Lista de probleme 545

Un elev a desenat un set format din mai multe pătrate care conțin numere naturale nenule, distincte, consecutive, dispuse în număr egal pe laturi. Pe latura fiecărui pătrat sunt scrise un număr impar de valori. În fiecare pătrat, numerele sunt scrise în ordine crescătoare parcurgând laturile sale, începând din colțul stânga-jos, în sensul invers al acelor de ceasornic. Elevul a numerotat pătratele cu 1, 2, 3 etc., în ordinea strict crescătoare a numărului de valori conținute de fiecare. Diferența dintre cel mai mic număr din pătratul P (1 < P) și cel mai mare număr din pătratul P - 1 este egală cu 1.
Scrieţi un program care rezolvă următoarele două cerinţe:
1. citește un număr natural M și determină numărul K de valori conținute de pătratul numerotat cu M;
2. citește un număr natural N și determină numărul T al pătratului care conține numărul N pe una dintre laturi.

Se consideră răsturnatul unui număr natural valoarea obținută prin parcurgerea cifrelor acestuia de la dreapta la stânga. De exemplu, răsturnatul numărului 245 este 542. Un număr este palindrom dacă este egal cu răsturnatul său. De exemplu 121 este palindrom, iar numărul 21 nu este palindrom.
Se consideră inițial șirul numerelor naturale 0, 1, 2, 3, 4, …
Din acest șir se elimină numerele divizibile cu 10 și, după fiecare număr care NU este palindrom, se inserează răsturnatul său. Noul șir astfel obținut va fi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 21, 13, 31, …

Scrieți un program care să citească:
1. un număr natural n și să afișeze al n-lea număr eliminat din șirul inițial;
2. un număr natural x și să afișeze următoarele trei numere: n1 – numărul de apariții în noul șir ale numărului obținut din x prin eliminarea ultimei sale cifre; n2 – numărul de apariții în noul șir ale numărului obținut din x prin eliminarea ultimelor sale două cifre; n3 – numărul de apariții în noul șir ale numărului obținut din x prin eliminarea ultimelor sale trei cifre.
3. un număr natural k și să afișeze numărul valorilor de k cifre din noul șir.

La ora de educație tehnologică a clasei a V-a profesorul Forus, pasionat de matematică, a adus pentru fiecare dintre cei N elevi câte un carton pe care este scris câte un număr natural nenul. Fiecare elev poate folosi cartonul așa cum l-a primit sau poate să taie o singură dată cartonul între două cifre și să lipească partea stângă la finalul părții drepte. Elevul NU are voie să facă o tăietură în fața cifrei 0, deci niciunul dintre numerele obținute NU poate să înceapă cu cifra 0. Dintre toate numerele pe care le poate obține, elevul îl alege pe cel care are număr minim de divizori, iar dacă poate obține mai multe astfel de numere, îl alege pe cel mai mic dintre ele. La sfârșitul orei, profesorul strânge cartoanele cu numerele alese, în ordinea distribuirii lor.
Scrieţi un program care citeşte numărul natural N și cele N numere scrise pe cartoanele aduse de profesorul Forus, apoi rezolvă următoarele două cerinţe:
1. determină numărul de cartoane pe care elevii au voie să le taie de oriunde (NU conțin cifre în fața cărora NU au voie să taie);
2. determină, în ordinea strângerii cartoanelor, numerele preluate de către profesorul Forus la finalul orei.

Fie k, n și y trei numere naturale. Fie X un șir format din n numere naturale: $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n$. Fie P produsul numerelor $y,x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n$, adică $P=y\times x_1\times x_2\times x_3\times \dots \times x_n$. Numărul P este o “k-putere” dacă există un număr natural z astfel încât $P=z^k$.

Scrieți un program care să citească numerele $k,n,x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n$ și care să determine:

• 1. cel mai mic și cel mai mare număr din șirul X ce sunt formate doar din cifre identice;
• 2. descompunerea în factori primi a celui mai mic număr natural y (y ≥ 2) cu proprietatea că numărul $P=y\times x_1\times x_2\times x_3\times \dots \times x_n$ este o “k-putere”.

Se dă un număr natural N. Determinați valoarea unor anumiți biți din reprezentarea sa în baza 2.

Fie şirul tuturor numerelor naturale de la 1 la un număr oarecare N. Considerând asociate câte un semn (+ sau -) fiecărui număr şi adunând toate aceste numere cu semn se obţine o sumă S. Pentru un S dat, găsiţi valoarea minimă N şi asocierea de semne numerelor de la 1 la N pentru a obţine S în condiţiile problemei.

Elevii clasei a V-a au fost provocați de către colegii lor de la alte școli să participe la concursul TRIVIADOR. Într-o echipă participă exact trei elevi care trebuie să răspundă la întrebări de cultură generală, obținând punctaje individuale. Punctajul unei echipe este suma punctajelor obținute de către membrii acesteia. Date n, numărul de echipe și punctajele individuale ale membrilor fiecăreia, să se determine cele mai mari două punctaje diferite, obținute de către echipele participante. Dacă nu există două punctaje diferite, se va afișa mesajul TOTI SUNT CASTIGATORI

Pe un cerc se află N poziții, consecutiv așezate și notate cu 1,2,3,...,N. Distanțele între oricare două poziții vecine sunt egale cu un pas. Un robot se află inițial la poziția 1. În una dintre poziții se află un depozit cu cantitatea X de energie, de la care robotul se poate alimenta. Robotul se poate deplasa pe cerc numai în sensul acelor de ceas. Robotul poate păstra o cantitate maximă W de energie, iar inițial este alimentat la capacitate maximă. Pentru fiecare pas robotul cheltuiește o unitate de energie.

1) Precizându-se numărul de poziții N, energia inițială a robotului W, poziția P a depozitului și cantitatea X de energie existentă inițial în depozit, se cere să se precizeze numărul de pași pe care îi poate efectua robotul.
2) Precizându-se numărul de poziții N, energia inițială a robotului W și cantitatea X de energie existentă inițial în depozit, se vor determina și afișa numărul maxim de pași pe care îi poate efectua robotul și cea mai mică poziție, convenabil aleasă, unde se poate instala depozitul pentru obținerea numărului maxim de pași.

Pentru orice număr natural N se asociază o cifră din mulţimea {0,1,2,3,4,5}, numită amprentă, astfel: se calculează diferenţa pozitivă a sumelor cifrelor de pe poziţiile pare, respectiv impare; dacă această diferenţă este mai mică decât 10 atunci algoritmul se opreşte, în caz contrar algoritmul se aplică în continuare, repetat, asupra diferenţei pozitive, până când se va obţine o cifră mai mică decât 10, iar dacă cifra este mai mare decât 5, atunci cifrele 6,7,8,9 se vor înlocui respectiv cu 5,4,3,2. De exemplu pentru numărul N = 90 amprenta este 2, iar pentru N = 91909091 amprenta este 1.

1) Se dă un număr natural N şi se cere determinarea amprentei acestuia.
2) Se dau două numere naturale P, Q şi o cifră C din {0,1,2,3,4,5} şi se cere determinarea numărului de valori dintre P şi Q, inclusiv, care au amprenta egală cu C.

Pentru reprezentarea numerelor s-a decis să nu se mai folosească cifra C. Astfel din șirul numerelor naturale se vor elimina toate numerele care conțin cifra C. Notăm noul șir cu S.

1) Să se determine al N-lea număr din șirul S.
2) Se dau Y și Z, două numere naturale din șirul S. Să se determine numărul de numere naturale eliminate dintre Y și Z.