Lista de probleme 771

Elevii celor două clase de a șaptea din școală merg în excursie. În fiecare clasă sunt câte N elevi. Ovidiu și Mihnea, fiind liderii celor două clase din care fac parte, doresc să analizeze reușita excursiei, în funcție de gradul de compatibilitate dintre elevii participanți la excursie. Pentru a determina acest grad, fiecărui elev din cele două clase îi este atribuit un coeficient de amabilitate.
1. Determinați gradul de compatibilitate dintre cele două clase.
2. Determinați, pentru fiecare elev din clasa lui Ovidiu, numărul de elevi din clasa lui Mihnea cu care acesta poate lega o prietenie durabilă.

O operaţie de reducere aplicată asupra unui șir constă în selectarea unui număr prim p şi a unor elemente din șirul dat care sunt divizibile cu p şi împărţirea acestora la p. Asupra unui șir format din n numere naturale nenule se aplică o succesiune de operaţii de reducere, până când toate elementele șirului devin egale. Valoarea finală a elementelor șirului este denumită valoare de egalitate. Valoarea de reducere a unui șir este cea mai mare dintre valorile de egalitate care se pot obţine în urma aplicării unor operaţii de reducere asupra acestui șir.
1) Determinați valoarea de reducere pentru un șir dat.
2) Determinați numărul minim de operaţii de reducere care trebuie să fie aplicate șirului dat pentru a obţine valoarea de reducere.

În regatul „Iluminia” există un laborator care conține o rețea de N camere, fiecare cameră are lungimea P și este reprezentată de o secvență de comutatoare, fiecare comutator având starea 0 (stins) sau 1 (aprins).

Regele dorește să construiască o cameră supremă pentru un experiment de mare anvergură. Această cameră supremă se obține prin aplicarea operației XOR (^) asupra tuturor secvențelor de comutatoare. Regele vrea ca această cameră rezultată să fie „supremă”, adică să conțină doar comutatoare în starea 1.

Deoarece acest lucru nu este garantat, regele are la dispoziție M operații de flip. Fiecare flip inversează starea anumitor comutatoare dintr-o subsecență de lungime cel mult L (0 devine 1, iar 1 devine 0). Comutatoarele care vor fi inversate sunt la discreția regelui.

Acest lucru înseamnă că regele are posibilitatea de a alege, dintr-o subsecență dată de comutatoare, care dintre acestea să fie inversate. El nu este obligat să inverseze toate comutatoarele din subsecența aleasă, ci poate alege doar anumite comutatoare, în funcție de cum consideră că este cel mai eficient pentru găsirea camerei supreme.

Sarcina ta este să găsești cea mai mică valoare L pentru care există o succesiune de cel mult M flip-uri (fiecare aplicată pe o subsecență de lungime cel mult L) care să construiască camera supremă.

Aflat pe plaja urbană din cartierul Cricozescu al orașului Jluc, Andrei participă la un concurs de construcții de castele de nisip. Fiecare concurent a construit deja un anumit număr de castele n, însă organizatorii concursului au schimbat regulile în ultimul moment, astfel că, pentru a fi eligibili în etapa de jurizare, toate castelele concurenților trebuie să aibă exact aceeași înălțime. Andrei ne cere să îl ajutăm să determine numărul minim de operații pe care el trebuie să le facă asupra castelelor sale astfel încât toate să aibă, în final, aceeași înălțime.

Gigel a primit o sarcină interesantă: se dă un șir de N numere numere naturale și un număr natural K. Ajutați-l pe Gigel să rezolve următoarele două cerințe.
1) Fie X primul număr din șir. Determinați poziția celui mai mic număr Y care aparține șirului, astfel încât suma celor două numere X și Y să fie divizibilă cu K. Dacă valoarea Y, cu proprietatea precizată, apare de mai multe ori în șir, se ia în considerare poziția cea mai din dreapta. Există cel puțin un astfel de număr Y, care aparține șirului.
2) Determinați numărul minim de elemente care trebuie eliminate din șir astfel încât elementele rămase să poată fi grupate în perechi disjuncte (fiecare element rămas aparține unei singure perechi), cu proprietatea că suma celor două valori din fiecare pereche este divizibilă cu K.

Se consideră șirul S = S[1], S[2], ..., S[N] format din N mulțimi de numere naturale cuprinse între 1 și M. De asemenea, se consideră două șiruri de câte M numere întregi A = A[1], A[2], ..., A[M] și B = B[1], B[2], ..., B[M]. Numim secvență de mulțimi (i, j) (1 ≤ i ≤ j ≤ N) succesiunea de mulțimi S[i], S[i+1], ..., S[j]. Pentru o secvență de mulțimi (i, j) (1 ≤ i ≤ j ≤ N), se determină factorul de succes pe baza șirului A, respectiv factorul de insucces, pe baza șirului B în modul următor:
1) se efectuează reuniunea mulțimilor din secvența de mulțimi (i, j);
2) factorul de succes al secvenței de mulțimi (i, j) este suma valorilor din șirul A situate pe pozițiile date de elementele reuniunii;
3) factorul de insucces al secvenței de mulțimi (i, j) este suma valorilor din șirul B situate pe pozițiile date de elementele reuniunii.
Determinați factorul de succes al unei secvențe câștigătoare.

Lui Fibo îi plac numerele care nu se potrivesc perfect. Recent, acesta a descoperit niște numere mai speciale: el numește un număr x ca fiind antidivizorul unui număr natural nenul k, dacă x este cel mai mic număr natural nenul care nu-l divide pe k. Fie F(k) = x, unde x este antidivizorul lui k. Să se calculeze F(1) + F(2) + ... + F(N) pentru T valori ale lui N.

Maria inventează mereu câte ceva și îl provoacă la joacă pe fratele ei mai mic Petru. De data aceasta alege N cartonașe, pe care sunt înscrise valorile naturale distincte de la 1 la N (fiecare astfel de număr apare pe câte un singur cartonaș), le amestecă și le așează unul lângă altul într-un șir. Maria formulează lui Petru cerințe de următoarele tipuri:
1) Îți spun un număr poz și trebuie să determini cartonașul numerotat cu cea mai mare valoare r astfel încât primele r cartonașe din șir au înscrisă o valoare strict mai mică decât cea scrisă pe cartonașul numerotat cu poz. Dacă nu există niciun astfel de cartonaș, pentru r se stabilește valoarea 0.
2) Determină toate valorile p cu proprietatea că pe primele p cartonașe se află înscrise toate numerele naturale de la 1 la p.
3) Determină toate valorile p cu proprietatea că pe primele p cartonașe se află înscrise exact p-1 dintre numerele naturale de la 1 la p.

Există N căsuțe (pătrățele), așezate în ordine, de la stânga la dreapta, numerotate de la 1 la N. În interiorul fiecărei căsuțe putem scrie câte un număr natural. Inițial, în fiecare căsuță scriem același număr 0. Executăm, în ordine, Q operații, care pot fi de trei tipuri:

• Primul tip de operație se codifică prin 1 st dr nr și înseamnă că în fiecare căsuță cu indicii între st inclusiv și dr exclusiv ștergem numerele care existau înainte și scriem în locul lor același număr nr.
• Al doilea tip de operație se codifică prin 2 poz și rezultatul operației este numărul aflat în căsuța cu indicele poz.
• Al treilea tip de operație se codifică prin 3 st dr și rezultatul operației este numărul de apariții al valorii celei mai mari din căsuțele cu indicii între st inclusiv și dr exclusiv.

Determinați rezultatele tuturor operațiilor de tip 2 sau 3, în ordinea executării acestora.

Se consideră șirul de N cifre nenule a = (a[1], a[2], ..., a[N]). Prin frecvență de apariție a unei cifre în șir înțelegem numărul de apariții ale cifrei în acest șir. Pentru o secvență a[i], a[i+1], ..., a[j] din acest șir (1 ≤ i < j ≤ N) calculăm frecvența fiecărei cifre distincte prezente în secvență și definim *diff*-ul secvenței ca fiind diferența dintre cea mai mare frecvență și cea mai mică frecvență dintre cele calculate.

1) Determinați frecvența maximă de apariție a unei cifre din șirul a.
2) Determinați diff-ul maxim posibil al unei secvențe care începe de la prima poziție din șirul a.
3) Determinați diff-ul maxim al unei secvențe din șirul a.