunge la maturitate și nu îi mai cresc noi muguri.

Fermierul Petrică are o livadă cu n pomi. Pentru fiecare pom se cunoaște numărul P[i] de fructe produse în primul an. Determinați câte fructe vor produce fiecare pom după ce ajunge la maturitate.

Trei nave spațiale, fiecare transportând n extratereștri din trei galaxii diferite (Galaxia Algorithma, Nebulosa Recursiv și Calea Protocol), au ajuns la Olimpiada de Informatică din galaxia Calea Informateea. Pentru a celebra această ocazie, toți extratereștrii își doresc să facă o fotografie de grup împreună. Înălțimile extratereștrilor sunt foarte variate, de la nanometri la kilometri. Din acest motiv, pentru a se asigura că se văd toți în fotografie, extratereștrii trebuie să se așeze pe trei rânduri. Fiind dat numărul natural C reprezentând numărul cerinței, un număr natural n reprezentând numărul de extratereștri din fiecare navă și apoi trei șiruri de n numere naturale nenule cu maximum 9 cifre fiecare, scrieți un program care rezolvă următoarele cerințe:
1) Dacă C = 1, atunci determină înălțimea maximă și minimă a extratereștrilor din toate cele 3 nave.
2) Dacă C = 2, atunci determină ordinea extratereștrilor în poză, pe fiecare dintre cele trei rânduri, de la stânga la dreapta, ordonați descrescător după înălțime.

Într-un șir de numere naturale, numim secvență dsecv, o succesiune de valori situate pe poziții consecutive a[i], a[i+1], a[i+2], a[i+3], … a[j] cu (i ≤ j) dacă oricare două numerele alăturate din secvență (a[i], a[i+1]) au proprietatea că numărul de divizori ai lui a[i] este mai mic sau egal decât numărul de divizori ai lui a[i+1]. Numărul de elemente din secvență reprezintă lungimea secvenței. Fiind dat numărul natural C reprezentând numărul cerinței, un număr natural n și apoi un șir de n numere naturale nenule cu maximum 9 cifre fiecare, scrieți un program care rezolvă următoarele cerințe:
1) Dacă C = 1, dintre toate valorile din șir care au număr maxim de divizori, se vor determina valoarea minimă și valoarea maximă.
2) Dacă C = 2, se va determina numărul de secvențe dsecv de lungime maximă din șir și lungimea maximă a unei astfel de secvențe.

Codurile de acces la liftul unei clădiri de birouri sunt numere naturale de maximum 9 cifre. Fiecare cod se formează prin apăsarea unora dintre tastele de la 0 la 9. Trecerea timpului face ca anumite taste, apăsate mai des decât altele, să se uzeze și astfel, cifrele respective să nu mai fie vizibile. Inginerul de service vrea să înlocuiască cele mai uzate două taste. Scrieți un program care afișează:
- tasta cu valoarea cea mai mică dintre cele folosite de cele mai puține ori, dacă cerința este 1
- cele două taste ce vor fi înlocuite, dacă cerința este 2

O operaţie de reducere aplicată asupra unui șir constă în selectarea unui număr prim p şi a unor elemente din șirul dat care sunt divizibile cu p şi împărţirea acestora la p. Asupra unui șir format din n numere naturale nenule se aplică o succesiune de operaţii de reducere, până când toate elementele șirului devin egale. Valoarea finală a elementelor șirului este denumită valoare de egalitate. Valoarea de reducere a unui șir este cea mai mare dintre valorile de egalitate care se pot obţine în urma aplicării unor operaţii de reducere asupra acestui șir.
1) Determinați valoarea de reducere pentru un șir dat.
2) Determinați numărul minim de operaţii de reducere care trebuie să fie aplicate șirului dat pentru a obţine valoarea de reducere.

Prințul Mugurel trebuie să organizeze un nou spectacol pentru locuitorii din Imperiul Rațelor de Cauciuc. De data aceasta s-a gândit la ceva inedit: o cursă de natație pe Râul Macilor. Mugurel a adunat cele mai bune N raţe din imperiu, numerotate de la 1 la N, fiecare rață fiind caracterizată prin viteză şi nivel de rezistenţă. Pe Râul Macilor s-au amenajat M culoare de înot, numerotate de la 1 la M; pe fiecare culoar este câte o baliză, situată la o anumită distanță (în metri) față de linia de start, iar această distanță este strict mai mare decât distanța balizei de pe culoarul anterior. Mugurel alege M rațe dintre cele N, care sunt așezate adecvat la linia de start, fiecare pe câte un culoar de înot. Apoi, toate aceste rațe alese pornesc simultan, fiecare rață înoată pe culoarul ei, până la baliza corespunzătoare, și se întoarce înapoi la linia de start, pe același culoar. Durata cursei se măsoară de la pornirea simultană a rațelor, până la momentul când toate rațele ajung înapoi la linia de start. Determinați durata minimă pe care o poate avea cursa.

Se dă un șir a1, a2, …, an de numere naturale. Trebuie să răspundeți la două cerințe:
1) Să se verifice dacă șirul este ordonat crescător sau nu.
2) Să se verifice dacă prin eliminarea unui singur element, șirul rămas este ordonat crescător sau nu.

Jocul preferat al lui Aurel are o hartă împărțită în N sectoare, numerotate, în ordine, de la 1 la N. Fiecare sector i (1 ≤ i ≤ N) are asociate două numere naturale reprezentând un decor, decori și un scor, scori. Două decoruri de același tip sunt codificate prin același număr natural.
1) Determinați numărul de moduri în care Aurel poate începe jocul, astfel încât prima secvență pe care o “vede” pe hartă să NU fie riscantă. Două moduri de a începe jocul sunt considerate diferite dacă încep pe sectoare diferite sau dacă au vizibilitatea diferită.
2) Determinați scorul obținut dacă Aurel pornește din sectorul 1 cu vizibilitatea 0.